2019_2020学年新教材高中数学单元素养评价一新人教A版必修2.doc

单元素养评价(一) (第六章)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的)1.(2019龙岩高二检测)在ABC中，A=60，B=75，a=10，则c等于()A.5B.10C.D.5【解析】选C.因为A=60，B=75，所以C=180-A-B=45，所以由正弦定理知c=.【加练固】ABC的内角A，B，C的对边分別为a，b，c，已知a=，c=2，cos A=，则b=()A.B.C.2D.3【解析】选D.由余弦定理得4+b2-22bcos A=5，整理得3b2-8b-3=0，解得b=3或b=-(舍)2.设x，yR，向量a=(x，1)，b=(1，y)，c=(2，-4)，且ac，bc，则|a+b|=()A.B.C.2D.10【解析】选B.由ac得ac=2x-4=0，所以x=2，由bc得1(-4)=2y，所以y=-2，于是a=(2，1)，b=(1，-2)，a+b=(3，-1)，从而|a+b|=.【加练固】已知向量=(1，1)，=(2，3)，则下列向量与垂直的是()A.a=(3，6)B.b=(8，-6)C.c=(6，8)D.d=(-6，3)【解析】选D.=-=(1，2)，(1，2)(-6，3)=1(-6)+23=0.3.如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则=()A.+B.+C.+D.+【解析】选D.根据题意得：=(+)，又=+，=，所以=(+)=+.【加练固】如图，在ABC中，BE是边AC的中线，O是边BE的中点，若=a，=b，则=()A.a+bB.a+bC.a+bD.a+b【解析】选D.=+=+=+(-)=+=+=a+b.4.(2019全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin A-bsin B=4csin C，cos A=-，则=()A.6B.5C.4D.3【解析】选A.由已知及正弦定理可得a2-b2=4c2，由余弦定理推论可得-=cos A=，所以=-，所以=，所以=4=6.【加练固】在ABC中，sin Asin Bsin C=233，则cos B=()A.B.C.D.【解析】选A.由 sin Asin Bsin C=233，结合正弦定理可得abc=233，故设a=2k，b=c=3k(k0)，所以cos B=，故cos B=.5.在ABC中，D是边BC上一点，若ADAC，sinBAC=，AD=3，AB=3，BD=()A.B.2C.2D.3【解析】选A.画出图象如图所示.由诱导公式得 sinBAC=sin(BAD+)=cosBAD=，在三角形ABD中，由余弦定理得BD=.6.如图，在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形ABCD的顶点D被阴影遮住，请设法计算=()A.10B.11C.12D.13【解析】选B.以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(4，1)，C(6，4)，=(4，1)，=(2，3)，所以=42+13=11.【加练固】 已知点A(7，1)，B(1，a)，若直线y=x与线段AB交于点C，且=2，则实数a=()A.4B.5C.-4D.-5【解析】选A.根据题意，设C(x，x)，由A(7，1)，B(1，a)，得=(x-7，x-1)，=(1-x，a-x).又=2，所以(x-7，x-1)=2(1-x，a-x)，所以解得x=3，a=4，所以实数a的值为4.7.已知点M，N满足|=|=3，且|+|=2，则M，N两点间的距离为()A.B.4C.6D.3【解析】选B.依题意，得|+|2=|2+2=18+2=20，则=1，故M，N两点间的距离为|=|-|=4.8.(2019海口高一检测)在ABC中，A=60，a=3，则ABC的周长为()A.6sin(B+30)+3B.4sin(B+30)+3C.6sin(B+60)+3D.4sin(B+60)+3【解析】选A.由正弦定理可得=，所以b=2sin B，c=2sin C，因为A+B+C=180，A=60，所以C=180-A-B=120-B，那么ABC的周长：a+b+c=3+2sin B+2sin(120-B)=3+2sin B+2=3+3sin B+3cos B=3+6sin(B+30).9.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的D处测得水柱顶端A的仰角为45，沿D向北偏东30方向前进100 m后到达C处，在C处测得水柱顶端A的仰角为30，则水柱的高度是()A.50 mB.100 mC.120 mD.150 m【解析】选A.