资源描述
单元素养评价(三)
(第三章)
(120分钟 150分)
一、单项选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.下列函数：(1)y=；(2)y=；(3)y=1(-1≤x<1).其中与函数y=1是同一个函数的个数是 ( )
A.3 B.2 C.1 D.0
【解析】选D.(1)要求x≠0，与函数y=1的定义域不同，两函数不是同一个函数；(2)虽然化简后为y=1，但要求t≠-1，即定义域不同，不是同一个函数；(3)显然定义域不同，故不是同一个函数.
2.f(x)是定义在R上的奇函数，f(-3)=2，则下列各点在函数f(x)图像上的
是 ( )
A.(3，-2) B.(3，2)
C.(-3，-2) D.(2，-3)
【解析】选A.因为f(x)是奇函数，所以f(-3)=-f(3).
又f(-3)=2，所以f(3)=-2，所以点(3，-2)在函数f(x)的图像上.
3.下列函数是奇函数的是 ( )
A.y=2x2-3 B.y=
C.y=x，x∈[0，1] D.y=x
【解析】选D.A中函数为偶函数，B，C中函数定义域不关于原点对称，故函数为非奇非偶函数，D中函数定义域为R，图像关于原点对称，为奇函数.
4.函数f(x)=则f的值为 ( )
A. B.- C. D.18
【解析】选C.由题意得f(3)=32-3-3=3，那么=，
所以f=f=1-=.
【加练·固】
函数f(x)=的值域是________.
【解析】设g(x)=2x-x2，0≤x≤3，结合二次函数的单调性可知：g(x)min=g(3)=-3，
g(x)max=g(1)=1；
同理，设h(x)=x2+6x，-2≤x≤0，则h(x)min=h(-2)=-8，h(x)max=h(0)=0.
所以f(x)max=g(1)=1，f(x)min=h(-2)=-8.
答案：[-8，1]
5.函数f(x)=-x3-3x+5的零点所在的大致区间为 ( )
A.(-2，0) B.(1，2)
C.(0，1) D.(0，0.5)
【解析】选B.函数f(x)的图像在(0，+∞)上是一条连续不断的曲线，因为f(0)=5>0，f(1)=1>0，f(2)=-9<0，所以f(1)·f(2)<0，所以零点所在的大致区间为(1，2).
6.定义在R上的偶函数f(x)满足：∀x1，x2∈[0，+∞)(x1≠x2)，有<0，则( )
A.f(3)<f(-2)<f(1)
B.f(1)<f(-2)<f(3)
C.f(-2)<f(1)<f(3)
D.f(3)<f(1)<f(-2)
【解析】选A.若x2-x1>0，则f(x2)-f(x1)<0，即f(x2)<f(x1)，所以f(x)在[0，+∞)上是减函数.因为3>2>1，所以f(3)<f(2)<f(1).又f(x)是偶函数，所以f(-2)=f(2)，所以f(3)<f(-2)<f(1).
7.已知函数f(x)=ax2+x+1满足f(1+x)=f(1-x)，则a= ( )
A.-1 B.- C. D.1
【解析】选B.根据题意，函数f(x)=ax2+x+1满足f(1+x)=f(1-x)，则二次函数的对称轴x=-=1，解得a=-.
8.函数y=f(x)与y=g(x)的图像如图所示，则函数y=f(x)·g(x)的图像可能
是 ( )
【解析】选A.由于函数y=f(x)·g(x)的定义域是函数y=f(x)与y=g(x)的定义域的交集(-∞，0)∪(0，+∞)，所以函数图像在x=0处是断开的，故可以排除C，D；由于当x为很小的正数时，f(x)>0且g(x)<0，故f(x)·g(x)<0，可排除B.
9.已知偶函数f(x)在[0，+∞)上单调递增，若f(2)=-2，则满足f(x-1)≥-2的x的取值范围是( )
A.(-∞，-1)∪(3，+∞)
B.(-∞，-1]∪[3，+∞)
C.[-1，-3]
D.(-∞，-2]∪[2，+∞)
【解析】选B.根据题意，偶函数f(x)在[0，+∞)上单调递增，且f(2)=-2，
可得f(x)=f(|x|)，若f(x-1)≥-2，即有f(|x-1|)≥f(2)，
可得|x-1|≥2，解得：x≤-1或x≥3，
即x的取值范围是(-∞，-1]∪[3，+∞).
