资源描述
1.4.2 充要条件
A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是( )
A．m＝－2 B．m＝2
C．m＝－1 D．m＝1
答案 A
解析 函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是－＝1，即m＝－2，故选A.
2．已知p：x≤－1或x≥3，q：x>5，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 由{x|x>5}是{x|x≤－1或x≥3}的真子集，可知p是q的必要不充分条件．
3．若x，y∈R，则“x≤1，y≤1”是“x2＋y2≤1”成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 因为若x，y∈R，x≤1，y≤1，则x2＋y2≤1不一定成立，所以充分性不成立．若x2＋y2≤1，则可得x≤1且y≤1，所以必要性成立．
4．已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 “a>0且b>0”可以推出“a＋b>0且ab>0”，反之也是成立的．
5．如果A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C的充分不必要条件，那么A是D的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 根据题意列出A，B，C，D的关系如图，
显然有D⇒C⇒B⇒A，即D⇒A；但A D．故选B.
二、填空题
6．下列命题中是真命题的是________(填序号)．
①“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充要条件；
②“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件；
③“b2－4ac<0”是“y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数值恒小于0”的充要条件；
④“三角形的三边满足勾股定理”的充要条件是“此三角形为直角三角形”．
答案 ②④
解析 ①因为由x>2且y>3⇒x＋y>5，但由x＋y>5不能推出x>2且y>3，所以“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充分不必要条件．②因为由x>1⇒|x|>0，而由|x|>0不能推出x>1，所以“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件．③因为由b2－4ac<0不能推出y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数值恒小于0，而由y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数值恒小于0⇒b2－4ac<0，所以“b2－4ac<0”是“y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数值恒小于0”的必要不充分条件．④由三角形的三边满足勾股定理⇒此三角形为直角三角形，由三角形为直角三角形⇒该三角形的三边满足勾股定理，故②④是真命题．
7．“－2<x－1<2成立”是“x(x－3)<0成立”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．
答案 必要不充分
解析 －2<x－1<2⇒－1<x<3，x(x－3)<0⇒0<x<3，{x|0<x<3}{x|－1<x<3}，
由此可知“－2<x－1<2成立”是“x(x－3)<0成立”的必要不充分条件．
8．“方程x2－2x－a＝0无实根”的充要条件是________．
答案 a<－1
解析 方程x2－2x－a＝0无实根，所以有Δ＝4＋4a<0，解得a<－1.反之，若a<－1，则Δ<0，方程x2－2x－a＝0无实根．故“方程x2－2x－a＝0无实根”的充要条件是a<－1.
三、解答题
9．证明：ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
证明 ①充分性：由a＋b＋c＝0得a＝－b－c，代入ax2＋bx＋c＝0，得(－b－c)x2＋bx＋c＝0，
即(1－x)(bx＋cx＋c)＝0.
∴ax2＋bx＋c＝0有一根为1.
②必要性：由ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，把它代入方程即有a＋b＋c＝0.
综上可知，ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
10．已知p：0<m<；q：方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实数根，那么p是q的什么条件？
解 设x1，x2是方程mx2－2x＋3＝0的两个根，则方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实数根等价于
因此，p是q的充要条件．
B级：“四能”提升训练
1．求方程x2＋kx＋1＝0与x2＋x＋k＝0有一个公共实根的充要条件．
解 ⇔
⇔⇔
所以两方程有一公共实根的充要条件为k＝－2.
2．设x，y∈R，求证：|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0.
证明 ①充分性：如果xy≥0，则有xy＝0和xy>0两种情况，
当xy＝0时，不妨设x＝0，得|x＋y|＝|y|，
|x|＋|y|＝|y|，∴等式成立．
当xy>0，即x>0，y>0或x<0，y<0时．
又当x>0，y>0时，
|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，
∴等式成立．
当x<0，y<0时，|x＋y|＝－(x＋y)，
|x|＋|y|＝－x－y＝－(x＋y)，
∴等式成立．
总之，当xy≥0时，
|x＋y|＝|x|＋|y|成立．
②必要性：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R，得
|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2，
即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x|·|y|，
∴|xy|＝xy，∴xy≥0.
综上可知，xy≥0是等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件．
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