2019_2020学年新教材高中数学单元素养评价三新人教A版必修2.doc

单元素养评价(三)单元素养评价(三)(第八章)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的)1.(2019南昌高一检测)一条直线和两异面直线b，c都相交，则它们可以确定()A.一个平面B.两个平面C.三个平面D.四个平面【解析】选B.因为两条相交的直线可以确定一个平面，一条直线和两异面直线b，c都相交，所以它们可以确定2个平面.2.(2019镇江高一检测)教师拿了一把直尺走进教室，则下列判断正确的个数是()教室地面上有且仅有一条直线与直尺所在直线平行；教室地面上有且仅有一条直线与直尺所在直线垂直；教室地面上有无数条直线与直尺所在直线平行；教室地面上有无数条直线与直尺所在直线垂直.A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选A.教室地面上若有一条直线与直尺所在直线平行，可得存在无数条直线与直尺所在直线平行，故错误；教室地面上若有一条直线与直尺所在直线垂直，则与教室地面上的直线平行的直线与直尺所在直线都垂直，故错误；若直尺所在直线与教室地面相交，教室地面上不存在直线与直尺所在直线平行，故错误；不管直尺所在直线与教室地面平行，相交或在地面上，教室地面上都存在无数条直线与直尺所在直线垂直，故正确.3.已知直线l平行于平面，平面垂直于平面，则以下关于直线l与平面的位置关系的表述，正确的是()A.l与不平行B.l与不相交C.l不在平面上D.l在上，与平行，与相交都有可能【解析】选D.正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面ABCD平面CDD1C1，A1B1平面ABCD，A1B1平面CDD1C1；A1D1平面ABCD，A1D1与平面CDD1C1相交；C1D1平面ABCD，C1D1平面CDD1C1.因为直线l平行于平面，平面垂直于平面，所以l与相交、平行或l.4.已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，若m，n，则下列命题正确的是()A.若n，m，则B.若=l，且ml，则mC.若mn，m，则D.若=l，且ml，则m【解析】选D.对于A.若n，m，则或与相交，故错；对于B，若=l，且ml，则m与不一定垂直，故错；对于C，若mn，m，则与位置关系不确定，故错；对于D，因为=l，所以l，因为ml，则m，故正确.5.(2019武昌高一检测)已知正三棱柱的所有顶点都在球O的球面上，且该正三棱柱的底面边长为2，体积为3，则球O的表面积为()A.B.5C.D.25【解析】选C.由题意可知，正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，底面中心到顶点的距离为r=.设正三棱柱的高为h，由2h=3，得h=.所以外接球的半径为R=，所以外接球的表面积为：S=4R2=4=.【加练固】已知各个顶点都在同一个球面上的正方体的棱长为2，则这个球的表面积为()A.12B.16C.20D.24【解析】选A.正方体的棱长为2，正方体的体对角线的长为2，即正方体外接球的直径为2，半径为.所以球的表面积为S=4()2=12.6.(2019宜宾高一检测)在三棱锥P-ABC中，PA平面ABC，ACB=，且PA=AC=BC，则异面直线AB与PC所成角的正切值为()A.B.1C.D.【解析】选D.设PA=AC=BC=a，则=(-)=-=-aacos=-a2，设与夹角为，则cos=-.即=，所以异面直线AB与PC所成角的正切值为tan=.7.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是A1D1，A1B1的中点，过直线BD的平面平面AMN，则平面截该正方体所得截面的面积为()A.B.C.D.【解析】选B.取B1C1的中点E，C1D1的中点F，连接EF，BE，DF，B1D1，则EFB1D1，B1D1BD，所以EFBD，故E，F，B，D在同一平面内，连接ME，因为M，E分别为A1D1，B1C1的中点，所以MEA1B1AB，且ME=AB，所以四边形ABEM是平行四边形，所以AMBE，又因为BE平面BDFE，AM不在平面BDFE内，所以AM平面BDFE，同理AN平面BDFE，因为AMAN=A，所以平面AMN平面BDFE，即平面截该正方体所得截面为平面BDFE，BD=，EF=B1D1=，DF=，梯形BDFE如图：过E，F作BD的垂线，则四边形EFGH为矩形，所以FG=，故四边形BDFE的面积为=.8.如图，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA平面ABC，则下列结论正确的是()A.PBADB.平面PAB平面PBCC.直线BC平面PAED.直线CD平面PAC【解析】选D.在A中，因为AD与PB在平面ABC内的射影AB不垂直，所以A不正确.在B中，过点A作PB的垂线，垂足为H，若平面PAB平面PBC，则AH平面PBC，所以AHBC.又PABC，所以BC平面PAB，则BCAB，这与底面是正六边形不符，所以B不正确.在C中，若直线BC平面PAE，则BCAE，但BC与AE相交，所以C不正确.在D中，因为PA平面ABC，CD平面ABC，所以CDPA，设AB=1，则AD=2，AC=，所以AC2+CD2=AD2，所以CDAC，又PAAC=A，所以直线CD平面PAC，故D正确.9.(2019郑州高一检测)在轴截面顶角为直角的圆锥内，作一内接圆柱，若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，则圆锥的底面半径与圆柱的底面半径之比为()A.B.2C.2D.4【解析】选A.