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第四章 指数、对数函数与幂函数单元质量测评
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．函数y＝的定义域是( )
A．[1，＋∞) B.
C. D.
答案 D
解析 若使函数有意义，则必有log(3x－2)≥0,3x－2>0，即0<3x－2≤1⇒<x≤1.故选D.
2．下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)的奇函数是( )
A．y＝x B．y＝x4
C．y＝x－3 D．y＝x
答案 D
解析 函数过点(0,0)，排除A，C；函数为奇函数，排除B，故选D.
3．已知a>0且a≠1，下列四组函数中表示相等函数的是( )
A．y＝logax与y＝(logxa)－1
B．y＝alogax与y＝x
C．y＝2x与y＝logaa2x
D．y＝logax2与y＝2logax
答案 C
解析 选项A中函数y＝logax的定义域为(0，＋∞)，函数y＝(logxa)－1的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)，故不选；选项B中函数y＝alogax的定义域为(0，＋∞)，函数y＝x的定义域为R，故不选；选项C中，函数y＝2x的定义域为R，函数y＝logaa2x可化为y＝2x，且定义域也为R，选C；选项D中函数y＝logax2的定义域为{x|x≠0}，函数y＝2logax的定义域为(0，＋∞)，故不选，所以本题应选C.
4．函数f(x)＝x3－1在区间[1，m]上的平均变化率为7，则m的值为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
答案 A
解析 根据题意，函数f(x)＝x3－1在区间[1，m]上的平均变化率为＝＝m2＋m＋1，则有m2＋m＋1＝7，即m2＋m－6＝0，解得m＝－3或m＝2，又由m>1，则m＝2.故选A.
5．已知f(xn)＝ln x，则f(2)的值是( )
A．ln 2 B.ln 2
C.ln 2 D．2ln 2
答案 B
解析 令xn＝2，则x＝2，∴f(2)＝ln 2＝ln 2.
6．二次函数y＝ax2＋bx＋c与函数y＝x的图像可能是下图中的( )
答案 C
解析 由选项知0<<1，则－<－.故选C.
7．函数f(x)＝－ln x的零点个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 B
解析 如图，在同一坐标系中作出y＝与y＝ln x的图像，
由图像可知f(x)＝－ln x只有一个零点．
8．设9a＝4b＝6，则＋＝( )
A．2 B．log65 C．log56 D.
答案 A
解析 由9a＝4b＝6，得a＝log96，b＝log46，所以＋＝＋＝log69＋log64＝log636＝2.
9．已知函数f(x)＝若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围是( )
A．(1,10) B．(5,6)
C．(10,12) D．(20,24)
答案 C
解析 设a＜b＜c，由f(a)＝f(b)＝f(c)，
得|lg a|＝|lg b|.
∵a，b，c互不相等，∴lg a＝－lg b.
∴ab＝1.作出函数f(x)的图像如图所示，
由图像可知10＜c＜12，∴10＜abc＜12.
10．下列函数中，随着x的增长，增长速度最快的是( )
A．y＝50 B．y＝1000x
C．y＝0.4·2x－1 D．y＝ex
答案 D
解析 指数函数y＝ax在a>1时呈爆炸式增长，而且底数a越大，增长速度越快．故选D.
11．设函数f(x)＝ln (1＋x)－ln (1－x)，则f(x)是( )
A．奇函数，且在(0,1)上是增函数
B．奇函数，且在(0,1)上是减函数
C．偶函数，且在(0,1)上是增函数
D．偶函数，且在(0,1)上是减函数
答案 A
解析 函数f(x)的定义域为(－1,1)，f(－x)＝ln (1－x)－ln (1＋x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．当0＜x＜1时，y＝ln (1＋x)是增函数，y＝ln (1－x)是减函数，故f(x)＝ln (1＋x)－ln (1－x)在(0,1)上是增函数．故选A.
12．设函数f(x)＝则满足f[f(a)]＝2f(a)的a的取值范围是( )
A. B．[0,1]
C. D．[1，＋∞)
答案 C
解析 因为y＝2x与y＝3x－1在(－∞，1)上没有公共点，故由f[f(a)]＝2f(a)可得f(a)≥1，故有或解得a的取值范围是.故选C.
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．若a＝log43，则2a＋2－a＝________.
答案
解析 由a＝log43得4a＝3⇒2a＝，则2a＋2－a＝＋＝.
