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第2课时 指数函数的图象和性质的应用
A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．函数f(x)＝ax－a(a>0，且a≠1)的图象可能是( )
答案 C
解析 ∵f(1)＝a1－a＝0，∴函数f(x)＝ax－a(a>0，且a≠1)的图象过(1,0)点，故C正确．
2．设函数f(x)＝a－|x|(a>0，且a≠1)，f(2)＝4，则( )
A．f(－1)>f(－2) B．f(1)>f(2)
C．f(2)<f(－2) D．f(－3)>f(－2)
答案 D
解析 由f(2)＝4得a－2＝4，又∵a>0，∴a＝，f(x)＝2|x|，∴函数f(x)为偶函数，在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故选D.
3．若函数f(x)＝是R上的减函数，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 若f(x)在R上为减函数，则
解得<a≤.
4．函数f(x)＝在(－∞，＋∞)上( )
A．单调递减无最小值 B．单调递减有最小值
C．单调递增无最大值 D．单调递增有最大值
答案 A
解析 ∵u＝2x＋1为R上的增函数且u>0，∴y＝在(0，＋∞)上为减函数，即f(x)＝在(－∞，＋∞)上为减函数，无最小值．
5．若0＜x＜y＜1,0＜a＜1＜b，则( )
A．xayb＜xbya B．xa＋ya＞(x＋y)a
C．xb＋yb＞(x＋y)b D．x－a＋xa＜
答案 B
解析 因为x，y，a，b均大于0，所以＝a－b，＜1，a－b＜0，所以a－b＞1，即xayb＞xbya，A错误；a＋a＞＋＝1，故xa＋ya＞(x＋y)a，B正确；而b＋b＜1，所以C错误；而x－a＋xa＝＋xa≥2＞，故D错误．
二、填空题
6．已知函数y＝x在[－2，－1]上的最小值是m，最大值是n，则m＋n的值为__________．
答案 12
解析 ∵函数y＝x在定义域内单调递减，
∴m＝－1＝3，n＝－2＝9.
∴m＋n＝12.
7．已知函数f(x)＝a－x(a＞0，且a≠1)满足f(－2)＞f(－3)，则函数g(x)＝a1－x2的单调增区间是________．
答案 [0，＋∞)
解析 ∵f(－2)＞f(－3)，∴a2＞a3，∴0＜a＜1.令t＝1－x2，则y＝at.∵y＝at是减函数，t＝1－x2的减区间是[0，＋∞)，∴g(x)＝a1－x2的增区间是[0，＋∞)．
8．定义在R上的函数满足f(0)＝0，f(x)＋f(1－x)＝1，f＝f(x)，当0≤x1≤x2≤1时，f(x1)≤f(x2)，则f＝________.
答案
解析 由f(x)＋f(1－x)＝1，得f＋f＝1，f(0)＋f(1)＝1，所以f＝，f(1)＝1.再由f＝f(x)得f＝f(1)＝＝f，f＝＝f，f＝＝f，f＝＝f，f＝＝f，
又因为＜＜，
所以f＝f＝f＝.
三、解答题
9．已知f(x)＝x.
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；
(3)证明f(x)>0.
解 (1)函数f(x)的定义域为{x|x≠0}．
(2)f(x)＝x＝·，
f(－x)＝－·＝·＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
(3)证明：f(x)＝·，
当x>0时，2x－1>0，则f(x)>0；
当x<0时，2x－1<0，则f(x)>0.
综上f(x)>0.
10．已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)用定义证明f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数；
(3)若对于任意t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．
解 (1)∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝0，b＝1.
又由f(－1)＝－f(1)，得a＝1.
(2)证明：任取x1，x2∈R，且x1<x2，
(3)∵t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，
∴f(t2－2t)<－f(2t2－k)．
∵f(x)是奇函数，
∴f(t2－2t)<f(k－2t2)．
∵f(x)为减函数，
∴t2－2t>k－2t2，即k<3t2－2t恒成立．
又∵3t2－2t＝32－≥－，
∴k<－，即k的取值范围为.
B级：“四能”提升训练
1．设a＞0且a≠1，函数y＝a2x＋2ax－1在[－1,1]上的最大值是14，求a的值．
解 令t＝ax(a＞0，且a≠1)，则原函数可化为y＝(t＋1)2－2(t＞0)．
令y＝f(t)，则函数f(t)＝(t＋1)2－2的图象的对称轴为直线t＝－1，开口向上．
①当0＜a＜1时，x∈[－1,1]，t＝ax∈，
此时，f(t)在上为增函数，
∴f(t)max＝f＝2－2＝14.
∴2＝16，∴a＝－或a＝.
又∵a＞0，∴a＝.
②当a＞1时，x∈[－1,1]，t＝ax∈，
此时f(t)在上是增函数，
∴f(t)max＝f(a)＝(a＋1)2－2＝14.
解得a＝3(a＝－5舍去)．
∴a＝或a＝3.
2．已知函数f(x)＝9x－3x＋1＋c(其中c是常数)．
(1)若当x∈[0,1]时，恒有f(x)＜0成立，求实数c的取值范围；
(2)若存在x0∈[0,1]，使f(x0)＜0成立，求实数c的取值范围．
解 f(x)＝9x－3x＋1＋c＝(3x)2－3·3x＋c，
令3x＝t，当x∈[0,1]时，t∈[1,3]．
(1)根据题意知，当t∈[1,3]时，g(t)＝t2－3t＋c<0恒成立．∵二次函数g(t)＝t2－3t＋c的图象的对称轴方程为t＝，∴根据二次函数的性质可知g(t)在[1,3]上的最大值为g(3)．
∴g(3)＝32－3×3＋c<0，解得c<0.故c的取值范围为{c|c＜0}．
(2)存在x0∈[0,1]，使f(x0)<0，等价于存在t∈[1,3]，使g(t)＝t2－3t＋c<0.
于是只需g(t)在[1,3]上的最小值小于0即可．
∵二次函数g(t)＝t2－3t＋c的图象的对称轴方程为t＝，∴根据二次函数的性质可知g(t)在[1,3]上的最小值为g＝2－3×＋c＜0，解得c＜.故c的取值范围为{c.
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