10.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是 ( )
A.6.5 m B.6.8 m
C.7 m D.7.2 m
【解析】选C.设直角三角形的两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，则ab=2，所以ab=4，l=a+b+≥2+=4+2≈6.828(m).因为要求够用且浪费最少，所以选C.
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题4分，共12分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
11.对于集合A={x|0≤x≤2}，B={y|0≤y≤3}，则由下列图形给出的对应关系中，能构成从A到B的函数有 ( )
【解析】选A，C，D.根据函数的定义可知，A，C，D中的图形给出的对应关系能构成从A到B的函数.
12.下列关于函数y=ax+1，x∈[0，2]的说法正确的是 ( )
A.当a<0时，此函数的最大值为1，最小值为2a+1
B.当a<0时，此函数的最大值为2a+1，最小值为1
C.当a>0时，此函数的最大值为1，最小值为2a+1
D.当a>0时，此函数的最大值为2a+1，最小值为1
【解析】选A，D.当a<0时，一次函数y=ax+1在区间[0，2]上单调递减，当x=0时，函数取得最大值为1；当x=2时，函数取得最小值为2a+1.当a>0时，一次函数y=ax+1在区间[0，2]上单调递增，当x=0时，函数取得最小值为1；当x=2时，函数取得最大值为2a+1.
13.设函数f(x)的定义域为A，且满足任意x∈A恒有f(x)+f(2-x)=2的函数可以是 ( )
A.f(x)=2-x B.f(x)=(x-1)2
C.f(x)= D.f(x)=(x-2)3
【解析】选A，C.方法一：A项f(x)+f(2-x)=2-x+[2-(2-x)]=2为定值，故A项正确；B项f(x)+f(2-x)=2(x-1)2不为定值，故B项错误；C项，f(x)+f(2-x)=+==2，符合题意，故C项正确；D项f(x)+f(2-x)=(x-2)3-x3不为定值，故D项不正确.
方法二：因为任意x∈A恒有f(x)+f(2-x)=2，所以函数的图像关于点(1，1)中心对称，函数f(x)=2-x的图像是过点(1，1)的直线，符合题意；函数f(x)==1+的图像关于点(1，1)中心对称，符合题意；利用B，D中两个函数的图像都不是关于点(1，1)中心对称图形，不符合题意.
三、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中的横线上)
14.已知函数f(x)=，则f(1)=_______，函数y=f(x)的定义域为_______.
【解析】由题意得，f(1)==2，
由解得x≤5且x≠0，
所以函数y=f(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，5].
答案：2 (-∞，0)∪(0，5]
15.函数f(x)=的零点个数是________.
【解析】当x<0时，令2x+3=0，解得x=-，
当x≥0时，令x2-4x+3=0，解得x1=1，x2=3，
所以函数共有3个零点.
答案：3
16.若f(x)=-x2+2ax与g(x)=在区间[1，2]上都单调递减，则实数a的取值范围为_______.
【解析】因为f(x)=-x2+2ax在[1，2]上单调递减，且函数f(x)的图像的对称轴为x=a，所以a≤1，
因为g(x)=在区间[1，2]上单调递减，所以a>0，综上知，a的取值范围为
(0，1].
答案：(0，1]
17.已知定义在R上的偶函数f(x)满足以下两个条件：①在(-∞，0]上单调递减；②f(1)=-2.则使不等式f(x+1)≤-2成立的x的取值范围是________.
【解析】因为f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(-∞，0]上单调递减，f(1)=-2，
则由f(1+x)≤-2，即f(1+x)≤f(1)，
可得：|x+1|≤1，解得：-2≤x≤0.
答案：-2≤x≤0
四、解答题(本大题共6小题，共82分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
18.(12分)已知函数f(x)=.
(1)求函数f(x)的定义域.
(2)判断f(x)的奇偶性并证明.
【解析】(1)由1-x2≠0，得x≠±1，
即f(x)的定义域为{x|x≠±1}.
(2)f(x)为偶函数.证明：
由(1)知f(x)的定义域为{x|x≠±1}，
因为∀x∈{x|x≠±1}，都有-x∈{x|x≠±1}，
且f(-x)===f(x)，
所以f(x)为偶函数.
19.(14分)已知函数f(x)=
(1)求f(-4)，f(5)的值.
