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课时14 分层抽样
知识点一 分层抽样的概念
1.某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家，为了调查各类超市的营业情况，需从所有超市中抽取一个容量为200的样本，则合适的抽样方法是 ( )
A．抽签法 B．简单随机抽样
C．分层抽样 D．随机数表法
答案 C
解析 由于各类超市的营业情况会有明显的差异，所以要用分层抽样．故选C.
2．为了保证分层抽样时，每个个体等可能地被抽取，必须要求( )
A．每层的个体数一样多
B．每层抽取的个体数相等
C．每层抽取的个体可以不一样多，但必须满足抽取ni＝n·(i＝1,2，…，k)个个体，其中k是层数，n是抽取的样本容量，Ni是第i层所包含的个体数，N是总体容量
D．只要抽取的样本容量一定，每层抽取的个体数没有限制
答案 C
解析 分层抽样时，每层的个体数不一定都一样多，A错误；分层抽样时，由于每层的容量不一定相等，所以在各层中抽取的个体数不一定相等，B错误；分层抽样中每个个体被抽取的可能性是相同的，被抽到的可能性与层数无关，C正确；分层抽样中每层抽取的个体数是有限制的，D错误．故选C.
知识点二 分层抽样的应用
3.某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，学校学生会用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n名学生进行问卷调查．如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数应为( )
A．10 B．9 C．8 D．7
答案 A
解析 设从高三学生中抽取x人，则＝，得x＝10.
4．某单位老年人、中年人、青年人的人数分布如下表，用分层抽样的方法抽取17人进行单位管理问卷调查，若抽到3位老年人，则抽到的中年人的人数为( )
类别
人数
老年人
15
中年人
？
青年人
40
A．9 B．8
C．6 D．3
答案 C
解析 设该单位的中年人的人数为x，则由表可知，＝，解得x＝30.因此在抽取的17人中，中年人的人数为30×＝6.故选C.
5．某工厂生产A，B，C，D四种不同型号的产品，产品的数量之比依次为2∶3∶5∶1，现用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，若样本中A型号有16件，那么此样本的容量n为________．
答案 88
解析 依题意得，＝，∴＝，解得n＝88，所以样本容量为88.
6．有A，B，C三种零件，分别为a个，300个，200个，采用分层抽样抽取一个容量为45的样本，其中C种零件抽取了10个，则此三种零件共有________个．
答案 900
解析 抽样比为＝，则零件总数为45×20＝900.
易错点 忽略抽样的公平性致错
7.某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体情况，需从中抽取一个容量为36的样本，则合适的抽样方法是( )
A．简单随机抽样
B．抽签法
C．直接运用分层抽样
D．先从老年人中剔除1人，然后再用分层抽样
易错分析 本题易错解为：由于按抽样比抽样，无法得到整数解，因此考虑先剔除1人，将抽样比变为＝.因此从老年人中随机地剔除1人，则老年人应抽取27×＝6(人)，中年人应抽取54×＝12(人)，青年人应抽取81×＝18(人)，从而组成容量为36的样本．故选D.
事实上，如果用简单随机抽样先从老年人中剔除1人的话，那么老年人被抽到的可能性显然比中年人和青年人被抽到的可能性小了，这不符合随机抽样的特征——每个个体入样的可能性相等．注意D中明确地说“先从老年人中剔除1人”，这和从总体中随机剔除1人是不一样的．
答案 C
正解 因为总体由差异明显的三部分组成，所以考虑用分层抽样．因为总人数为28＋54＋81＝163，样本容量为36，按照抽样比进行分层抽样，老年人、中年人和青年人中应抽取的人数分别为×28≈6，×54≈12，×81≈18.
