资源描述
课时跟踪检测（六） 指数函数与对数函数的关系
A级——学考水平达标练
1．已知函数y＝ex与函数y＝f(x)互为反函数，则( )
A．f(2x)＝e2x(x∈R) B．f(2x)＝ln 2·ln x(x>0)
C．f(2x)＝2ex(x∈R) D．f(2x)＝ln x＋ln 2(x>0)
解析：选D 函数y＝ex与函数y＝ln x互为反函数，即f(x)＝ln x，所以f(2x)＝ln(2x)＝ln x＋ln 2(x>0)．
2．已知函数y＝f(x)的反函数是y＝1－，则原函数的定义域是( )
A．(－1,0) B．[－1,1]
C．[－1,0] D．[0,1]
解析：选D 原函数的定义域即为反函数的值域，由于0≤1－x2≤1，∴0≤1－≤1，即原函数的定义域为[0,1]．
3．设a>0且a≠1，函数y＝logax的反函数和y＝loga的反函数的图像关于( )
A．x轴对称 B．y轴对称
C．y＝x对称 D．原点对称
解析：选B 函数y＝logax的反函数为y＝ax，而函数y＝loga＝－logax的反函数为y＝a－x，而y＝ax与y＝a－x的图像关于y轴对称，故选B.
4．函数y＝ax(a＞0且a≠1)的反函数的图像过点(，a)，则a的值为( )
A．2 B.
C．2或 D．3
解析：选B 法一：函数y＝ax(a＞0且a≠1)的反函数为y＝logax(a＞0且a≠1)，故y＝logax的图像过点(，a)，则a＝loga＝.
法二：∵函数y＝ax(a＞0且a≠1)的反函数的图像过点(，a)，∴函数y＝ax(a＞0且a≠1)的图像过点(a，)，∴aa＝＝a，即a＝.
5．函数y＝f(x)的图像经过第三、四象限，则y＝f－1(x)的图像经过( )
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三、四象限 D．第一、四象限
解析：选B 因为第三、四象限关于y＝x对称的象限为第二、三象限，故y＝f－1(x)的图像经过第二、三象限．
6．已知f(x)＝2x－3，则f－1(f(x))＝________，f(f－1(x))＝________.
解析：由f(x)＝2x－3得其反函数f－1(x)＝，
所以f－1(f(x))＝f－1(2x－3)＝x.f(f－1(x))＝f＝x.
答案：x x
7．对任意不等于1的正数a，函数f(x)＝loga(x＋3)的反函数的图像都过点P，则点P的坐标是________．
解析：当x＝－2时，
f(x)＝loga(－2＋3)＝0，
∴f(x)恒过(－2,0)点，即反函数的图像恒过点P(0，－2)．
答案：(0，－2)
8．已知f(x)＝(x<－1)，那么f－1＝________.
解析：由原函数与反函数的关系可知，由＝－，解得x2＝4，又x<－1，所以x＝－2，故f－1＝－2.
答案：－2
9．确定函数y＝的定义域和值域，并判断它是否存在反函数．
解：显然该函数定义域为R.
由y＝得yx2－x＋y＝0，
∴Δ＝1－4y2≥0，解得y∈.
由于当x＝2＋ 时，y＝；当x＝2－时，y＝.
故函数y＝不是单调函数，因而不存在反函数．
10．已知函数f(x)＝3x，其反函数为f－1(x)，且f－1(18)＝a＋2，g(x)＝3ax－4x的定义域为[0,1]．
(1)求g(x)的解析式；
(2)求g(x)的值域．
解：(1)∵f(x)＝3x，∴f－1(x)＝log3x.
又∵f－1(18)＝a＋2，即log318＝2＋log32＝a＋2，
∴a＝log32.
则g(x)＝3xlog32－4x＝2x－4x.
(2)∵x∈[0,1]，所以2x∈[1,2]，
又g(x)＝－2＋，
∴当2x＝1时，g(x)max＝0；当2x＝2时，g(x)min＝－2.