如图所示，AMB=90，设圆柱的底面圆半径为r，高为h.圆锥的底面半径为R，则圆锥的高为R，母线长为R；由题意知，2r2+2rh=RR，即2r2+2rh=R2；由相似边成比例得=，即h=R-r；所以2r2+2r(R-r)=R2，即2r=R，所以=，即圆锥的底面半径与圆柱的底面半径之比为.10.(2019深圳高一检测)已知正方体ABCD-A1B1C1D1，P为棱CC1的动点，Q为棱AA1的中点，设直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，以下关系中正确的是()A.mD1QB.m平面B1D1QC.mB1QD.m平面ABB1A1【解析】选B.因为正方体ABCD-A1B1C1D1，P为棱CC1的动点，Q为棱AA1的中点，直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，且BDB1D1，所以mBDB1D1，因为m平面B1D1Q，B1D1平面B1D1Q，所以m平面B1D1Q.二、多项选择题(本大题共3小题，每小题4分，共12分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F，G分别为棱A1D1，A1A，A1B1的中点，给出下列命题：EFB1C；BC1平面EFG；A1C平面EFG；异面直线FG，B1C所成角的大小为.其中正确命题的序号为()A.B.C.D.【解析】选ABC.如图，对于，连接AD1，则EFAD1BC1，而BC1B1C，则EFB1C，故正确；对于，因为BC1EF，EF平面EFG，BC1平面EFG，所以BC1平面EFG，故正确；对于，A1CEF，A1CEG，EFEG=E，所以A1C平面EFG，故正确；对于，FGAB1，所以AB1C为异面直线FG，B1C所成角，连接AC，可得AB1C为等边三角形，则AB1C=，即异面直线FG，B1C所成角的大小为，故错误.12.已知平面平面.直线m平面，直线n平面，=l，在下列说法中，正确的有()A.若mn，则mlB.若ml，则mC.若m，则mnD.mn则m【解析】选BC.平面平面.直线m平面，直线n平面，=l，若mn，可得m，l可能平行，故A错误；若ml，由面面垂直的性质定理可得m，故B正确；若m，可得mn，故C正确，D错误.13.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，M为棱BB1的中点，则下列结论中正确的是()A.D1O平面A1BC1B.D1O平面MACC.异面直线BC1与AC所成的角为60D.MO平面ABCD【解析】选ABC.在A中，取A1C1中点E，则D1OBE，因为D1O平面A1BC1，BE平面A1BC1，所以D1O平面A1BC1，故A正确.在B中，因为D1OAM，D1OAC，所以D1O平面MAC，故B正确；在C中，因为ACA1C1，所以BC1A1是异面直线BC1与AC所成的角，又A1C1B是正三角形，所以异面直线BC1与AC所成的角为60，故C正确.在D中，MB平面ABCD，MOMB=M，故MO与平面ABCD不垂直，故D错误.三、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题中的横线上)14.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M，则四棱锥M-EFGH的体积为_.【解析】因为底面EFGH的对角线EG与FH互相垂直，所以SEFGH=EGFH=22=2，又M到底面EFGH的距离等于棱长的一半，即h=2=1，所以四棱锥M-EFGH的体积：VM-EFGH=SEFGHh=21=.答案：15.(2019厦门高一检测)如图，圆锥状容器内盛有水，水深3 dm，水面直径2 dm放入一个铁球后，水恰好把铁球淹没，则该铁球的体积为_dm3.【解析】如图，设铁球的半径为r dm，则放入铁球后水深为3r dm，上底面半径为r dm，此时铁球与水的体积和为(r)23r=3r3 dm3.原来水的体积为()23=3 dm3，铁球的体积为r3 dm3，则3+r3=3r3，解得r3=.所以铁球的体积V= dm3.答案：16.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1C，C1B1，C1D1的中点，点H在四边形A1ADD1的边及其内部运动，则H满足条件_时，有BH平面MNP.【解析】因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1C，C1B1，C1D1的中点，点H在四边形A1ADD1的边及其内部运动，所以PNBD，PMA1B，MNA1D，因为PNPM=P，A1BBD=B，所以平面A1BD平面PMN，所以H满足条件H线段A1D时，有BH平面MNP.答案：H线段A1D17.如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为正方形，PA平面ABCD.给出下列命题：PBAC；平面PAB与平面PCD的交线与AB平行；平面PBD平面PAC；PCD为锐角三角形.其中正确命题的序号是_.【解析】如图，若PBAC，因为ACBD，则AC平面PBD，所以ACPO，又PA平面ABCD，则ACPA，在平面PAC内过P有两条直线与AC垂直，与在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直矛盾.错误；因为CDAB，则CD平面PAB，所以平面PAB与平面PCD的交线与AB平行.正确；因为PA平面ABCD，所以平面PAC平面ABCD，又BDAC，所以BD平面PAC，则平面PBD平面PAC.