一、选择题
1．某市为了了解职工家庭生活状况，先把职工按所从事的行业分为8类(每类家庭数不完全相同)，再对每个行业抽取的职工家庭进行调查，这种抽样方法是( )
A．简单随机抽样 B．随机数表法抽样
C．分层抽样 D．不属于以上几类抽样
答案 C
解析 因为职工所从事的行业有明显差异，所以是分层抽样．
2．某实验中学共有职工150人，其中高级职称的职工15人，中级职称的职工45人，普通职员90人，现采用分层抽样的方法抽取容量为30的样本，则抽取的高级职称、中级职称、普通职员的人数分别为( )
A．5,10,15 B．3,9,18
C．3,10,17 D．5,9,16
答案 B
解析 分层抽样是按比例抽取的，设抽取的高级职称、中级职称、普通职员的人数分别为a，b，c，则＝＝＝，解得a＝3，b＝9，c＝18.
3．学校进行数学竞赛，将考生的成绩分成90分以下、90～120分、120～150分三种情况进行统计，发现三个成绩段的人数之比依次为5∶3∶1，现用分层抽样的方法抽取一个容量为m的样本，其中分数在90～120分的人数是45，则此样本的容量m的值为( )
A．75 B．100 C．125 D．135
答案 D
解析 由三个成绩段的人数之比依次为5∶3∶1及分数在90～120分的人数是45可知，＝，解得m＝135.
4．在120个零件中，一级品24个，二级品36个，三级品60个，用分层抽样的方法从中抽取容量为20的样本，则每个个体被抽取的可能性是( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 在分层抽样中，每个个体被抽取的可能性都相等，且为.所以每个个体被抽取的可能性是＝.
二、填空题
5．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生．
答案 60
解析 由分层抽样的方法可得，从一年级本科生中抽取的学生人数为300×＝60.
6．某学校开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社团，已知报名参加这两个社团的学生共有800人，按照要求每人只能参加一个社团，各年级参加社团的人数情况如下表：
高一年级
高二年级
高三年级
泥塑
a
b
c
剪纸
x
y
z
其中x∶y∶z＝5∶3∶2，且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的，为了了解学生对两个社团活动的满意程度，从中抽取一个50人的样本进行调查，则从高二年级参加“剪纸”社团的学生中应抽取________人．
答案 6
解析 解法一：因为“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的，故“剪纸”社团的人数占两个社团总人数的，所以“剪纸”社团的人数为800×＝320.
因为“剪纸”社团中高二年级人数比例为＝＝，
所以“剪纸”社团中高二年级人数为320×＝96.
由题意知，抽样比为＝，所以从高二年级参加“剪纸”社团的学生中抽取的人数为96×＝6.
解法二：因为“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的，故“剪纸”社团的人数占两个社团总人数的，所以抽取的50人的样本中，“剪纸”社团中的人数为50×＝20.
又“剪纸”社团中高二年级人数比例为＝＝，
所以从高二年级参加“剪纸”社团的学生中抽取的人数为20×＝6.
三、解答题
7．一个地区共有5个乡镇，共3万人，其中各个乡镇的人口比例为3∶2∶5∶2∶3，从3万人中抽取300人，分析某种疾病的发病率，已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问应采取什么样的抽样方法？并写出具体过程．
解 因为疾病与地理位置和水土均有关系，所以不同乡镇的发病情况差异明显，因此应采用分层抽样的方法，具体过程如下：
(1)将3万人分成5层，一个乡镇为一层．
(2)按照各乡镇的人口比例确定从每层抽取个体的个数．因为300×＝60,300×＝40,300×＝100,300×＝40,300×＝60，所以从各乡镇抽取的人数分别为60,40,100,40,60.
(3)在各层分别用简单随机抽样法抽取样本．
(4)将抽取的这300人合到一起，就构成所要抽取的一个样本．
8．某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加其中一组．在参加活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%，登山组的职工占参加活动总人数的，且该组中，青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%.为了了解各组不同的年龄层的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取容量为200的样本．试求：
(1)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例；
(2)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数．
解 (1)设登山组人数为x，游泳组中青年人、中年人、老年人各占比例分别为a，b，c，则有＝47.5%，＝10%.解得b＝50%，c＝10%.
故a＝1－50%－10%＝40%.即游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为40%、50%、10%.
(2)游泳组中，抽取的青年人人数为200××40%＝60；
抽取的中年人人数为200××50%＝75；
抽取的老年人人数为200××10%＝15.
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