资源描述
6.2.3 向量的数乘运算
[A 基础达标]
设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是( )
A．a与－λa的方向相反 B．|－λa|≥|a|
C．a与λ2a的方向相同 D．|－λa|＝|λ|a
解析：选C.当λ取负数时，a与－λa的方向是相同的，选项A错误；当|λ|<1时，|－λa|≥|a|不成立，选项B错误；|－λa|＝|λ|a中等号左边表示一个数，而等号右边表示一个向量，不可能相等，选项D错误；因为λ≠0，所以λ2一定是正数，故a与λ2a的方向相同，故选C.
2．已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，则实数m的值为( )
A．－1或3 B.
C．－1或4 D．3或4
解析：选A.因为向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，且向量a，b是两个不共线的向量，所以m＝，解得m＝－1或m＝3.
3．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC的中点，且2＋＋＝0，则( )
A.＝2 B.＝
C.＝3 D．2＝
解析：选B.因为D为BC的中点，所以＋＝2，
所以2＋2＝0，所以＝－，所以＝.
4．设a，b不共线，＝a＋kb，＝ma＋b(k，m∈R)，则A，B，C三点共线时有( )
A．k＝m B．km－1＝0
C．km＋1＝0 D．k＋m＝0
解析：选B.若A，B，C三点共线，则与共线，
所以存在唯一实数λ，使＝λ，即a＋kb＝λ(ma＋b)，即a＋kb＝λma＋λb，
所以
所以km＝1，即km－1＝0.
5．(2019·山东青岛胶南八中期中检测)在△ABC中，若＋＝2，则等于( )
A．－＋ B.－
C.－ D．－＋
解析：选C.由＋＝2得＝(＋)，所以＝＋＝－(＋)＋＝－.
6．若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝________．
解析：由已知得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，
所以x＋3a－4b＝0，所以x＝4b－3a.
答案：4b－3a
7．已知点P在线段AB上，且||＝4||，设＝λ ，则实数λ＝________．
解析：因为||＝4||，则的长度是的长度的，二者的方向相同，所以＝.
答案：
8．设a，b是两个不共线的向量．若向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，则k＝________．
解析：因为向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，
所以ka＋2b＝λ(8a＋kb)⇒k＝8λ，2＝λk⇒k＝－4(因为方向相反，所以λ＜0⇒k＜0)．
答案：－4
9．计算：
(1)＋(3a－2b)－(a－b)；
(2)－.
解：(1)原式＝a＋b＝a＋b.
(2)原式＝－
＝a＋b－a－b＝0.
10．已知两个非零向量a与b不共线，＝2a－b，＝a＋3b，＝ka＋5b.
(1)若2－＋＝0，求k的值；
(2)若A，B，C三点共线，求k的值．
解：(1)因为2－＋＝2(2a－b)－a－3b＋ka＋5b＝(k＋3)a＝0，所以k＝－3.
(2)＝－＝－a＋4b，＝－＝(k－2)a＋6b，又A，B，C三点共线，则存在λ∈R，使＝λ，即(k－2)a＋6b＝－λa＋4λb，所以解得k＝.
[B 能力提升]
11．在△ABC中，G为△ABC的重心，记a＝，b＝，则＝( )
A.a－b B.a＋b
C.a－b D.a＋b
解析：选A.因为G为△ABC的重心，所以＝(＋)＝a＋b，所以＝＋＝－b＋a＋b＝a－b.
12.如图所示，两射线OA与OB交于O，则下列选项中向量的终点落在阴影区域内(不含边界)的有( )
①＋2； ②＋；
③＋； ④＋.
A．①② B．①②④
C．①②③ D．③④
解析：选A.依题意，在题图中的阴影区域内任取点E，连接OE交AB于点F，则有＝λ＝λ[x＋(1－x)]＝λx＋(1－x)λ，其中0<x<1，λ>1，注意到λx＋(1－x)λ＝λ>1；注意到1＋2＝3>1，＋>＋＝1，＋＝<1，＋＝<1，故选A.
13.如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，且BD＝2DC，若＝m＋n(m，n∈R)，则m－n＝________．
解析：直接利用向量共线定理，得＝3，则＝＋＝＋3＝＋3(－)＝＋3－3，＝－＋，则m＝－，n＝，那么m－n＝－－＝－2.
答案：－2
14．已知e，f为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足＝e＋2f，＝－4e－f，＝－5e－3f.
(1)用e，f表示；
(2)证明：四边形ABCD为梯形．
解：(1)＝＋＋＝(e＋2f)＋(－4e－f)＋(－5e－3f)＝(1－4－5)e＋(2－1－3)f＝－8e－2f.
(2)证明：因为＝－8e－2f＝2(－4e－f)＝2，所以与方向相同，且的模为的模的2倍，即在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC，所以四边形ABCD是梯形．
[C 拓展探究]
15．设，不共线，且＝a＋b(a，b∈R)．
(1)若a＝，b＝，求证：A，B，C三点共线；
(2)若A，B，C三点共线，则a＋b是否为定值？并说明理由．
解：(1)证明：当a＝，b＝时，
＝＋，
所以(－)＝(－)，
即2 ＝，
所以与共线，又与有公共点C，
所以A，B，C三点共线．
(2)a＋b为定值1，理由如下：
因为A，B，C三点共线，所以∥，
不妨设＝λ(λ∈R)，所以－＝λ(－)，
即＝(1－λ)＋λ，
又＝a＋b，且，不共线，
则所以a＋b＝1(定值)．
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