如图所示，AO平面OCD，CD=100，ACO=30，ADO=45，ODC=60.设OA=h，在RtOAD，则OD=h，同理可得：OC=h，在OCD中，OC2=OD2+CD2-2ODCDcos 60，所以(h)2=h2+1002-2h100，化为：h2+50h-5 000=0，解得h=50，因此水柱的高度是50 m.10.如图，ABC是边长为2的正三角形，P是以C为圆心，半径为1的圆上任意一点，则的取值范围是()A.1，13B.(1，13)C.(4，10)D.4，10【解析】选A.取AB的中点D，连接CD，CP，则+=2，所以=(-)(-)=-2+1=(2)2cos-231cos+1=7-6cos，所以当cos=1时，取得最小值为1；当cos=-1时，取得最大值为13，因此的取值范围是1，13.二、多项选择题(本大题共3小题，每小题4分，共12分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)11.已知向量a=(1，-2)，|b|=4|a|，ab，则b可能是()A.(4，-8)B.(8，4)C.(-4，-8)D.(-4，8)【解析】选AD.b=-4a时，b可能是(-4，8).b=4a时，b可能是(4，-8).12.在ABC中，a=15，b=20，A=30，则cos B=()A.-B.C.-D.【解析】选AD.因为=，所以=，解得sin B=.因为ba，所以BA，故B有两解，所以cos B=.13.已知ABC中，若sin Asin Bsin C=k(k+1)2k，则k的取值可以是()A.B.(2，+)C.(-，0)D.【解析】选BD.由正弦定理得：a=mk，b=m(k+1)，c=2mk，(m0)，因为即所以k.三、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题中的横线上)14.在ABC中，a=3，b=2，cos C=，则ABC的面积为_.【解析】因为cos C=，0C，所以sin C=.所以SABC=absin C=32=4.答案：415.已知向量a，b满足|b|=5，|a+b|=4，|a-b|=6，则向量a在向量b上的投影为_.【解析】设向量a，b的夹角为，则|a+b|2=|a|2+2|a|b|cos +|b|2= |a|2+10|a|cos +25=16，|a-b|2=|a|2-2|a|b|cos +|b|2=|a|2-10|a|cos +25=36，两式相减整理得|a|cos =-1，即向量a在向量b上的投影为|a|cos =-1.答案：-116.(2019海口高一检测)在ABC中，A=60，且最大边与最小边是方程3x2-27x+32=0的两个实根，则ABC的外接圆半径R外=_.【解析】易知，a既不是最大边，也不是最小边，不妨假设c为最大边，b为最小边，则，所以a2=b2+c2-2bccos 60=(b+c)2-3bc=49，所以a=7(a=-7舍去)，所以R外= =.答案：【加练固】(2018浙江高考)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a=，b=2，A=60，则sin B=_，c=_.【解析】由正弦定理=得=，得sin B=，cos A=，解得c=3.答案：317.在等腰直角ABC中，ABC=90，AB=BC=2，M，N为AC边上的两个动点(M，N不与A，C重合)，且满足|=，则的取值范围为_.【解析】不妨设点M靠近点A，点N靠近点C，以等腰直角三角形ABC的直角边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示，则B(0，0)，A(0，2)，C(2，0)，线段AC的方程为x+y-2=0(0x2).设M(a，2-a)，N(a+1，1-a)(由题意可知0a1)，所以=(a，2-a)，=(a+1，1-a)，所以=a(a+1)+(2-a)(1-a)=2a2-2a+2=2+，因为0a1，所以由二次函数的知识可得.答案：四、解答题(本大题共6小题，共82分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)18.(12分)已知非零向量a，b满足|a|=1，且(a-b)(a+b)=.(1)求|b|.(2)当ab=时，求向量a与b的夹角的值.【解析】(1)因为(a-b)(a+b)=，即a2-b2=.所以|b|2=|a|2-=1-=，故|b|=.(2)因为cos = =，又0180，故=45.19.(14分)在平面直角坐标系xOy中，点A(-1，-2)，B(2，3)，C(-2，-1).(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长.