资源描述
5.6 函数y＝Asin（ωx＋φ）
一、选择题
1．将函数y＝sin 2x的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝f(x)的图象，则( )
A．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称
B．f(x)的最小正周期为
C．y＝f(x)的图象关于点对称
D．f(x)在上单调递增
解析：函数y＝sin 2x的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，可得：y＝sin x，即f(x)＝sin x.
根据正弦函数的图象及性质，可知：对称轴x＝＋kπ，k∈Z，所以A不对．
周期T＝2π，所以B不对．
对称中心坐标为(kπ，0)，k∈Z，所以C不对．
单调递增区间为，k∈Z，所以f(x)在上单调递增．
答案：D
2．将函数y＝sin x的图象向左平移个单位，得到函数y＝f(x)的图象，则下列说法正确的是( )
A．y＝f(x)是奇函数
B．y＝f(x)的周期为π
C．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称
D．y＝f(x)的图象关于点对称
解析：函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度后，得到函数f(x)＝sin＝cos x的图象，f(x)＝cos x为偶函数，周期为2π；又因为f＝cos＝0，所以f(x)＝cos x的图象不关于直线x＝对称；又由f＝cos＝0，知f(x)＝cos x的图象关于点对称．故选D.
答案：D
3．已知ω>0,0<φ<π，直线x＝和x＝是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝( )
A. B.
C. D.
解析：由题意得周期T＝2＝2π，
∴2π＝，即ω＝1，∴f(x)＝sin(x＋φ)，
∴f＝sin＝±1.
∵0<φ<π，∴<φ＋<，∴φ＋＝，∴φ＝.
答案：A
4．把函数f(x)＝sin的周期扩大为原来的2倍，再将其图象向右平移个单位长度，则所得图象的解析式为( )
A．y＝sin B．y＝cos
C．y＝sin D．y＝sin
解析：y＝siny＝siny＝sin＝sin.
答案：A
二、填空题
5．将函数y＝sin x的图象向左平移个单位，再向上平移2个单位，得到的图象的解析式为________．
解析：将函数y＝sin x的图象向左平移个单位，得到的图象的解析式为y＝sin，再向上平移2个单位，得到的图象的解析式为y＝sin＋2.
答案：y＝sin＋2
6．在函数y＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的一个周期上，当x＝时，有最大值2，当x＝时，有最小值－2，则ω＝________.
解析：依题意知＝－＝，所以T＝π，又T＝＝π，得ω＝2.
答案：2
7．如图所示的曲线是y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的一部分，则这个函数的解析式是________．
解析：由函数图象可知A＝2，T＝－＝π，即＝π，故ω＝2.
又点是五点法作图的最大值点，即 2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，则φ＝＋2kπ，k∈Z.故所求函数的解析式为y＝2sin.
答案：y＝2sin
三、解答题
8．已知函数y＝sin＋1.
(1)用“五点法”画出函数的草图；
(2)函数图象可由y＝sin x的图象怎样变换得到？
解析：(1)列表.
2x＋
0
π
2π
x
－
y
1
2
1
0
1
描点连线如图所示．
将y＝sin＋1在上的图象向左(右)平移kπ(k∈Z)个单位，
即可得到y＝sin＋1的图象．
(2)y＝sin xy＝sin
y＝sin
y＝sin＋1.
9.
函数y＝Asin(ωx＋φ)
的图象的一段如图所示，试确定A，ω，φ的值．
解析：有两种方法．
法一：由图象可知振幅A＝3.
又周期T＝－＝π，∴ω＝＝＝2.
由于图象过点，
∴－×2＋φ＝kπ，φ＝＋kπ(k∈Z)，
而|φ|<，∴φ＝.
法二：由图象知T＝π，A＝3，∴ω＝＝＝2，且图象过，可知图象由y＝sin 2x的图象向左平移＋kπ个单位长度得到，
∴y＝3sin，
即y＝3sin.
又已知|φ|<，∴φ＝.
[尖子生题库]
10．已知函数f(x)＝sin＋.
(1)求f(x)的振幅、最小正周期及单调增区间；
(2)求f(x)的图象的对称轴方程和对称中心；
(3)求f(x)的最小值及取得最小值时x的取值集合．
解析：(1)函数f(x)的振幅为，最小正周期T＝＝π，
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以f(x)的单调增区间为(k∈Z)．
(2)令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，则x＝＋(k∈Z)，
所以对称轴方程为x＝＋(k∈Z)；
令2x＋＝kπ(k∈Z)，则x＝－(k∈Z)，
所以对称中心为(k∈Z)．
(3)sin＝－1，即2x＋＝－＋2kπ(k∈Z)，
x＝－＋kπ(k∈Z)时，f(x)取得最小值为，
此时x的取值集合是.
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