14．若函数f(x)＝(a＞0，且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是________．
答案 (1,2]
解析 当x≤2时，y＝－x＋6≥4，
依题意得
解得1＜a≤2，即实数a的取值范围是(1,2]．
15．有以下结论：①函数y＝log2(1－x)的增区间是(－∞，1)；②若幂函数y＝f(x)的图像经过点(2，)，则该函数为偶函数；③函数y＝3|x|的值域是[1，＋∞)．
其中正确结论的序号是________(把所有正确结论的序号都填上)．
答案 ③
解析 ①中令u＝1－x，则y＝log2u，根据复合函数的单调性可判断①错误；②∵＝2α，∴α＝，
∴y＝x，x∈[0，＋∞)，不具有奇偶性，故②错误；
③中|x|≥0，
∴3|x|≥1，
∴y＝3|x|的值域为[1，＋∞)，故③正确．
16．已知y＝log4(－ax＋3)在[0,1]上是关于x的减函数，则实数a的取值范围是________．
答案 (0,3)
解析 ⇒0<a<3.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)设0<x<1，a>0且a≠1.试比较|loga(1－x)|与|loga(1＋x)|的大小．
解 ＝|log(1＋x)(1－x)|，
∵0<x<1，
∴0<1－x<1,1<1＋x<2,0<1－x2<1，
∴|log(1＋x)(1－x)|＝－log(1＋x)(1－x)
＝log(1＋x)＝log(1＋x)>log(1＋x)(1＋x)
＝1.
∴|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|.
18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝3x，且f(a)＝2，g(x)＝3ax－4x.
(1)求g(x)的解析式；
(2)当x∈[－2,1]时，求g(x)的值域．
解 (1)由f(a)＝2，得3a＝2，a＝log32，
∴g(x)＝(3a)x－4x＝(3log32)x－4x
＝2x－4x＝－(2x)2＋2x.
∴g(x)＝－(2x)2＋2x.
(2)设2x＝t，∵x∈[－2,1]，∴≤t≤2.
g(t)＝－t2＋t＝－2＋，
由g(t)在t∈上的图像可得，
当t＝，即x＝－1时，g(x)有最大值；
当t＝2，即x＝1时，g(x)有最小值－2.
故g(x)的值域是.
19．(本小题满分12分)定义在(－∞，＋∞)上的任意函数f(x)都可以表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)的和，如果f(x)＝lg (10x＋1)，x∈R，求g(x)和h(x)．
解 由已知f(x)＝g(x)＋h(x)，且f(－x)＝g(－x)＋h(－x)，
又g(x)是奇函数，h(x)是偶函数，
∴g(x)＝－g(－x)，h(－x)＝h(x)．
∴
∴g(x)＝[f(x)－f(－x)]＝lg ＝，
h(x)＝[f(x)＋f(－x)]
＝[lg (10x＋1)＋lg (10－x＋1)]
＝lg ＝lg (1＋10x)－.
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0且a≠1)．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)若函数f(x)的最小值为－2，求实数a的值．
解 (1)由题意，得解得－1<x<3.
∴函数f(x)的定义域为(－1,3)．
(2)∵f(x)＝loga[(1＋x)(3－x)]＝loga(－x2＋2x＋3)＝loga[－(x－1)2＋4]，
若0<a<1，则当x＝1时，f(x)有最小值loga4，
∴loga4＝－2，a－2＝4，又0<a<1，∴a＝.
若a>1，则当x＝1时，f(x)有最大值loga4，f(x)无最小值．
综上可知，a＝.
21．(本小题满分12分)某企业拟共用10万元投资甲、乙两种商品．已知各投入x万元时，甲、乙两种商品可分别获得y1，y2万元的利润，利润曲线P1：y1＝axn，P2：y2＝bx＋c，如图所示．
(1)求函数y1，y2的解析式；
(2)为使投资获得最大利润，应怎样分配投资额？
解 (1)由图知P1：y1＝axn过点，，
∴∴
∴y1＝x，x∈[0，＋∞)．
P2：y2＝bx＋c过点(0,0)，(4,1)，
∴∴∴y2＝x，x∈[0，＋∞)．
(2)设用x万元投资甲商品，那么投资乙商品为(10－x)万元，总利润为y万元．
则y＝＋(10－x)＝－x＋＋
＝－2＋(0≤x≤10)，
当且仅当＝，即x＝＝6.25时，ymax＝，
此时投资乙商品为10－x＝10－6.25＝3.75万元，
故用6.25万元投资甲商品，3.75万元投资乙商品，才能获得最大利润．
22．(本小题满分12分)f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(0,1)时，f(x)＝.
(1)求f(x)在(－1,0)上的解析式；
(2)证明：f(x)在(0,1)上是减函数．
解 (1)设x∈(－1,0)，则－x∈(0,1)，
则f(－x)＝＝.
由f(x)是奇函数，知－f(x)＝.
即f(x)＝－.
故当x∈(－1,0)时，f(x)＝－.
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