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第1课时 函数的表示法
A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．已知函数f(x)由下表给出，则满足f[f(x)]>f(3)的x的值为( )
A．1或3 B．1或2 C．2 D．3
答案 A
解析 由表知f(3)＝1，要使f[f(x)]>f(3)，必有f(x)＝1或f(x)＝2，所以x＝3或x＝1.
2．星期天，小明从家出发，出去散步，图中描述了他散步过程中离家的距离s(m)与散步所用的时间t(min)之间的函数关系，根据图象，下面的描述符合小明散步情况的是( )
A．从家出发，到一个公共阅报栏，看了一会儿报，就回家了
B．从家出发，到一个公共阅报栏，看了一会儿报后，继续向前走了一段，然后回家了
C．从家出发，散了一会儿步(没有停留)，然后回家了
D．从家出发，散了一会儿步，就找同学去了，18 min后才回家
答案 B
解析 水平线段表明小明离家的距离始终是300米，然后离家距离达到500米，说明小明从家出发后，到一个固定的地方停留了一会儿，继续向前走了一段，然后回家了．故选B.
3．设函数f(x)＝则f＝( )
A. B．4 C．3 D．－3
答案 A
解析 依题意知f(2)＝22＋2－2＝4，则f＝f＝1－2＝.故选A.
4．已知函数f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x＋2，则f(2)等于( )
A．－ B．－ C. D.
答案 C
解析 由2f(x)＋f(－x)＝3x＋2得2f(－x)＋f(x)＝－3x＋2，消去f(－x)得f(x)＝3x＋，所以f(2)＝.
5．定义两种运算：a⊕b＝，a⊗b＝，则函数f(x)＝的解析式为( )
A．f(x)＝－，x∈[－2,0)∪(0,2]
B．f(x)＝，x∈[－2,0)∪(0,2]
C．f(x)＝－，x∈[－2，－1)∪(－1,2]
D．f(x)＝，x∈[－2，－1)∪(－1,2]
答案 A
解析 因为2⊕x＝，x⊗2＝，则f(x)＝.又4－x2≥0，所以－2≤x≤2，于是f(x)＝－，－2≤x≤2且x≠0.故选A.
二、填空题
6.已知函数f(x)的图象如图所示，则此函数的定义域是__________________，值域是____________．
答案 [－3,3] [－2,2]
解析 结合图象，知函数f(x)的定义域为[－3,3]，值域为[－2,2]．
7．若一个长方体的高为80 cm，长比宽多10 cm，则这个长方体的体积y(cm3)与长方体的宽x(cm)之间的表达式是________．
答案 y＝80x(x＋10)，x∈(0，＋∞)
解析 由题意可知，长方体的长为(x＋10) cm，从而长方体的体积y＝80x(x＋10)，x>0.
8．已知具有性质：f＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：
①f(x)＝x－；②f(x)＝x＋；③f(x)＝
其中满足“倒负”变换的函数是________．
答案 ①③
解析 对于①，f(x)＝x－，f＝－x＝－f(x)，满足；
对于②，f＝＋x＝f(x)，不满足；
对于③，f＝
即f＝
故f＝－f(x)，满足．
综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.
三、解答题
9．求下列函数的解析式：
(1)已知f(x＋1)＝x2－3x＋2，求f(x)；
(2)已知f(－1)＝x＋2，求f(x)．
解 (1)解法一(替换法)：
在f(x＋1)＝x2－3x＋2中，把x换成x－1，得
f(x)＝(x－1)2－3(x－1)＋2
＝x2－2x＋1－3x＋3＋2＝x2－5x＋6，
即f(x)＝x2－5x＋6.
解法二(配凑法)：
∵f(x＋1)＝x2－3x＋2＝(x＋1)2－5x＋1
＝(x＋1)2－5(x＋1)＋6，
∴f(x)＝x2－5x＋6.
解法三(换元法)：令t＝x＋1，则x＝t－1，
∴f(t)＝(t－1)2－3(t－1)＋2＝t2－5t＋6，
即f(x)＝x2－5x＋6.
(2)解法一(配凑法)：因为f(－1)＝x＋2＝(－1)2＋4(－1)＋3，而－1≥－1，所以f(x)＝x2＋4x＋3(x≥－1)．
解法二(换元法)：令t＝－1，则＝t＋1，x＝(t＋1)2，且t≥－1.
所以f(t)＝(t＋1)2＋2(t＋1)＝t2＋4t＋3，
即f(x)＝x2＋4x＋3(x≥－1)．
10．已知函数f(x)＝
(1)求f{f[f(－2)]}的值；
(2)若f(a)＝，求a.
解 (1)∵－2<－1，∴f(－2)＝2×(－2)＋3＝－1，f[f(－2)]＝f(－1)＝2，
∴f{f[f(－2)]}＝f(2)＝1＋＝.
(2)当a>1时，f(a)＝1＋＝，∴a＝2>1；
当－1≤a≤1时，f(a)＝a2＋1＝，
∴a＝±∈[－1,1]；
当a<－1时，f(a)＝2a＋3＝，
∴a＝－>－1(舍去)．
综上，a＝2或a＝±.
B级：“四能”提升训练
1．某商场经营一批进价是30元的商品，在市场试销中发现，此商品销售单价x元与日销售量y台之间有如下关系：
在所给的坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x，y)的对应点，并确定你认为比较适合的x与y的一个函数关系式y＝f(x)．
解 作出点(35,57)，(40,42)，(45,27)，(50,12)，并用直线将其连接起来，如图，则可知其为一次函数，不妨设y＝kx＋b(k≠0)，将点(35,57)，(40,42)代入其中，
即
解得即y＝162－3x，
经验证，(45,27)，(50,12)也在直线上，又台数y为非负，因此162－3x≥0，即x≤54，且由于进价为30元，从而函数的定义域为[30,54]，
于是y＝162－3x(x∈[30,54])．
2．已知函数f(x)＝1＋(－2<x≤2)．
(1)用分段函数的形式表示该函数；
(2)画出函数的图象；
(3)写出该函数的值域．
解 (1)当0≤x≤2时，f(x)＝1＋＝1，
当－2<x<0时，f(x)＝1＋＝1－x.
∴f(x)＝
(2)函数f(x)的图象如图所示：
(3)由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)．
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