2019_2020学年新教材高中数学单元素养评价三新人教A版必修2.doc

单元素养评价(三)
单元素养评价(三)(第八章)
(120分钟　150分)
一、单项选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的)
1.(2019·南昌高一检测)一条直线和两异面直线b，c都相交，则它们可以确定 (　　)
A.一个平面　　　　　　B.两个平面
C.三个平面 D.四个平面
【解析】选B.因为两条相交的直线可以确定一个平面，一条直线和两异面直线b，c都相交，所以它们可以确定2个平面.
2.(2019·镇江高一检测)教师拿了一把直尺走进教室，则下列判断正确的个数是 (　　)
①教室地面上有且仅有一条直线与直尺所在直线平行；
②教室地面上有且仅有一条直线与直尺所在直线垂直；
③教室地面上有无数条直线与直尺所在直线平行；
④教室地面上有无数条直线与直尺所在直线垂直.
A.1　 　　B.2　　 　C.3　　 　D.4
【解析】选A.①教室地面上若有一条直线与直尺所在直线平行，可得存在无数条直线与直尺所在直线平行，故①错误；②教室地面上若有一条直线与直尺所在直线垂直，则与教室地面上的直线平行的直线与直尺所在直线都垂直，故②错误；
③若直尺所在直线与教室地面相交，教室地面上不存在直线与直尺所在直线平行，故③错误；
④不管直尺所在直线与教室地面平行，相交或在地面上，教室地面上都存在无数条直线与直尺所在直线垂直，故④正确.
3.已知直线l平行于平面α，平面β垂直于平面α，则以下关于直线l与平面β的位置关系的表述，正确的是 (　　)
A.l与β不平行
B.l与β不相交
C.l不在平面β上
D.l在β上，与β平行，与β相交都有可能
【解析】选D.正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面ABCD⊥平面CDD1C1，
A1B1∥平面ABCD，A1B1∥平面CDD1C1；
A1D1∥平面ABCD，A1D1与平面CDD1C1相交；
C1D1∥平面ABCD，C1D1⊂平面CDD1C1.
因为直线l平行于平面α，平面β垂直于平面α，
所以l与β相交、平行或l⊂β.

4.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，若m⊂α，n⊂β，则下列命题正确的是 (　　)
A.若n∥α，m∥β，则α∥β
B.若α∩β=l，且m⊥l，则m⊥β
C.若m∥n，m∥β，则α∥β
D.若α∩β=l，且m∥l，则m∥β
【解析】选D.对于A.若n∥α，m∥β，则α∥β或α与β相交，故错；
对于B，若α∩β=l，且m⊥l，则m与β不一定垂直，故错；
对于C，若m∥n，m∥β，则α与β位置关系不确定，故错；对于D，因为α∩β=l，所以l⊂β，因为m∥l，则m∥β，故正确.
5.(2019·武昌高一检测)已知正三棱柱的所有顶点都在球O的球面上，且该正三棱柱的底面边长为2，体积为3，则球O的表面积为 (　　)
A. B.5π C. D.25π
【解析】选C.由题意可知，正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，
底面中心到顶点的距离为r=×.
设正三棱柱的高为h，
由×2×h=3，得h=.
所以外接球的半径为
R==，

所以外接球的表面积为：
S=4πR2=4π×=.
【加练·固】
已知各个顶点都在同一个球面上的正方体的棱长为2，则这个球的表面积为 (　　)
A.12π　　B.16π　　C.20π　　D.24π
【解析】选A.正方体的棱长为2，正方体的体对角线的长为2，即正方体外接球的直径为2，半径为.所以球的表面积为S=4π()2=12π.
6.(2019·宜宾高一检测)在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠ACB=，且PA=AC=BC，则异面直线AB与PC所成角的正切值为 (　　)
A. B.1 C. D.
【解析】选D.设PA=AC=BC=a，
则·=(-)·
=·-·
=-a×a×cos=-a2，
设与夹角为θ，
则cosθ==-.
即θ=，所以异面直线AB与PC所成角的正切值为tan=.
7.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是A1D1，A1B1的中点，过直线BD的平面α∥平面AMN，则平面α截该正方体所得截面的面积为
(　　)

