资源描述
6.2.1 向量的加法运算
[A 基础达标]
1．点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则＋＋等于( )
A. B.
C. D.
解析：选A.因为点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则＋＋＝＋＝.故选A.
2．如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，则＋＋＋＝( )
A. B.
C. D.
解析：选B.＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝.
3．若向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向北航行 km ”，则向量a＋b表示( )
A．向东北方向航行2 km
B．向北偏东30°方向航行2 km
C．向北偏东60°方向航行2 km
D．向东北方向航行(1＋)km
解析：选B.如图，易知tan α＝，所以α＝30°.故a＋b的方向是北偏东30°.又|a＋b|＝2 km，故选B.
4.如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则|＋＋|等于( )
A．1 B．2
C．3 D．2
解析：选B.由正六边形知＝，
所以＋＋＝＋＋＝，
所以|＋＋|＝||＝2.故选B.
5．(2019·云南曲靖一中检测)已知向量a，b皆为非零向量，下列说法不正确的是( )
A．若a与b反向，且|a|>|b|，则a＋b与a同向
B．若a与b反向，且|a|>|b|，则a＋b与b同向
C．若a与b同向，则a＋b与a同向
D．若a与b同向，则a＋b与b同向
解析：选B.a与b反向，且|a|>|b|，则a＋b与a同向，所以B错；a与b同向，则a＋b与a同向，也与b同向．
6．化简(＋)＋(＋)＋＝________．
解析：原式＝(＋)＋(＋)＋＝＋＋＝＋＝.
答案：
7．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，||＝1，则|＋|＝________．
解析：在菱形ABCD中，连接BD，
因为∠DAB＝60°，所以△BAD为等边三角形，
又因为||＝1，所以||＝1，
所以|＋|＝||＝1.
答案：1
8．已知平行四边形ABCD，设＋＋＋＝a，且b是一非零向量，给出下列结论：
①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|<|a|＋|b|.
其中正确的是________．
解析：因为在平行四边形ABCD中，＋＝0，＋＝0，所以a为零向量，因为零向量和任意向量都平行，零向量和任意向量的和等于这个向量本身，所以①③正确，②④错误．
答案：①③
9．根据下列条件，分别判断四边形ABCD的形状：
(1)＝；
(2)＝且||＝||.
解：(1)因为＝，所以AD∥BC，AD＝BC，
所以四边形ABCD是平行四边形．
(2)因为＝且||＝||，所以四边形ABCD是有一组邻边相等的平行四边形，即四边形ABCD是菱形．
10．已知||＝|a|＝3，||＝|b|＝3，∠AOB＝60°，求|a＋b|.
解：如图，因为||＝||＝3，
所以四边形OACB为菱形，
连接OC，AB，则OC⊥AB，
设垂足为D.
因为∠AOB＝60°，
所以AB＝||＝3.
所以在Rt△BDC中，CD＝.
所以||＝|a＋b|＝×2＝3.
[B 能力提升]
11．已知有向线段，不平行，则( )
A．|＋|>||
B．|＋|≥||
C．|＋|≥||＋||
D．|＋|<||＋||
解析：选D.由向量加法的几何意义得||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|，等号当且仅当a，b共线的时候取到，所以本题中，|＋|<||＋||.
12．若P为△ABC的外心，且＋＝，则∠ACB＝______.
解析：因为＋＝，则四边形APBC是平行四边形．
又P为△ABC的外心，
所以||＝||＝||.
因此∠ACB＝120°.
答案：120°
13．如图，已知△ABC是直角三角形且∠A＝90°，则下列结论中正确的是________．
①|＋|＝||；
②|＋|＝||；
③||2＋||2＝||2.
解析：①正确．以AB，AC为邻边作▱ABDC，又∠A＝90°，
所以▱ABDC为矩形，所以AD＝BC，
所以|＋|＝||＝||.
②正确．|＋|＝||＝||.
③正确．由勾股定理知||2＋||2＝||2.
答案：①②③
14．如图，已知向量a，b，c，d.
(1)求作a＋b＋c＋d；
(2)设|a|＝2，e为单位向量，求|a＋e|的最大值．
解：(1)在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，＝d，则＝a＋b＋c＋d.
(2)在平面内任取一点O，作＝a，＝e，则a＋e＝＋＝，
因为e为单位向量，
所以点B在以点A为圆心的单位圆上(如图所示)，
由图可知当点B在点B1时，O，A，B1三点共线，
||即|a＋e|最大，最大值是3.
[C 拓展探究]
15．如图，在重300 N的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，要使整个系统处于平衡状态，两根绳子的拉力为多少？
解：如图，作▱OACB，
使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°，
则∠ACO＝∠BOC＝60°，∠OAC＝90°.
设向量，分别表示两根绳子的拉力，则表示物体所受的重力，且||＝300 N.
所以||＝||cos 30°＝150 (N)，
||＝||cos 60°＝150(N)．
所以与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N.
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