资源描述
第二课 统计与概率
考点突破·素养提升
素养一 直观想象
角度1 抽样方法
【典例1】1. 一个布袋中有10个同样质地的小球,从中不放回地依次抽取3个小球,则某一特定小球被抽到的可能性是________,第三次抽取时,剩余每个小球被抽到的可能性是________.
2.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示.为了解该地区中小学生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为________.
【解析】1.因为简单随机抽样过程中每个个体被抽到的可能性均为,所以第一个空填.因为本题中的抽样是不放回抽样,所以第一次抽取时,每个小球被抽到的可能性为,第二次抽取时,剩余9个小球,每个小球被抽到的可能性为,第三次抽取时,剩余8个小球,每个小球被抽到的可能性为.
2.该地区中小学生人数为3 500+2 000+4 500=10 000,
则样本容量为10 000×2%=200,其中抽取高中生近视人数为2 000×2%×50%=20.
答案:1.
2. 200, 20
【类题·通】
1.简单随机抽样,每次抽取时,总体中各个个体被抽到的可能性相同,在整个抽样过程中各个个体被抽到的机会也都相等.
2.分层抽样的特点是“等比例”抽样,计算时不要忽视每层抽取的个体的比例是相同的.
【加练·固】
某企业三月中旬生产A,B,C三种产品共3 000件,根据分层抽样的结果,企业统计员制作了如下的表格:
产品类别
A
B
C
产品数量(件)
1 300
样本数量(件)
130
由于不小心,表格中A,C产品的有关数据已被污染看不清楚,统计员记得A产品的样本数量比C产品的样本数量多10,根据以上信息,可得C产品的数量是________件.
【解析】设C产品的样本数量为n,则A产品的样本数量为n+10,由题意知=,解得n=80.
故C产品的数量为80÷=800(件).
答案:800角度2 用样本的数字特征估计总体的数字特征
【典例2】1.为了了解某校高三学生的视力情况,随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况,得到频率分布直方图如图,由于不慎将部分数据丢失,但知道后5组频数和为62,视力在4.6到4.8之间的学生数为a,最大频率为0.32,则a的值为 ( )
A.64 B.54 C.48 D.27
2.甲、乙两个班级各随机选出15名同学进行测验,成绩的茎叶图如图所示(单位:分),则甲班、乙班的最高成绩分别是________,从图中看,________班的平均成绩较高.
【解析】1.选B.[4.7,4.8)之间频率为0.32,[4.6,4.7)之间频率为1-0.62-0.05-0.11=1-0.78=0.22,
所以a=(0.22+0.32)×100=54.
2.由茎叶图知甲班的最高成绩为96分,乙班的最高成绩为92分,再根据茎叶图的分布特点知,乙班的成绩分布集中在下面,故乙班的平均成绩较高.
答案:96,92 乙
【类题·通】
1.频率为直方图中相应小长方形的面积,即频率=纵坐标×横坐标差的绝对值.
2.当数据是两位数时,十位上的数字为“茎”,个位上的数字为“叶”;如果是三位数,通常把百位和十位部分作为“茎”,个位上的数字为“叶”;如果是小数,通常把整数部分作为“茎”,小数部分作为“叶”.解题时要根据数据的特点合理地选择茎和叶,应用茎叶图对两组数据进行比较时,要从数据分布的对称性、稳定性等几方面来比较.
【加练·固】
1.某中学举办电脑知识竞赛,满分为100分,80分以上为优秀(含80分),现将高一两个班参赛学生的成绩进行整理后分成5组,绘制成频率分布直方图如图所示.
已知图中从左到右的第一、三、四、五小组的频率分别为0.30,0.15,0.10,0.05,而第二小组的频数是40,则参赛的人数是________,成绩优秀的频率是________.
2.某校举行演讲比赛,9位评委给选手A打出的分数如茎叶图所示,统计员在去掉一个最高分和一个最低分后,算得平均分为91,复核员在复核时,发现有一个数字(茎叶图中的x)无法看清,若统计员计算无误,则数字x应该是 ( )
A.5 B.4 C.3 D.2
【解析】1.设参赛的人数为n,第二小组的频率为1-(0.30+0.15+0.10+0.05)=0.4,
依题意=0.4,
所以n=100,成绩优秀的频率是0.10+0.05=0.15.
答案:100 0.15
2.选D.去掉最低分87,去掉最高分94(假设x≤4),
则7×91=80×2+9+8+90×5+2+3+2+1+x,
所以x=2,符合题意.
同理可验证x>4不合题意.