A. B. C. D.
【解析】选B.取B1C1的中点E，

C1D1的中点F，连接EF，BE，DF，B1D1，
则EF∥B1D1，B1D1∥BD，
所以EF∥BD，故E，F，B，D在同一平面内，
连接ME，因为M，E分别为A1D1，B1C1的中点，
所以ME∥A1B1∥AB，且ME=AB，
所以四边形ABEM是平行四边形，
所以AM∥BE，又因为BE⊂平面BDFE，AM不在平面BDFE内，所以AM∥平面BDFE，
同理AN∥平面BDFE，因为AM∩AN=A，
所以平面AMN∥平面BDFE，
即平面α截该正方体所得截面为平面BDFE，
BD=，EF=B1D1=，DF=，
梯形BDFE如图：

过E，F作BD的垂线，则四边形EFGH为矩形，
所以FG===，
故四边形BDFE的面积为×=.
8.如图，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，则下列结论正确的是 (　　)

A.PB⊥AD
B.平面PAB⊥平面PBC
C.直线BC∥平面PAE
D.直线CD⊥平面PAC
【解析】选D.在A中，因为AD与PB在平面ABC内的射影AB不垂直，所以A不正确.
在B中，过点A作PB的垂线，垂足为H，

若平面PAB⊥平面PBC，则AH⊥平面PBC，所以AH⊥BC.
又PA⊥BC，所以BC⊥平面PAB，
则BC⊥AB，这与底面是正六边形不符，所以B不正确.
在C中，若直线BC∥平面PAE，则BC∥AE，但BC与AE相交，所以C不正确.
在D中，因为PA⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，所以CD⊥PA，
设AB=1，则AD=2，
AC==，
所以AC2+CD2=AD2，所以CD⊥AC，又PA∩AC=A，所以直线CD⊥平面PAC，故D正确.
9.(2019·郑州高一检测)在轴截面顶角为直角的圆锥内，作一内接圆柱，若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，则圆锥的底面半径与圆柱的底面半径之比为 (　　)
A. B.2 C.2 D.4
【解析】选A.如图所示，

∠AMB=90°，设圆柱的底面圆半径为r，高为h.
圆锥的底面半径为R，则圆锥的高为R，母线长为R；由题意知，2πr2+2πrh=πR·R，
即2r2+2rh=R2；
由相似边成比例得=，
即h=R-r；
所以2r2+2r(R-r)=R2，
即2r=R，
所以==，
即圆锥的底面半径与圆柱的底面半径之比为.
10.(2019·深圳高一检测)已知正方体ABCD-A1B1C1D1，P为棱CC1的动点，Q为棱AA1的中点，设直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，以下关系中正确的是
(　　)

A.m∥D1Q
B.m∥平面B1D1Q
C.m⊥B1Q
D.m⊥平面ABB1A1
【解析】选B.因为正方体ABCD-A1B1C1D1，P为棱CC1的动点，Q为棱AA1的中点，
直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，且BD∥B1D1，
所以m∥BD∥B1D1，
因为m⊄平面B1D1Q，B1D1⊂平面B1D1Q，
所以m∥平面B1D1Q.
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题4分，共12分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F，G分别为棱A1D1，A1A，A1B1的中点，给出下列命题：
①EF⊥B1C；②BC1∥平面EFG；③A1C⊥平面EFG；④异面直线FG，B1C所成角的大小为.其中正确命题的序号为 (　　)

A.① B.② C.③ D.④
【解析】选ABC.如图，

对于①，连接AD1，则EF∥AD1∥BC1，而BC1⊥B1C，
则EF⊥B1C，故①正确；
对于②，因为BC1∥EF，EF⊂平面EFG，BC1⊄平面EFG，
所以BC1∥平面EFG，故②正确；
对于③，A1C⊥EF，A1C⊥EG，EF∩EG=E，
所以A1C⊥平面EFG，故③正确；
对于④，FG∥AB1，所以∠AB1C为异面直线FG，B1C所成角，连接AC，可得△AB1C为等边三角形，则∠AB1C=，
即异面直线FG，B1C所成角的大小为，故④错误.
12.已知平面α⊥平面β.直线m⊂平面α，直线n⊂平面β，α∩β=l，在下列说法中，正确的有 (　　)

A.若m⊥n，则m⊥l
B.若m⊥l，则m⊥β
C.若m⊥β，则m⊥n
D.m⊥n则m⊥β
【解析】选BC.平面α⊥平面β.直线m⊂平面α，直线n⊂平面β，α∩β=l，
若m⊥n，可得m，l可能平行，故A错误；
若m⊥l，由面面垂直的性质定理可得m⊥β，故B正确；
若m⊥β，可得m⊥n，故C正确，D错误.
13.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，M为棱BB1的中点，则下列结论中正确的是 (　　)

