资源描述
3.1.1 函数的概念
A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．已知函数y＝f(x)，则函数与直线x＝a的交点个数有( )
A．1个 B．2个
C．无数个 D．至多一个
答案 D
解析 根据函数的概念，在定义域范围内任意一个自变量x的值都有唯一的函数值与之对应，因此直线x＝a与函数y＝f(x)的图象最多只有一个交点．
2．已知等腰三角形ABC的周长为10，底边长y关于腰长x的函数关系式为y＝10－2x，则此函数的定义域为( )
A．R B．{x|x>0}
C．{x|0<x<5} D.
答案 D
解析 ∵△ABC的底边长显然大于0，即y＝10－2x>0，∴x<5.又两边之和大于第三边，∴2x>10－2x，∴x>，∴此函数的定义域为.
3．下列各组函数中，表示同一个函数的是( )
A．y＝x－1和y＝
B．y＝x0和y＝1
C．f(x)＝(x－1)2和g(x)＝(x＋1)2
D．f(x)＝和g(x)＝
答案 D
解析 A中的函数定义域不同；B中y＝x0的x不能取0；C中两函数的对应关系不同．故选D.
4．若集合A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝x2＋2}，则A∩B＝( )
A．[1，＋∞) B．(1，＋∞) C．[2，＋∞) D．(0，＋∞)
答案 C
解析 集合A表示函数y＝的定义域，则A＝{x|x≥1}＝[1，＋∞)，集合B表示函数y＝x2＋2的值域，则B＝{y|y≥2}＝[2，＋∞)，故A∩B＝[2，＋∞)．
5．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为y＝x2，值域为{1,4}的“同族函数”的个数为( )
A．6 B．9 C．12 D．16
答案 B
解析 由题意知，问题的关键在于确定函数定义域的个数．函数解析式为y＝x2，值域为{1,4}，当x＝±1时，y＝1，当x＝±2时，y＝4，则定义域可以为{1,2}，{1，－2}，{－1,2}，{－1，－2}，{1，－1,2}，{1，－1，－2}，{－1,2，－2}，{1，－2,2}，{1，－1,2，－2}，因此“同族函数”共有9个．
二、填空题
6．设常数a∈R，函数f(x)＝|x－1|＋|x2－a|，若f(2)＝1，则f(1)＝________.
答案 3
解析 由f(2)＝1＋|22－a|＝1，可得a＝4，所以f(1)＝|1－1|＋|1－4|＝3.
7．若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为，则m的取值范围为________．
答案
解析 ∵当x＝0或x＝3时，y＝－4；当x＝时，y＝－，∴m∈.
8．已知函数f(x)＝的定义域为R，则k的取值范围是________．
答案 0≤k<1
解析 由题意可得kx2－4kx＋k＋3>0恒成立．
①当k＝0时，3>0恒成立，所以满足题意；
②当k≠0时，须使
解得0<k<1.
综上所得，k的取值范围为0≤k<1.
三、解答题
9．求下列函数的定义域与值域：
(1)f(x)＝(x－1)2＋1，x∈{－1,0,1,2,3}；
(2)f(x)＝(x－1)2＋1.
解 (1)函数的定义域为{－1,0,1,2,3}，则f(－1)＝[(－1)－1]2＋1＝5，同理可得f(0)＝2，f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝5，所以函数的值域为{1,2,5}．
(2)函数的定义域为R，因为(x－1)2＋1≥1，所以函数的值域为[1，＋∞)．
10．已知函数f(x)＝.
(1)求f(2)＋f，f(3)＋f的值；
(2)求证：f(x)＋f是定值；
(3)求f(2)＋f＋f(3)＋f＋…＋f(2019)＋f的值．
解 (1)∵f(x)＝，
∴f(2)＋f＝＋＝1.
f(3)＋f＝＋＝1.
(2)证明：f(x)＋f＝＋
＝＋＝＝1.
(3)由(2)知，f(x)＋f＝1，
∴f(2)＋f＝1，
f(3)＋f＝1，
f(4)＋f＝1，
…
f(2019)＋f＝1.
∴f(2)＋f＋f(3)＋f＋…＋f(2019)＋f＝2018.
B级：“四能”提升训练
1．求下列函数的值域：
(1)y＝；
(2)y＝x－.
解 (1)函数的定义域是{x|x≠3}，y＝＝2＋，所以函数的值域为{y|y≠2}．
(2)要使函数式有意义，需x＋1≥0，即x≥－1，故函数的定义域是{x|x≥－1}．设t＝，则x＝t2－1(t≥0)，于是y＝t2－1－t＝2－.
又t≥0，故y≥－.所以函数的值域是.
2．(1)已知函数f(x)的定义域为[－1,5]，求函数f(x－5)的定义域；
(2)已知函数f(x－1)的定义域是[0,3]，求函数f(x)的定义域；
(3)若f(x)的定义域为[－3,5]，求φ(x)＝f(－x)＋f(x)的定义域．
解 (1)由－1≤x－5≤5，得4≤x≤10，所以函数f(x－5)的定义域是[4,10]．
(2)由0≤x≤3，得－1≤x－1≤2，所以函数f(x)的定义域是[－1,2]．
(3)已知f(x)的定义域为[－3,5]，则φ(x)的定义域需满足即解得－3≤x≤3.
所以函数φ(x)的定义域为[－3,3]．
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