素养二 逻辑推理
角度 频率与概率
【典例3】对一批U盘进行抽检,结果如下表:
抽出件数a
50
100
200
300
400
500
次品件数b
3
4
5
5
8
9
次品频率
(1)计算表中次品的频率.
(2)从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是多少?
(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换,要销售2 000个U盘,至少需进货多少个U盘?
【解析】(1)表中次品频率从左到右依次为0.06,0.04,0.025,0.017,0.02, 0.018.
(2)当抽取件数a越来越大时,出现次品的频率在0.02附近摆动,所以从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是0.02.
(3)设需要进货x个U盘,为保证其中有2 000个正品U盘,则x(1-0.02)≥2 000,因为x是正整数,
所以x≥2 041,即至少需进货2 041个U盘.
【类题·通】
频率的随机性和概率的确定性是二者的本质区别.
【加练·固】
某人在如图所示的直角边长为4 m的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作物的年收获量Y(单位:kg)与它的“相近”作物株数X(单位:株)之间的关系如下表所示:
X
1
2
3
4
Y
51
48
45
42
这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1m.
(1)完成下表,并求所种作物的平均年收获量,
Y
51
48
45
42
频数
4
(2)在所种作物中随机选取一株,求它的年收获量至少为48kg的概率.
【解析】(1)所种作物的总株数为1+2+3+4+5=15,其中“相近”作物株数为1的作物有2株,“相近”作物株数为2的作物有4株,“相近”作物株数为3的作物有6株,“相近”作物株数为4的作物有3株,列表如下:
Y
51
48
45
42
频数
2
4
6
3
所种作物的平均年收获量为
=
==46.
(2)由(1),知P(Y=51)=,P(Y=48)=.故在所种作物中随机选取一株,它的年收获量至少为48 kg的概率为P(Y≥48)=P(Y=51)+P(Y=48)=+=.
素养三 数学运算
角度1 计算互斥事件和的概率
【典例4】由经验得知,某市某大型超市付款处排队等候付款的人数及其概率如下表:
排队人数
0
1
2
3
4
5人及以上
概率
0.10
0.16
0.30
0.30
0.10
0.04
求:(1)至多2人排队的概率.
(2)至少2人排队的概率.
【解析】(1)记“没有人排队”为事件A,“1人排队”为事件B,“2人排队”为事件C,则A,B,C彼此互斥.
P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.10+0.16+0.30=0.56.
(2)记“至少2人排队”为事件D,“少于2人排队”为事件A∪B,那么事件D与事件A∪B是对立事件,则P(D)=P()=1-[P(A)+P(B)]=1-(0.10+0.16)=0.74.
【类题·通】
本题可将所求事件转化为彼此互斥的事件的和,但有时比较麻烦,若转化为其对立事件求解,体现了“正难则反”的思想.注意“至少2人排队”可分为4个彼此互斥的基本事件,它的对立事件为“最多1人排队”只包含2个基本事件.
【加练·固】
甲、乙、丙、丁四人同时参加一等级考试,已知恰有1人过关(事件A)的概率为0.198,恰有2人过关(事件B)的概率为0.38,恰有3人过关(事件C)的概率为0.302,4人都过关(事件D)的概率为0.084.求:
(1)至少有2人过关的概率P1.
(2)至多有3人过关的概率P2.
【解析】由条件知,事件A,B,C,D彼此互斥.
(1)P1=P(B∪C∪D)=P(B)+P(C)+P(D)=0.766.
(2)P2=P()=1-P(D)=1-0.084=0.916.
角度2 古典概型
【典例5】口袋里装有2个白球和2个黑球,这4个球除颜色外完全相同,四个人按顺序依次从中摸出1个球(不放回),试求“第二个人摸到白球”的概率.
【解析】把四个人依次编号为甲、乙、丙、丁,把2个白球编上序号1,2,把2个黑球也编上序号1,2,于是四个人按顺序依次从袋内摸出1个球的所有可能结果,可用树形图直观地表示出来,如图所示.
从上面的树形图可以看出,试验的所有可能结果为24.第二人摸到白球的结果有12种,记第二个人摸到白球为事件A,则P(A)==.
【类题·通】
事件个数没有很明显的规律,而且涉及的基本事件又不是太多时,我们可借助树形图直观地将其表示出来,有利于条理地思考和表达.
【加练·固】
从1,2,3,4,5这5个数字中任取三个不同的数字,求下列事件的概率:
(1)A={三个数字中不含1和5}.
(2)B={三个数字中含1或5}.
【解析】这个试验的所有可能结果为:(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),
(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),共10种.
(1)事件A为(2,3,4),故P(A)=.
(2)事件B的所有可能结果为:(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5), (1,4,5),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),共9种.故P(B)=.
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