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单元素养评价(二)
(第五章)
(120分钟 150分)
一、单项选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.①一次数学考试中,某班有10人的成绩在100分以上,32人的成绩在90～100分,12人的成绩低于90分,现从中抽取9人了解有关情况;②运动会的工作人员为参加4×100m接力赛的6支队伍安排跑道.针对这两件事,恰当的抽样方法分别为 ( )
A. 简单随机抽样,简单随机抽样
B. 分层抽样,分层抽样
C.简单随机抽样,分层抽样
D.分层抽样,简单随机抽样
【解析】选D.①中,考试成绩在不同分数段之间的同学有明显的差异,用分层抽样比较恰当;②中,总体包含的个体较少,用简单随机抽样比较恰当.
2.从10个事件中任取一个事件,若这个事件是必然事件的概率为0.2,是不可能事件的概率为0.3,则这10个事件中随机事件的个数是 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【解析】选C.这10个事件中,必然事件的个数为10×0.2=2,不可能事件的个数为10×0.3=3.
而必然事件、不可能事件、随机事件是彼此互斥的事件,且它们的个数和为10. 故随机事件的个数为10-2-3=5.
3.利用简单随机抽样从含有6个个体的总体中抽取一个容量为3的样本,则总体中每个个体被抽到的概率是 ( )
A. B. C. D.
【解析】选A.总体个数为N,样本容量为M,则每一个个体被抽到的概率为P===.
4.某中学从高三甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛,他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图(单位:分),其中甲班学生成绩的众数是85,乙班学生成绩的中位数是83,则x+y的值为 ( )
A.7 B.8 C.9 D.10
【解析】选B.由茎叶图及甲班学生成绩的众数是85,可知x=5,而乙班学生成绩的中位数是83,所以y=3,所以x+y=5+3=8.
5.如图为某个容量为100的样本的频率分布直方图,分组为[96,98),[98,100), [100,102),[102,104),[104,106],则在区间[98,100)上的频数为 ( )
A.0.100 B.0.200
C.20 D.0.010
【解析】选C.区间[98,100)上小矩形的面积为0.100×2=0.200,所以区间[98,100)上的频数为100×0.200=20.
6.对一批产品的长度(单位:毫米)进行抽样检测,如图为检测结果的频率分布直方图.根据标准,产品长度在区间[20,25)上的为一等品,在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品,在区间[10,15)和[30,35]上的为三等品.用频率估计概率,现从该批产品中随机抽取一件,则其为二等品的概率为 ( )
A.0.09 B.0.20 C.0.25 D.0.45
【解析】选D.由题图可知抽得一等品的概率为0.3,抽得三等品的概率为0.25,则抽得二等品的概率为1-0.3-0.25=0.45.
7.某年级有12个班,现要从2班到12班中选1个班的学生参加一项活动,有人提议:掷两个骰子,得到的点数之和是几就选几班,这种选法 ( )
A.公平,每个班被选到的概率都为
B.公平,每个班被选到的概率都为
C.不公平,6班被选到的概率最大
D.不公平,7班被选到的概率最大
【解析】选D.P(1)=0,P(2)=P(12)=,P(3)=P(11)=,P(4)=P(10)=,P(5)=P(9) =,P(6)=P(8)=,P(7)=,故选D.
8.一个袋子中有5个大小相同的球,其中有3个黑球与2个红球,如果从中任取2个球,则恰好取到2个同色球的概率是 ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.记3个黑球分别为黑1,黑2,黑3,2个红球分别为红1,红2,从中任取2个球,则基本事件有(黑1,黑2),(黑1,黑3),(黑2,黑3),(红1,红2),(黑1,红1),(黑1,红2),(黑2,红1),(黑2,红2),(黑3,红1),(黑3,红2),共10个,其中为同色球的有4个,故所求概率为=.
9.甲、乙两名同学在5次数学考试中,成绩统计图用茎叶图表示如图所示,若甲、乙两人的平均成绩分别用、表示,则下列结论正确的是 ( )
A.>,且甲比乙成绩稳定
B.>,且乙比甲成绩稳定
C.<,且甲比乙成绩稳定
D.<,且乙比甲成绩稳定
【解析】选A.=90,=88,所以>,甲的成绩的方差是×(4+1+0+1+4)=2,乙的成绩的方差是×(25+0+1+1+9)=7.2,故甲成绩稳定.
10.甲、乙两位同学各拿出6张游戏牌,用作投骰子的奖品,两人商定:骰子朝上的面的点数为奇数时甲得1分,否则乙得1分,先积得3分者获胜,得所有12张游戏牌,并结束游戏.比赛开始后,甲积2分,乙积1分,这时因意外事件中断游戏,以后他们不想再继续这场游戏,下面对这12张游戏牌的分配合理的是( )
A.甲得9张,乙得3张
B.甲得6张,乙得6张
C.甲得8张,乙得4张
D.甲得10张,乙得2张
【解析】选A.由题意,得骰子朝上的面的点数为奇数的概率为,即甲、乙每局得分的概率相等,
所以甲获胜的概率是+×=,
乙获胜的概率是×=.