(2)设实数t满足(-t)=0，求t的值.【解析】(1)由题设知=(3，5)，=(-1，1)，则+=(2，6)，-=(4，4).所以|+|=2，|-|=4.故所求的两条对角线的长分别为2，4.(2)由题设知，=(-2，-1)，-t=(3+2t，5+t)，由(-t)=0，得(3+2t，5+t)(-2，-1)=0，从而5t=-11，所以t=-.20.(14分)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m=(sin A，b+c)，n=(sin C-sin B，a-b)，且存在实数，使m=n.求角C的大小.【解析】因为在ABC中，向量m=(sin A，b+c)，n=(sin C-sin B，a-b)，且存在实数，使m=n，所以mn，所以sin A(a-b)=(b+c)(sin C-sin B)，利用正弦定理可得 a(a-b)=(c+b)(c-b)，化简可得 a2+b2-c2=ab，所以cos C=，所以C=.21.(14分)已知菱形ABCD的边长为2，DAB=60，E是边BC上一点，线段DE交AC于点F.(1)若CDE的面积为，求DE的长.(2)若CF=4DF，求sinDFC.【解析】(1)依题意，得BCD=DAB=60.因为CDE的面积S=CDCEsinBCD=，所以2CE=，解得CE=1.在CDE中，由余弦定理得DE=.(2)方法一：连接BD.依题意，得ACD=30，BDC=60，设CDE=，则060.在CDF中，由正弦定理得=，因为CF=4DF，所以sin =，所以cos =，所以sinDFC=sin(30+)=+=.方法二：连接BD.依题意，得ACD=30，BDC=60，设CDE=，则060，设CF=4x，因为CF=4DF，则DF=x，在CDF中，由余弦定理，得DF2=CD2+CF2-2CDCFcosACD，即7x2=4+16x2-8x，解得x=，或x=.又因为CFAC=，所以x，所以x=，所以DF=，在CDF中，由正弦定理得=，所以sinDFC=.【加练固】在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3cos(B-C)-1=6cos Bcos C.(1)求cos A.(2)若a=3，ABC的面积为2，求b，c.【解题指南】(1)选择将已知条件3cos(B-C)-1=6cos Bcos C化简，先求得cos(B+C)，再求得cos A；(2)结合余弦定理，选择合适的ABC的面积公式，建立关于b，c的方程组，解得b，c的值.【解析】(1)因为3(cos Bcos C+sin Bsin C)-1=6cos Bcos C，所以3cos Bcos C-3sin Bsin C=-1，所以3cos(B+C)=-1，所以cos(-A)=-，所以cos A=.(2) 由(1)得sin A=，由面积公式bcsin A=2可得bc=6，cos A=，则b2+c2=13，两式联立可得b=2，c=3或b=3，c=2.22.(14分)如图，观测站C在目标A的南偏西20方向，经过A处有一条南偏东40走向的公路，在C处观测到与C相距31 km 的B处有一人正沿此公路向A处行走，走20 km到达D处，此时测得C，D相距21 km，求D，A之间的距离.【解析】由已知，得CD=21 km，BC=31 km，BD=20 km.在BCD中，cosBDC=-.设ADC=，则cos =，sin =.在ACD中，由正弦定理=，得=，所以AD=sin(60+)=15(km)，即所求的距离为15 km.【类题通】解三角形应用题常见的情况(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解.(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求出其他三角形中的解.有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程，解方程得出所要求的解.23.(14分)(2019全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin=bsin A.(1)求B.(2)若ABC为锐角三角形，且c=1，求ABC面积的取值范围.【解析】(1)由题设及正弦定理得sin Asin=sin Bsin A.因为sin A0，所以sin=sin B.由A+B+C=180，可得sin=cos，故cos=2sincos.因为cos0，故sin=，因此B=60.(2)由题设及(1)知ABC的面积SABC=a.由正弦定理得a=+.由于ABC为锐角三角形，故0A90，0C90，由(1)知A+C=120，所以30C90，故a2，从而SABC.因此，ABC面积的取值范围是.- 16 -