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课时跟踪检测（五） 对数函数的性质与图像
A级——学考水平达标练
1．函数f(x)＝ 的定义域为( )
A．(0,2) B．(0,2]
C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
解析：选C 若函数f(x)有意义，则log2x－1＞0，∴log2x＞1，∴x＞2.所以函数f(x)的定义域为(2，＋∞)．
2．函数y＝2log4(1－x)的图像大致是( )
解析：选C 函数y＝2log4(1－x)的定义域为(－∞，1)，排除A、B；又函数y＝2log4(1－x)在定义域内单调递减，排除D.故选C.
3．(多选题)若点(a，b)在函数f(x)＝ln x的图像上，则下列各点中，在函数f(x)图像上的是( )
A. B．(a＋e,1＋b)
C. D．(a2,2b)
解析：选ACD 因为点(a，b)在函数f(x)＝ln x的图像上，所以b＝ln a，所以－b＝ln ，1－b＝ln ，2b＝2ln a＝ln a2，故选ACD.
4．若loga2＜logb2＜0，则下列结论正确的是( )
A．0＜a＜b＜1 B．0＜b＜a＜1
C．a＞b＞1 D．b＞a＞1
解析：选B ∵loga2＜logb2＜0，如图所示，
∴0＜b＜a＜1.
5．已知函数f(x)＝lg，若f(a)＝b，则f(－a)等于( )
A．b B．－b
C. D．－
解析：选B ∵f(a)＝lg ＝b，∴f(－a)＝lg ＝－b.
6．已知g(x)＝则g＝________.
解析：∵>0，∴g＝ln<0.
∴g＝g＝eln＝.
答案：
7．若对数函数f(x)的图像过点P(8,3)，则f＝________.
解析：设f(x)＝logax(a＞0且a≠1)，由loga8＝3，
得a＝2，∴f(x)＝log2x.∴f＝log2＝－1.
答案：－1
8．如果函数f(x)＝(3－a)x，g(x)＝logax的增减性相同，则a的取值范围是________．
解析：若f(x)，g(x)均为增函数，则
即1＜a＜2，
若f(x)，g(x)均为减函数，则无解．
答案：(1,2)
9．(1)求函数f(x)＝log(x＋1)(16－4x)的定义域．
(2)求函数f(x)＝log(x2＋2x＋3)的值域．
解：(1)由得
∴函数f(x)的定义域为(－1,0)∪(0,2)．
(2)∵x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，
∴定义域为R.∴f(x)≤log2＝－1.
∴值域为(－∞，－1]．
10．已知f(x)＝|lg x|，且＞a＞b＞1，试比较f(a)，f(b)，f(c)的大小．
解：先作出函数y＝lg x的图像，再将图像位于x轴下方的部分折到x轴上方，于是得f(x)＝|lg x|图像(如图)，由图像可知，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．由＞a＞b＞1得：f＞f(a)＞f(b)，而f＝＝|－lg c|＝|lg c|＝f(c)．∴f(c)＞f(a)＞f(b)．
B级——高考水平高分练
1．函数f(x)＝lg|x|为( )
A．奇函数，在区间(0，＋∞)上是减函数
B．奇函数，在区间(0，＋∞)上是增函数
C．偶函数，在区间(－∞，0)上是增函数
D．偶函数，在区间(－∞，0)上是减函数
解析：选D 已知函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于坐标原点对称，且f(－x)＝lg|－x|＝lg|x|＝f(x)，所以它是偶函数．又当x＞0时，f(x)＝lg x在区间(0，＋∞)上是增函数．又因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝lg|x|在区间(－∞，0)上是减函数．
2．已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝lg x，h(x)＝log3x，直线y＝a(a＜0)与这三个函数的交点的横坐标分别是x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是( )
A．x2＜x3＜x1 B．x1＜x3＜x2
C．x1＜x2＜x3 D．x3＜x2＜x1
解析：选A 分别作出三个函数的大致图像，如图所示．由图可知x2＜x3＜x1.
3．若函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍，则a的值为( )
A. B.
C.或 D．2
解析：选C 当0<a<1时， f(x)是单调递减函数．∴在[a,2a]上，f(x)max＝logaa＝1，f(x)min＝loga(2a)＝1＋loga2.由题意得3(1＋loga2)＝1，解得a＝；当a>1时， f(x)是单调递增函数．∴在[a,2a]上，f(x)max＝loga(2a)＝1＋loga2，f(x)min＝logaa＝1，所以1＋loga2＝3，解得a＝.
4．函数f(x)＝ln(2－x)的单调减区间为________．
解析：由2－x＞0，得x＜2.
又函数y＝2－x，x∈(－∞，2)为减函数，
∴函数f(x)＝ln(2－x)的单调减区间为(－∞，2)．
答案：(－∞，2)
5．已知f(x)＝2＋log3x，x∈[1,9]，求函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值及y取得最大值时的x的值．
解：由f(x)＝2＋log3x，x∈[1,9]，
得f(x2)＝2＋log3x2，x2∈[1,9]，
得函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的定义域为[1,3]，
y＝(2＋log3x)2＋2＋log3x2，
即y＝(log3x)2＋6log3x＋6＝(log3x＋3)2－3.
令log3x＝t，则0≤t≤1，则y＝(t＋3)2－3，
当t＝log3x＝1，即x＝3时，ymax＝13.
6．已知函数f(x)＝loga(x＋1)(a＞1)，若函数y＝g(x)图像上任意一点P关于原点对称的点Q在函数f(x)的图像上．
(1)写出函数g(x)的解析式；
(2)当x∈[0,1)时总有f(x)＋g(x)≥m成立，求m的取值范围．
解：(1)设P(x，y)为g(x)图像上任意一点，则Q(－x，－y)是点P关于原点的对称点．
∵Q(－x，－y)在f(x)的图像上，
∴－y＝loga(－x＋1)，即y＝g(x)＝－loga(1－x)(x<1)．
(2)f(x)＋g(x)≥m，即loga≥m.
设F(x)＝loga＝loga，x∈[0,1)，
由题意知，只要F(x)min≥m即可．
∵F(x)在[0,1)上是增函数，
∴F(x)min＝F(0)＝0.∴m≤0.
故m的取值范围为(－∞，0]．
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