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第2课时 函数的最大（小）值
A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．已知函数f(x)＝(x∈[2,6])，则函数的最大值为( )
A．0.4 B．1 C．2 D．2.5
答案 C
解析 ∵函数f(x)＝在[2,6]上单调递减，∴f(x)max＝f(2)＝＝2.
2．函数f(x)＝则f(x)的最大值、最小值分别为( )
A．10,6 B．10,8
C．8,6 D．以上都不对
答案 A
解析 当1≤x≤2时，8≤2x＋6≤10，当－1≤x<1时，6≤x＋7＜8.∴f(x)min＝f(－1)＝6，f(x)max＝f(2)＝10.故选A.
3．已知函数y＝x2－2x＋3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．[0,2]
C．(－∞，2] D．[1,2]
答案 D
解析 由y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2知，当x＝1时，y的最小值为2，当y＝3时，x2－2x＋3＝3，解得x＝0或x＝2.由y＝x2－2x＋3的图象知，当m∈[1,2]时，能保证y的最大值为3，最小值为2.
4．当0≤x≤2时，a＜－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1] B．(－∞，0]
C．(－∞，0) D．(0，＋∞)
答案 C
解析 令f(x)＝－x2＋2x，则f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1.又∵x∈[0,2]，∴f(x)min＝f(0)＝f(2)＝0.∴a<0.
5．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
答案 C
解析 因为f(x)＝－(x2－4x＋4)＋a＋4＝－(x－2)2＋4＋a，所以函数f(x)图象的对称轴为x＝2.又因为函数图象开口向下，所以f(x)在[0,1]上单调递增．又因为f(x)min＝－2，所以f(0)＝－2，即a＝－2.所以f(x)max＝f(1)＝－1＋4－2＝1.
二、填空题
6．设函数y＝f(x)的定义域为[－4,6]，且在区间[－4，－2]上单调递减，在区间[－2,6]上单调递增，且f(－4)<f(6)，则函数f(x)的最小值是________，最大值是________．
答案 f(－2) f(6)
解析 函数y＝f(x)在[－4,6]上的图象的变化趋势大致如图所示，观察可知f(x)min＝f(－2)．
又由题意可知f(－4)<f(6)，故f(x)max＝f(6)．
7．函数f(x)＝在[1，b](b>1)上的最小值是，则b＝________.
答案 4
解析 因为f(x)＝在[1，b]上单调递减，所以f(x)在[1，b]上的最小值为f(b)＝＝，所以b＝4.
8．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为______(m)．
答案 20
解析 设矩形花园的宽为y m，
则＝，即y＝40－x，矩形花园的面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400，当x＝20时，面积最大．
三、解答题
9．求下列函数的最值．
(1)函数y＝x＋(x≥1)的最小值；
(2)函数y＝的最大值．
解 (1)解法一：令t＝，且t≥0，则x＝t2＋1，
所以原函数变为y＝t2＋1＋t，t≥0.
配方得y＝2＋，
又因为t≥0，所以y≥＋＝1.
故函数y＝x＋的最小值为1.
解法二：因为函数y＝x和y＝(x≥1)均为增函数，故函数y＝x＋(x≥1)为增函数，所以当x＝1时y取得最小值，即ymin＝1.
(2)y＝＝＝2＋＝2＋.
因为2＋≥，
所以2<2＋≤2＋＝.
故函数的最大值为.
10．已知函数f(x)＝ax＋(1－x)(a>0)，且f(x)在[0,1]上的最小值为g(a)，求g(a)的最大值．
解 f(x)＝x＋，
当a>1时，a－>0，此时f(x)在[0,1]上单调递增，
∴g(a)＝f(0)＝；
当0<a<1时，a－<0，此时f(x)在[0,1]上单调递减，
∴g(a)＝f(1)＝a；
当a＝1时，f(x)＝1，此时g(a)＝1.
∴g(a)＝
∴g(a)在(0,1)上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减，
又a＝1时，有a＝＝1，
∴当a＝1时，g(a)取最大值1.
B级：“四能”提升训练
1．已知函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－.
(1)求证：f(x)在R上单调递减；
(2)求f(x)在[－3,3]上的最小值．
解 (1)证明：∀x1，x2∈R，且x1<x2，
则x2－x1>0，
因为x>0时，f(x)<0，
所以f(x2－x1)<0.
又因为x2＝(x2－x1)＋x1，
所以f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)，
所以f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)<0，
所以f(x2)<f(x1)．
所以f(x)在R上单调递减．
(2)由(1)可知f(x)在R上单调递减，
所以f(x)在[－3,3]上也单调递减，
所以f(x)在[－3,3]上的最小值为f(3)．
而f(3)＝f(1)＋f(2)＝3f(1)＝3×＝－2.
所以函数f(x)在[－3,3]上的最小值是－2.
2．某公司生产某种产品投入固定资金20万元，以后生产x万件产品需再投入可变资金a(x2－1)万元，收入为R(x)万元，其中R(x)＝160x－3.8x2－1480.2.已知当生产10万件产品时，投入生产资金可达到39.8万元．
(1)判断生产每件产品所需可变资金函数的单调性；
(2)求计划生产多少件产品时，利润最大？最大利润是多少万元？
解 (1)生产x万件产品所投入资金共有y＝20＋a(x2－1)万元，
当x＝10时，y＝39.8，解得a＝0.2.
生产每件产品所需可变资金函数为
f(x)＝×a＝×0.2，
设x1>x2>0，则f(x1)－f(x2)＝×0.2－×0.2
＝×0.2(x1－x2)－×0.2
＝×0.2
＝×0.2(x1－x2)，
因为x1>x2>0，
所以×0.2(x1－x2)>0，
故生产每件产品所需可变资金函数f(x)＝×0.2为单调递增函数．
(2)设利润为L(x)万元，则L(x)＝R(x)－20－0.2(x2－1)＝160x－3.8x2－1480.2－20－0.2(x2－1)＝160x－4x2－1500＝－4(x－20)2＋100，所以当生产20万件产品时利润最大，最大利润为100万元．
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