A.D1O∥平面A1BC1
B.D1O⊥平面MAC
C.异面直线BC1与AC所成的角为60°
D.MO⊥平面ABCD
【解析】选ABC.在A中，取A1C1中点E，则D1O∥BE，因为D1O⊄平面A1BC1，BE⊂平面A1BC1，

所以D1O∥平面A1BC1，故A正确.
在B中，因为D1O⊥AM，D1O⊥AC，
所以D1O⊥平面MAC，故B正确；
在C中，因为AC∥A1C1，所以∠BC1A1是异面直线BC1与AC所成的角，又△A1C1B是正三角形，所以异面直线BC1与AC所成的角为60°，故C正确.
在D中，MB⊥平面ABCD，MO∩MB=M，故MO与平面ABCD不垂直，故D错误.
三、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题中的横线上)
14.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M，则四棱锥M-EFGH的体积为________. 

【解析】因为底面EFGH的对角线EG与FH互相垂直，
所以SEFGH=×EG×FH=×2×2=2，
又M到底面EFGH的距离等于棱长的一半，
即h=×2=1，
所以四棱锥M-EFGH的体积：
VM-EFGH=×SEFGH×h=×2×1=.
答案：
15.(2019·厦门高一检测)如图，圆锥状容器内盛有水，水深3 dm，水面直径2 dm放入一个铁球后，水恰好把铁球淹没，则该铁球的体积为________dm3. 

【解析】如图，

设铁球的半径为r dm，则放入铁球后水深为3r dm，上底面半径为r dm，
此时铁球与水的体积和为·π·(r)2·3r=3πr3 dm3.
原来水的体积为·π·()2·3=3π dm3，
铁球的体积为πr3 dm3，则3π+πr3=3πr3，
解得r3=.
所以铁球的体积V=π×= dm3.
答案：
16.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1C，C1B1，C1D1的中点，点H在四边形A1ADD1的边及其内部运动，则H满足条件________时，有BH∥平面MNP.  

【解析】因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1C，C1B1，C1D1的中点，
点H在四边形A1ADD1的边及其内部运动，
所以PN∥BD，PM∥A1B，MN∥A1D，
因为PN∩PM=P，A1B∩BD=B，
所以平面A1BD∥平面PMN，
所以H满足条件H∈线段A1D时，有BH∥平面MNP.
答案：H∈线段A1D
17.如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD.
给出下列命题：
①PB⊥AC；
②平面PAB与平面PCD的交线与AB平行；
③平面PBD⊥平面PAC；
④△PCD为锐角三角形.其中正确命题的序号是________.  

【解析】如图，

①若PB⊥AC，因为AC⊥BD，则AC⊥平面PBD，
所以AC⊥PO，又PA⊥平面ABCD，
则AC⊥PA，在平面PAC内过P有两条直线与AC垂直，与在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直矛盾.①错误；
②因为CD∥AB，则CD∥平面PAB，所以平面PAB与平面PCD的交线与AB平行.②正确；
③因为PA⊥平面ABCD，所以平面PAC⊥平面ABCD，
又BD⊥AC，所以BD⊥平面PAC，则平面PBD⊥平面PAC.③正确；
④因为PD2=PA2+AD2，PC2=PA2+AC2，AC2=AD2+CD2，AD=CD，
所以PD2+CD2=PC2，
所以△PCD为直角三角形，④错误.
答案：②③
四、解答题(本大题共6小题，共82分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
18.(12分)(2019·泰州高一检测)如图，在三棱锥A-BCD中，点E，F分别是BD，BC的中点，AB=AD，AE⊥BC.求证：
(1)EF∥平面ACD.
(2)AE⊥CD.

【证明】(1)因为点E，F分别是BD，BC的中点，
所以EF∥CD，又因EF⊄平面ACD，CD⊂平面ACD，从而EF∥平面ACD.
(2)因为点E是BD的中点，且AB=AD，
所以AE⊥BD，又因为AE⊥BC，BC⊂平面BCD，BD⊂平面BCD，BC∩BD=B，故AE⊥平面BCD，因为CD⊂平面BCD，所以AE⊥CD.
19.(14分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AD=2，AB=1，∠BAD=60°，平面PCD⊥平面ABCD，点M为PC上一点.
(1)若PA∥平面MBD，求证：点M为PC中点.
(2)求证：平面MBD⊥平面PCD.