故g(x)的值域为[－2,0]．
B级——高考水平高分练
1．(多选题)在同一直角坐标系下作y＝ax和y＝logax(a＞0且a≠1)的图像有下面四种判断，其中正确的是( )
A．两支图像可能无公共点
B．若两支图像有公共点，则公共点一定在直线y＝x上
C．若两支图像有公共点，则公共点个数可能有1个，不可能有2个
D．若两支图像有公共点，则公共点个数最多有3个
解析：选AB 因为函数y＝ax和y＝logax(a＞0且a≠1)互为反函数，其图像关于直线y＝x对称，而底数不确定，所以可以对底数分情况讨论，画图可知，两图像可能有0个、1个或2个公共点，且公共点一定在直线y＝x上，故A正确，B正确，C、D不正确．
2．设a＞0，且a≠1，函数f(x)＝ax，g(x)＝bx的反函数分别是f－1(x)和g－1(x)．若lg a＋lg b＝0，则f－1(x)与g－1(x)的图像( )
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于原点对称 D．关于y＝x对称
解析：选A 由lg a＋lg b＝0，得b＝a－1，∴f(x)＝ax，g(x)＝a－x.其反函数分别为f－1(x)＝logax，g－1(x)＝－logax，∴f－1(x)与g－1(x)的图像关于x轴对称．
3．已知f(x)＝(a＞0)，若f－1(x)的定义域是，则f(x)的定义域是________．
解析：f－1(x)的定义域即为f(x)的值域，∴≤≤.又a＞0，∴4≤x≤7.∴f(x)的定义域为[4,7]．
答案：[4,7]
4．若f(x)＝3x＋1，则f－1(x＋1)＝________.
解析：由y＝3x＋1得x＝，所以f－1(x)＝，
故f－1(x＋1)＝.
答案：
5．若g(x)为函数f(x)的反函数，且f(3)＝0，则g(x＋1)的图像必经过点______．
解析：因为f(3)＝0，所以g(0)＝3，即g(x)的图像必经过点(0,3)，又g(x＋1)的图像是由g(x)的图像向左平移1个长度单位得到的，所以g(x＋1)的图像必经过点(－1,3)．
答案：(－1,3)
6．已知f(x)＝loga(ax－1)(a＞0且a≠1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)求满足f(2x)＝f－1(x)时的x的值．
解：(1)由ax－1>0，得ax>1.
所以当a>1时，x>0；当0<a<1时，x<0.
故当a>1时，函数的定义域为(0，＋∞)；
当0<a<1时，函数的定义域为(－∞，0)．
(2)当a>1时，u(x)＝ax－1为增函数，y＝logau也为增函数，所以f(x)在(0，＋∞)为增函数；
当0<a<1时，u(x)＝ax－1为减函数，y＝logau也为减函数，所以f(x)在(－∞，0)为增函数．
(3)因为y＝loga(ax－1)，所以ax－1＝ay，所以ax＝ay＋1，
所以f－1(x)＝loga(ax＋1)．
又f(2x)＝loga(a2x－1)，
由f(2x)＝f－1(x)得loga(a2x－1)＝loga(ax＋1)．
所以a2x－1＝ax＋1，即(ax)2－ax－2＝0，
解得ax＝2或ax＝－1(舍去)，所以x＝loga2.
7．已知a＞0且a≠1，求证函数y＝的图像关于直线y＝x成轴对称图形．
证明：联系互为反函数的图像的性质，只要证明函数y＝的反函数是自身即可．
由已知可得ayx－y＝x－1，(ay－1)x＝y－1，
若y＝，由题设＝，得ax－1＝ax－a，a＝1，与已知矛盾，所以y≠，则ay－1≠0，
于是x＝，交换x，y得反函数y＝.
它与原函数相同，所以它的图像关于直线y＝x对称．
- 5 -
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