所以甲得到的游戏牌为12×=9(张),乙得到的游戏牌为12×=3(张).
二、多项选择题(本大题共3小题,每小题4分,共12分,在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的.全部选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
11.下列事件中,是随机事件的是 ( )
A.2020年8月18日,北京市不下雨
B.在标准大气压下,水在4℃时结冰
C.从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张,恰为1号签
D.若x∈R,则x2≥0
【解析】选AC.AC为随机事件,B为不可能事件,D为必然事件.
12.有甲、乙两种报纸供市民订阅,记事件E为“只订甲报纸”,事件F为“至少订一种报纸”,事件G为“至多订一种报纸”,事件H为“不订甲报纸”,事件I为“一种报纸也不订”.下列命题正确的是 ( )
A.E与G是互斥事件
B.F与I是互斥事件,且是对立事件
C.F与G不是互斥事件
D.G与I是互斥事件
【解析】选BC.A.E与G不是互斥事件;B.F与I是互斥事件,且是对立事件;C.F与G不是互斥事件;D.G与I不是互斥事件.
13.在某地区某高传染性病毒流行期间,为了建立指标显示疫情已受控制,以便向该地区居民显示可以过正常生活,有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”,根据连续7天的新增病例数计算,下列各项中,一定符合上述指标的是 ( )
A.平均数≤3
B.标准差s≤2
C.平均数≤3且极差小于或等于2
D.众数等于1且极差小于或等于4
【解析】选CD.A中平均数≤3,可能是第一天0人,第二天6人,不符合题意;B中每天感染的人数均为10,标准差也是0,显然不符合题意;C符合,若极差等于0或1,在≤3的条件下,显然符合指标;若极差等于2且≤3,则每天新增感染人数的最小值与最大值有下列可能:(1)0,2,(2)1,3,(3)2,4,符合指标.D符合,若众数等于1且极差小于或等于4,则最大值不超过5,符合指标.
三、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上)
14.袋中有3只白球和a只黑球,从中任取1只,是白球的概率为,则a=________.
【解析】因为=,所以a=18.
答案:18
15.抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位:环),结果如下:
运动员
1
2
3
4
5
甲
87
91
90
89
93
乙
89
90
91
88
92
则比赛中教练该派运动员________上场参加比赛.
【解析】由表中数据计算可得=90,=90,且=[(87-90)2+(91-90)2+(90-90)2+(89-90)2+(93-90)2]=4,
=[(89-90)2+(90-90)2+(91-90)2+(88-90)2+(92-90)2]=2,
由于>,故乙的成绩较为稳定,故派乙参赛.
答案:乙
16.某电子商务公司对10 000名网络购物者在2019年度的消费情况进行统计,发现消费金额(单位:万元)都在区间[0.3,0.9]内,其频率分布直方图如图所示.
(1)直方图中的a=________.
(2)在这些购物者中,消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为________.
【解析】(1)由频率分布直方图及频率和等于1可得0.2×0.1+0.8×0.1+1.5×0.1+2×0.1+2.5×0.1+a×0.1=1,解得a=3.
(2)消费金额在区间[0.5,0.9]内的频率为0.2×0.1+0.8×0.1+2×0.1+3×0.1=0.6,所以消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为0.6×10 000=
6 000.
答案:(1)3 (2)6 000
17.设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响,已知在某一小时内,甲、乙都需要照顾的概率为0.05,甲、丙都需要照顾的概率为0.1,乙、丙都需要照顾的概率为0.125.则求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别为________,________,________.
【解析】记“机器甲需要照顾”为事件A,“机器乙需要照顾”为事件B,“机器丙需要照顾”为事件C,由题意可知A,B,C是相互独立事件.
由题意可知
得所以甲、乙、丙每台机器需要照顾的概率分别为0.2,0.25,0.5.
答案:0.2 0.25 0.5
四、解答题(本大题共6小题,共82分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
18.(12分) 某公司为了了解一年内的用水情况,抽取了10天的用水量如表所示:
天数
1
1
1
2
2
1
2
用水量/吨
22
38
40
41
44
50
95
(1)在这10天中,该公司用水量的平均数是多少?
(2)在这10天中,该公司每天用水量的中位数是多少?
(3)你认为应该用平均数和中位数中的哪一个数来描述该公司每天的用水量?
【解析】(1)=(22+38+40+2×41+2×44+50+2×95)=51(吨).
(2)中位数为=42.5(吨).
(3)平均数受数据中的极端值(2个95)影响较大,使平均数在估计总体时可靠性降低,10天的用水量有8天都在平均值以下,故用中位数描述每天的用水量更合适.