【证明】(1)连接AC交BD于O，连接OM，如图所示；

因为PA∥平面MBD，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面MBD=OM，所以PA∥OM.
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以O是AC的中点，所以M是PC的中点.
(2)在△ABD中，AD=2，AB=1，∠BAD=60°，
所以BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos∠BAD=3，
所以AD2=AB2+BD2，所以AB⊥BD.
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AB∥CD，所以BD⊥CD.
又因为平面PCD⊥平面ABCD，且平面PCD∩平面ABCD=CD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面PCD.
因为BD⊂平面MBD，所以平面MBD⊥平面PCD.
20.(14分)(2019·太原高一检测)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，△PCD是正三角形，PC⊥AC，E是PA的中点.
(1)证明：AC⊥PD.
(2)求三棱锥P-BDE的体积.

【解析】(1)因为AD∥BC，AB⊥AD，
所以∠ABC=∠BAD=90°，
因为AB=BC=1，所以∠CAD=45°，AC=，
由余弦定理得CD2=AC2+AD2-2AC·AD·cos∠CAD=2，
所以AC2+CD2=4=AD2，所以AC⊥CD，
因为PC⊥AC，PC∩CD=C，
所以AC⊥平面PCD，则AC⊥PD.
(2)由(1)知，平面PCD⊥平面ABCD，且平面PCD∩平面ABCD=CD，因为△PCD是正三角形，取CD中点O，连接PO，

则PO⊥平面ABCD，因为CD=，所以PO=，因为E是PA的中点，所以E到平面ABCD的距离h=.
所以VP-BDE=VA-BDE=VE-ABD=××2×1×=.
21.(14分)(2019·泉州高一检测)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AB∥DC，E，F分别为PC，DC的中点，PA=DC=2AB=2AD=2.
(1)证明：平面PAD∥平面EBF.
(2)求三棱锥P-BED的体积.

【解析】(1)由已知F为CD的中点，且CD=2AB，所以DF=AB，因为AB∥CD，所以AB∥DF，又因为AB=DF，所以四边形ABFD为平行四边形，所以BF∥AD，又因为BF⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BF∥平面PAD.在△PDC中，因为E，F分别为PC，CD的中点，所以EF∥PD，因为BF⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，所以EF∥平面PAD，因为EF∩BF=F，所以平面PAD∥平面EBF.
(2)由已知E为PC中点，VP-BDC=2VE-BDC，
又因为VP-BDE=VP-BDC-VE-BDC，
所以VP-BDE=VP-BDC，
因为S△BDC=×1×2=1，
VP-BDC=S△BDC·AP=，
所以三棱锥P-BED的体积VP-BED=.
22.(14分)(2019·苏州高一检测)在《九章算术》中，将有三条棱相互平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”.如图所示的五面体是一个羡除，其中棱AB，CD，EF相互平行，四边形ABEF是梯形.已知CD=EF，AD⊥平面ABEF，BE⊥AF.
(1)求证：DF∥平面BCE.
(2)求证：平面ADF⊥平面BCE.

【证明】(1)因为AB，CD，EF相互平行，四边形ABEF是梯形.CD=EF，
所以四边形CDFE是平行四边形，
所以DF∥CE，
因为DF⊄平面BCE，CE⊂平面BCE，
所以DF∥平面BCE.
(2)因为AD⊥平面ABEF，BE⊂平面ABEF，
所以BE⊥AD，
因为BE⊥AF，AF∩AD=A.
所以BE⊥平面ADF，
因为BE⊂平面BCE，
所以平面ADF⊥平面BCE.
23.(14分)(2019·泰州高一检测)如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，边BC的中点为D，BC=CC1=2.
(1)求三棱锥C-AC1D的体积.
(2)点E在线段B1C1上，且A1E∥平面AC1D，求的值.

【解析】(1)因为ABC-A1B1C1为正三棱柱，
所以C1C⊥平面ABC，所以三棱锥C-AC1D的
体积==S△ACD·C1C=××1××2=.
(2)连接A1C交AC1于F，连接EC交C1D于G，连接FG，

因为A1E∥平面AC1D，A1E⊂平面A1CE，
平面A1CE∩平面AC1D=FG，所以A1E∥FG，
因为ABC-A1B1C1为正三棱柱，所以侧面ACC1A1和侧面BCC1B1为平行四边形，
从而有F为A1C的中点，于是G为EC的中点，
所以EC1=DC，
因为D为边BC的中点，所以E为边B1C1的中点，所以=1.

- 17 -