2019_2020学年新教材高中数学习题课二对数函数的性质与图像新人教B版必修第二册.doc

习题课（二） 对数函数的性质与图像
一、选择题
1．若函数f(x)＝ax－k－1(a>0，a≠1)过定点(2,0)，且f(x)在定义域R上是减函数，则g(x)＝loga(x＋k)的图像是(　　)

解析：选A　由题意可知f(2)＝0，解得k＝2，所以f(x)＝ax－2－1，又f(x)在定义域R上是减函数，所以0<a<1.此时g(x)＝loga(x＋2)，定义域为(－2，＋∞)，单调递减，且过点(－1,0)，故选A.
2．函数f(x)＝lg是(　　)
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
解析：选A　f(x)的定义域为R，f(－x)＋f(x)＝lg＋lg＝lg＝lg 1＝0，∴f(x)为奇函数，故选A.
3．若lg(2x－4)≤1，则x的取值范围是(　　)
A．(－∞，7]　　　　　　　 B．(2,7]
C．[7，＋∞) D．(2，＋∞)
解析：选B　∵lg(2x－4)≤1，∴0＜2x－4≤10，解得2＜x≤7，∴x的取值范围是(2,7]，故选B.
4．函数f(x)＝loga|x－1|在(0,1)上是减函数，那么f(x)在(1，＋∞)上(　　)
A．递增且无最大值 B．递减且无最小值
C．递增且有最大值 D．递减且有最小值
解析：选A　由|x－1|＞0，得函数y＝loga|x－1|的定义域为{x|x≠1}．设g(x)＝|x－1|＝
则有g(x)在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．
∵f(x)＝loga|x－1|在(0,1)上是减函数，∴a＞1.
∴f(x)＝loga|x－1|在(1，＋∞)上递增且无最大值．
5．若函数f(x)＝loga|x＋1|在(－1,0)上有f(x)＞0，则f(x)(　　)
A．在(－∞，0)上是增函数
B．在(－∞，0)上是减函数
C．在(－∞，－1)上是增函数
D．在(－∞，－1)上是减函数
解析：选C　当－1＜x＜0时，0＜x＋1＜1.
∵loga|x＋1|＞0，∴0＜a＜1，
∴函数f(x)＝loga|x＋1|在(－∞，－1)上递增，在(－1，＋∞)上递减．
6．已知函数f(x)＝loga(2x－a)(a>0且a≠1)在区间上恒有f(x)>0，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　当0<a<1时，函数f(x)在区间上是减函数，所以loga>0，即0<－a<1，解得<a<，故<a<1；当a>1时，函数f(x)在区间上是增函数，所以loga(1－a)>0，即1－a>1，解得a<0，此时无解．综上所述，实数a的取值范围是.
二、填空题
7．不等式log (5＋x)<log (1－x)的解集为________．
解析：不等式满足得－2<x<1.
答案：{x|－2<x<1}
8．若f(x)＝lg x，g(x)＝f(|x|)，则g(lg x)＞g(1)时，x的取值范围是________．
解析：因为g(lg x)＞g(1)，所以f(|lg x|)＞f(1)，由f(x)为增函数得|lg x|＞1，从而lg x＞1或lg x＜－1，解得0＜x＜或x＞10.
答案：∪(10，＋∞)
9．已知函数f(x)＝loga(x＋3)的区间[－2，－1]上总有|f(x)|＜2，则实数a的取值范围为________________．
解析：∵x∈[－2，－1]，∴1≤x＋3≤2.
当a＞1时，loga1≤loga(x＋3)≤loga2，
即0≤f(x)≤loga2.
∵|f(x)|＜2，∴解得a＞.
当0＜a＜1时，log a2≤loga(x＋3)≤loga1，
即loga2≤f(x)≤0.
∵|f(x)|＜2，∴解得0＜a＜.
综上可得，实数a的取值范围是0，∪(，＋∞)．
答案：0，∪(，＋∞)
三、解答题
10．已知对数函数f(x)的图像过点(4,2)，试解不等式f(2x－3)＞f(x)．
解：设f(x)＝logax(a＞0且a≠1)，
因为f(4)＝2，所以loga4＝2，所以a＝2，
所以f(x)＝log2x，所以f(2x－3)＞f(x)⇒log2(2x－3)＞log2x⇒⇒x＞3，
所以原不等式的解集为(3，＋∞)．
11．设定义域均为[，8]的两个函数f(x)和g(x)，其解析式分别为f(x)＝log2x－2和g(x)＝log4x－.
(1)求函数y＝f(x)的值域；
(2)求函数G(x)＝f(x)·g(x)的值域．
解：(1)因为y＝log2x在[，8]上是增函数，
所以log2≤log2x≤log28，即log2x∈.
故log2x－2∈，
即函数y＝f(x)的值域为.
(2)G(x)＝f(x)·g(x)＝(log2x－2)
＝(log2x－2)
＝[(log2x)2－3log2x＋2]，
令t＝log2x，x∈[，8]，t∈，
则y＝(t2－3t＋2)＝2－，t∈，
故当t＝时，y取最小值，最小值为－；
当t＝3时，y取最大值，最大值为1.
所以函数G(x)＝f(x)·g(x)的值域为.
12．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝loga(x＋1)(a>0，且a≠1)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若－1<f(1)<1，求实数a的取值范围．
解：(1)当x<0时，－x>0，
由题意知f(－x)＝loga(－x＋1)，
又f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(－x)＝f(x)．
∴当x<0时，f(x)＝loga(－x＋1)，
∴函数f(x)的解析式为f(x)＝
(2)∵－1<f(1)<1，∴－1<loga2<1，
∴loga<loga2<logaa.
①当a>1时，原不等式等价于解得a>2；
②当0<a<1时，原不等式等价于
解得0<a<.
综上，实数a的取值范围为∪(2，＋∞)．

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