正确；因为PD2=PA2+AD2，PC2=PA2+AC2，AC2=AD2+CD2，AD=CD，所以PD2+CD2=PC2，所以PCD为直角三角形，错误.答案：四、解答题(本大题共6小题，共82分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)18.(12分)(2019泰州高一检测)如图，在三棱锥A-BCD中，点E，F分别是BD，BC的中点，AB=AD，AEBC.求证：(1)EF平面ACD.(2)AECD.【证明】(1)因为点E，F分别是BD，BC的中点，所以EFCD，又因EF平面ACD，CD平面ACD，从而EF平面ACD.(2)因为点E是BD的中点，且AB=AD，所以AEBD，又因为AEBC，BC平面BCD，BD平面BCD，BCBD=B，故AE平面BCD，因为CD平面BCD，所以AECD.19.(14分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AD=2，AB=1，BAD=60，平面PCD平面ABCD，点M为PC上一点.(1)若PA平面MBD，求证：点M为PC中点.(2)求证：平面MBD平面PCD.【证明】(1)连接AC交BD于O，连接OM，如图所示；因为PA平面MBD，PA平面PAC，平面PAC平面MBD=OM，所以PAOM.因为四边形ABCD是平行四边形，所以O是AC的中点，所以M是PC的中点.(2)在ABD中，AD=2，AB=1，BAD=60，所以BD2=AB2+AD2-2ABADcosBAD=3，所以AD2=AB2+BD2，所以ABBD.因为四边形ABCD是平行四边形，所以ABCD，所以BDCD.又因为平面PCD平面ABCD，且平面PCD平面ABCD=CD，BD平面ABCD，所以BD平面PCD.因为BD平面MBD，所以平面MBD平面PCD.20.(14分)(2019太原高一检测)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，ADBC，ABAD，AD=2AB=2BC=2，PCD是正三角形，PCAC，E是PA的中点.(1)证明：ACPD.(2)求三棱锥P-BDE的体积.【解析】(1)因为ADBC，ABAD，所以ABC=BAD=90，因为AB=BC=1，所以CAD=45，AC=，由余弦定理得CD2=AC2+AD2-2ACADcosCAD=2，所以AC2+CD2=4=AD2，所以ACCD，因为PCAC，PCCD=C，所以AC平面PCD，则ACPD.(2)由(1)知，平面PCD平面ABCD，且平面PCD平面ABCD=CD，因为PCD是正三角形，取CD中点O，连接PO，则PO平面ABCD，因为CD=，所以PO=，因为E是PA的中点，所以E到平面ABCD的距离h=.所以VP-BDE=VA-BDE=VE-ABD=21=.21.(14分)(2019泉州高一检测)如图，四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ABDC，E，F分别为PC，DC的中点，PA=DC=2AB=2AD=2.(1)证明：平面PAD平面EBF.(2)求三棱锥P-BED的体积.【解析】(1)由已知F为CD的中点，且CD=2AB，所以DF=AB，因为ABCD，所以ABDF，又因为AB=DF，所以四边形ABFD为平行四边形，所以BFAD，又因为BF平面PAD，AD平面PAD，所以BF平面PAD.在PDC中，因为E，F分别为PC，CD的中点，所以EFPD，因为BF平面PAD，PD平面PAD，所以EF平面PAD，因为EFBF=F，所以平面PAD平面EBF.(2)由已知E为PC中点，VP-BDC=2VE-BDC，又因为VP-BDE=VP-BDC-VE-BDC，所以VP-BDE=VP-BDC，因为SBDC=12=1，VP-BDC=SBDCAP=，所以三棱锥P-BED的体积VP-BED=.22.(14分)(2019苏州高一检测)在九章算术中，将有三条棱相互平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”.如图所示的五面体是一个羡除，其中棱AB，CD，EF相互平行，四边形ABEF是梯形.已知CD=EF，AD平面ABEF，BEAF.(1)求证：DF平面BCE.(2)求证：平面ADF平面BCE.【证明】(1)因为AB，CD，EF相互平行，四边形ABEF是梯形.CD=EF，所以四边形CDFE是平行四边形，所以DFCE，因为DF平面BCE，CE平面BCE，所以DF平面BCE.(2)因为AD平面ABEF，BE平面ABEF，所以BEAD，因为BEAF，AFAD=A.所以BE平面ADF，因为BE平面BCE，所以平面ADF平面BCE.23.(14分)(2019泰州高一检测)如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，边BC的中点为D，BC=CC1=2.(1)求三棱锥C-AC1D的体积.(2)点E在线段B1C1上，且A1E平面AC1D，求的值.【解析】(1)因为ABC-A1B1C1为正三棱柱，所以C1C平面ABC，所以三棱锥C-AC1D的体积=SACDC1C=12=.(2)连接A1C交AC1于F，连接EC交C1D于G，连接FG，因为A1E平面AC1D，A1E平面A1CE，平面A1CE平面AC1D=FG，所以A1EFG，因为ABC-A1B1C1为正三棱柱，所以侧面ACC1A1和侧面BCC1B1为平行四边形，从而有F为A1C的中点，于是G为EC的中点，所以EC1=DC，因为D为边BC的中点，所以E为边B1C1的中点，所以=1.- 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