19.(14分)青海玉树发生地震后,为了重建,对某项工程进行竞标,现共有6家企业参与竞标,其中A企业来自辽宁省,B,C两家企业来自山东省,D,E,F三家企业来自河南省,此项工程需要两家企业联合施工,假设每家企业中标的概率相同.
(1)列举所有企业的中标情况.
(2)在中标的企业中,至少有一家来自山东省的概率是多少?
【解析】(1)所有企业的中标情况为:
AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,DE,DF,EF.共15种.
(2)在中标的企业中,至少有一家来自山东省的情况有:AB,AC,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,共9种,在中标的企业中,至少有一家来自山东省的概率是P==.
20.(14分)某市化工厂三个车间共有工人1 000名,各车间男、女工人数如下表:
第一车间
第二车间
第三车间
女工
173
100
y
男工
177
x
z
已知在全厂工人中随机抽取1名,抽到第二车间男工的可能性是0.15.
(1)求x的值.
(2)现用分层抽样的方法在全厂抽取50名工人,则应在第三车间抽取多少名工人?
【解析】(1)依题意有=0.15,解得x=150.
(2)因为第一车间的工人数是173+177=350,第二车间的工人数是100+150=250,
所以第三车间的工人数是1 000-350-250=400.
设应从第三车间抽取m名工人,
则有=,
解得m=20,
所以应在第三车间抽取20名工人.
21.(14分)甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次,甲射中的概率为0.8,乙射中的概率为0.9,求:
(1)2人都射中目标的概率.
(2)2人至少有1人射中目标的概率.
【解析】记“甲射击1次,击中目标”为事件A,“乙射击1次,击中目标”为事件B,则A与B,与B,A与,与为相互独立事件,
(1)2人都射中的概率为:
P(AB)=P(A)P(B)=0.8×0.9=0.72,
所以2人都射中目标的概率是0.72.
(2)方法一:2人至少有1人射中包括“2人都中”和“2人有1人不中”2种情况,其概率为P=P(AB)+[P(A)+P(B)]=0.72+0.26=0.98.
方法二:“2人至少有1人射中”与“2人都未射中”为对立事件,
“2人都未射中目标”的概率是P()=P()P()=(1-0.8)(1-0.9)=0.02,
所以“两人至少有1人射中目标”的概率为P=1-P()=1-0.02=0.98.
22.(14分)一汽车厂生产A,B,C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如表(单位:辆):
轿车A
轿车B
轿车C
舒适型
100
150
z
标准型
300
450
600
按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A类轿车10辆.
(1)求z的值.
(2)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本,将该样本看成一个总体,从中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率.
(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下:9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2.把这8辆轿车的得分看作一个样本,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.
【解析】(1)设该厂本月生产轿车为n辆,由题意得,=,所以,n=2 000,
z=2 000-100-300-150-450-600=400.
(2)设所抽样本中有m辆舒适型轿车,因为用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本,所以=,解得m=2,也就是抽取了2辆舒适型轿车,3辆标准型轿车,分别记作S1,S2,B1,B2,B3,则从中任取2辆的所有基本事件为(S1,B1),(S1,B2),(S1,B3), (S2,B1), (S2,B2),(S2,B3),(S1,S2),(B1,B2),(B2,B3),(B1,B3),共10个,其中至少有1辆舒适型轿车的基本事件有7个:(S1,B1),(S1,B2),(S1,B3),(S2,B1),(S2,B2),(S2,B3),(S1,S2),所以从中任取2辆,至少有1辆舒适型轿车的概率为.
(3)样本的平均数为=(9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2)=9,那么与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的数为9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0这6个数,总的个数为8,所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为P==0.75.
23.(14分)先后2次抛掷一枚骰子,将得到的点数分别记为a,b.
(1)求直线ax+by+5=0与圆x2+y2=1相切的概率.
(2)将a,b,5的值分别作为三条线段的长,求这三条线段能围成等腰三角形的概率.
【解析】先后2次抛掷一枚骰子,将得到的点数分别记为a,b,包含的基本事件有:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),…,(6,5),(6,6),共36个.
(1)因为直线ax+by+5=0与圆x2+y2=1相切,
所以=1,整理,得a2+b2=25.
由于a,b∈{1,2,3,4,5,6},
所以满足条件的情况只有a=3,b=4或a=4,b=3两种情况.所以直线ax+by+5=0与圆x2+y2=1相切的概率是=.
(2)因为三角形的一条边长为5,三条线段围成等腰三角形,所以当a=1时,b=5,共1个基本事件;
当a=2时,b=5,共1个基本事件;
当a=3时,b=3,5,共2个基本事件;
当a=4时,b=4,5,共2个基本事件;
当a=5时,b=1,2,3,4,5,6,共6个基本事件;
当a=6时,b=5,6,共2个基本事件;
所以满足条件的基本事件共有1+1+2+2+6+2=14(个).所以三条线段能围成等腰三角形的概率为=.
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