资源描述
3.1.1 函数的概念
[A 基础达标]
1．下列对应关系是从集合M到集合N的函数的是( )
A．M＝R，N＝{x∈R|x>0}，f：x→|x|
B．M＝N，N＝N*，f：x→|x－1|
C．M＝{x∈R|x>0}，N＝R，f：x→x2
D．M＝R，N＝{x∈R|x≥0}，f：x→
解析：选C.对于A，集合M中x＝0时，|x|＝0，但集合N中没有0；对于B，集合M中x＝1时，|x－1|＝0，但集合N中没有0；对于D，集合M中x为负数时，集合N中没有元素与之对应；分析知C中对应是集合M到集合N的函数．
2．下列四个图中，不是以x为自变量的函数的图象是( )
解析：选C.根据函数定义，可知对自变量x的任意一个值，都有唯一确定的实数(函数值)与之对应，显然选项A，B，D满足函数的定义，而选项C不满足，故选C.
3．区间(－3，2]用集合可表示为( )
A．{－2，－1，0，1，2} B．{x|－3<x<2}
C．{x|－3<x≤2} D．{x|－3≤x≤2}
解析：选C.由区间和集合的关系，可得区间(－3，2]可表示为{x|－3<x≤2}，故选C.
4．已知函数f(x)＝，则f(－2)＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：选C.由题意知f(－2)＝＝＝1.故选C.
5．若函数y＝x2－3x的定义域为{－1，0，2，3}，则其值域为( )
A．{－2，0，4} B．{－2，0，2，4}
C．{y|y≤－} D．{y|0≤y≤3}
解析：选A.依题意，当x＝－1时，y＝4；当x＝0时，y＝0；当x＝2时，y＝－2；当x＝3时，y＝0，所以函数y＝x2－3x的值域为{－2，0，4}．
6．将函数y＝的定义域用区间表示为________．
解析：由解得x≤1且x≠0，
用区间表示为(－∞，0)∪(0，1]．
答案：(－∞，0)∪(0，1]
7．若f(x)＝，且f(a)＝2，且a＝________．
解析：令＝2，即2a2－5a＋2＝0，解得a＝或a＝2，故a的值为或2.
答案：或2
8．如果函数f：A→B，其中A＝{－3，－2，－1，1，2，3，4}，对于任意a∈A，在B中都有唯一确定的|a|和它对应，则函数的值域为________．
解析：由题意知，对a∈A，|a|∈B，故函数值域为{1，2，3，4}．
答案：{1，2，3，4}
9．已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2－1(x∈R)．
(1)求f(2)，g(3)的值；
(2)求f(g(3))的值及f(g(x))．
解：(1)因为f(x)＝，所以f(2)＝＝－.
因为g(x)＝x2－1，所以g(3)＝32－1＝8.
(2)依题意，知f(g(3))＝f(8)＝＝－，
f(g(x))＝＝＝(x≠0)．
10．已知函数y＝的定义域为R，求实数k的值．
解：函数y＝的定义域即使k2x2＋3kx＋1≠0的实数x的集合．
由函数的定义域为R，得方程k2x2＋3kx＋1＝0无解．
当k＝0时，函数y＝＝1，函数定义域为R，
因此k＝0符合题意；
当k≠0时，k2x2＋3kx＋1＝0无解，即Δ＝9k2－4k2＝5k2<0，不等式不成立．所以实数k的值为0.
[B 能力提升]
11．已知f(x)满足f(ab)＝f(a)＋f(b)，且f(2)＝p，f(3)＝q，那么f(72)等于( )
A．p＋q B．3p＋2q
C．2p＋3q D．p3＋q2
解析：选B.因为f(ab)＝f(a)＋f(b)，
所以f(9)＝f(3)＋f(3)＝2q，
f(8)＝f(2)＋f(2)＋f(2)＝3p，
所以f(72)＝f(8×9)＝f(8)＋f(9)＝3p＋2q.
12．若函数f(x)的定义域为[－2，1]，则g(x)＝f(x)＋f(－x)的定义域为________．
解析：由题意，得即－1≤x≤1.
故g(x)＝f(x)＋f(－x)的定义域为[－1，1]．
答案：[－1，1]
13．求下列函数的值域．
(1)y＝－1(x≥4)；
(2)y＝2x＋1，x∈{1，2，3，4，5}；
(3)y＝x＋；
(4)y＝x2－2x－3(x∈[－1，2])．
解：(1)因为x≥4，所以≥2，所以－1≥1，
所以y∈[1，＋∞)．
(2)y＝{3，5，7，9，11}．
(3)设u＝，则u≥0，且x＝，
于是，y＝＋u＝(u＋1)2≥，
所以y＝x＋的值域为.
(4)y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，
因为x∈[－1，2]，
作出其图象(图略)可得值域为[－4，0]．
14．已知函数f(x)＝x2－mx＋n，且f(1)＝－1，f(n)＝m，求f(－1)，f(f(－1))的值及f(f(x))的表达式．
解：由题意知
解得
所以f(x)＝x2－x－1，故f(－1)＝1，
f(f(－1))＝－1，
f(f(x))＝f(x2－x－1)＝(x2－x－1)2－(x2－x－1)－1＝x4－2x3－2x2＋3x＋1.
[C 拓展探究]
15．(2019·石家庄检测)已知函数f(x)＝.
(1)求f(2)＋f，f(3)＋f的值；
(2)由(1)中求得的结果，你发现f(x)与f有什么关系？并证明你的发现．
(3)求2f(1)＋f(2)＋f＋f(3)＋f＋…＋f(2 017)＋f＋f(2 018)＋f的值．
解：(1)因为f(x)＝，
所以f(2)＋f＝＋＝1，
f(3)＋f＝＋＝1.
(2)由(1)可发现f(x)＋f＝1.证明如下：
f(x)＋f＝＋
＝＋＝＝1，是定值．
(3)由(2)知，f(x)＋f＝1，
因为f(1)＋f(1)＝1，
f(2)＋f＝1，
f(3)＋f＝1，
f(4)＋f＝1，
…
f(2 018)＋f＝1，
所以2f(1)＋f(2)＋f＋f(3)＋f＋…＋f(2 017)＋f＋f(2 018)＋f＝2 018.
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