(2)画出函数f(x)的图像，并直接写出处于图像上升阶段时x的取值集合.
(3)当x∈[-2，0]时，求函数的值域.
【解析】(1)因为-4<0，5>0，
所以f(-4)=(-4)2+2×(-4)-3=5，
f(5)=-5-3=-8.
(2)画图如图所示，图像上升时x的取值集合为{x|-1≤x≤0}.
(3)当x∈[-2，0]时，函数的值域为[-4，-3].
20.(14分)若二次函数满足f(x+1)-f(x)=2x，且f(0)=1.
(1)求f(x)的解析式.
(2)若g(x)=f(x)-mx在[2，4]上是单调函数，求实数m的取值范围.
【解析】(1)设二次函数的解析式为f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，
由f(0)=1得c=1，故f(x)=ax2+bx+1.
因为f(x+1)-f(x)=2x，所以a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x.即2ax+a+b=2x，
根据系数对应相等所以
所以f(x)=x2-x+1.
(2)因为g(x)=f(x)-mx=x2-(1+m)x+1的图像关于直线x=对称，
又函数g(x)在[2，4]上是单调函数，
所以≤2或≥4，解得m≤3或m≥7，
故m的取值范围是(-∞，3]∪[7，+∞).
21.(14分)定义在R上的偶函数f(x)，当x∈(-∞，0]时，f(x)=-x2+4x-1.
(1)求函数f(x)在x∈(0，+∞)上的解析式.
(2)求函数f(x)在x∈[-2，3]上的最大值和最小值.
【解析】(1)根据题意，设x>0，则-x<0，
则f(-x)=-x2-4x-1，又由y=f(x)为偶函数，
则f(x)=-x2-4x-1，x∈(0，+∞).
(2)由(1)的结论：f(x)=
y=f(x)在x∈[-2，0]上单调递增，在x∈[0，3]上单调递减，则f(x)max=f(0)=-1；f(x)min
=min{f(-2)，f(3)}=f(3)=-22，函数f(x)在[-2，3]上的最大值是-1，最小值是-22.
22.(14分)已知函数f(x)=x+，且此函数的图像过点(1，5).
(1)求实数m的值.(2)判断f(x)的奇偶性.
(3)讨论函数f(x)在[2，+∞)上的单调性，证明你的结论.
【解析】(1)因为f(x)过点(1，5)，所以1+m=5⇒m=4.
(2)对于f(x)=x+，因为x≠0，
所以f(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，关于原点对称.所以f(-x)=-x+=-f(x)，
所以f(x)为奇函数.
(3)f(x)在[2，+∞)上单调递增.证明如下：设x1，x2∈[2，+∞)且x1<x2，则f(x1)-f(x2)
=x1+-x2-=(x1-x2)+=.
因为x1，x2∈[2，+∞)且x1<x2，
所以x1-x2<0，x1x2>4，x1x2>0.所以f(x1)-f(x2)<0.
所以f(x)在[2，+∞)上单调递增.
23.(14分)某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示当S中x%(0<x<100)的成员自驾时自驾群体的人均通勤时间是f(x)=
(单位：分钟)，而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，根据上述分析结果回答下列问题：
(1)请你说明，当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？
(2)求该地上班族S的人均通勤时间g(x)的表达式；讨论g(x)的单调性，并说明其实际意义.
【解析】(1)由题意知，当0<x≤30时，f(x)=30<40，公交群体的人均通勤时间恒大于自驾群体的人均通勤时间；当30<x<100时，f(x)=2x+-90>40，即(x-20)(x-45)>0，解得x<25或x>45，所以45<x<100，所以当x∈(45，100)时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间.
(2)当0<x≤30时，g(x)=30·x%+40(1-x%)=40-，
当30<x<100时，g(x)=·x%+40(1-x%)=-+58，
所以g(x)=
当0<x≤30时，g(x)=40-单调递减，g(30)=37，当30<x<100时，g(x)=-+58=(x-32.5)2+36.875，且g(30)=37，
所以函数g(x)在(0，32.5)上单调递减，
在(32.5，100)上单调递增，
实际意义：说明该地上班族S中小于32.5%的人自驾时，随着自驾占比增大，人均通勤时间是递减的；
大于32.5%的人自驾时，随着自驾占比增大，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为32.5%时人均通勤时间最短.
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