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课时作业38 平面与平面垂直的性质
知识点一 平面与平面垂直的性质
1.设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出如下命题：
①若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；
②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
③若α⊥β，且n⊥β，n⊥m，则m⊥α；
④若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α；
⑤若α⊥β，m∥α，则m⊥β.
其中正确命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 根据平面与平面垂直的性质知①正确；②中，α，β可能平行，也可能相交，不正确；③中，m还可能在α内或m∥α或m与α斜交，不正确；④中，α⊥β，m⊥β，m⊄α时，只可能有m∥α，正确；⑤中，m与β的位置关系可能是m∥β或m⊂β或m与β相交，不正确．综上，可知正确命题的个数为2，故选B.
2．下列说法错误的是( )
A．若直线a∥平面α，直线b∥平面α，则直线a不一定平行于直线b
B．若平面α不垂直于平面β，则α内一定不存在直线垂直于平面β
C．若平面α⊥平面β，则α内一定不存在直线平行于平面β
D．若平面α⊥平面v，平面β⊥平面v，α∩β＝l，则l一定垂直于平面v
答案 C
解析 C错误，平面α⊥平面β，在平面α内，平行于α，β交线的直线和平面β平行．
3．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在( )
A．直线AB上 B．直线BC上
C．直线AC上 D．△ABC内部
答案 A
解析 连接AC1，∵AC⊥AB，AC⊥BC1，
∴AC⊥平面ABC1.
又AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC，∴C1在平面ABC上的射影H必在平面ABC1与平面ABC的交线AB上，故选A.
4．如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝1，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，现将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则三棱锥A－BCD的体积为________．
答案
解析 作AH⊥BD于H，∵平面ABD⊥平面BCD，
∴AH⊥平面BCD.
易得∠BDC＝90°.
由AB＝AD＝1，得BD＝，则CD＝.
AH＝ABsin45°＝，∴VA－BCD＝S△BCD·AH
＝××××＝.
知识点二 平面与平面垂直的应用
5．如图，在平行四边形ABCD中，BD＝2，AB＝2，AD＝4，将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD.求证：AB⊥DE.
证明 在△ABD中，∵AB＝2，AD＝4，BD＝2，
∴AB2＋BD2＝AD2，∴AB⊥BD.
∵平面EBD⊥平面ABD，平面EBD∩平面ABD＝BD，AB⊂平面ABD，
∴AB⊥平面EBD.
∵DE⊂平面EBD，∴AB⊥DE.
6．如图，在棱长均为2的直三棱柱ABC－A1B1C1中，E为AA1的中点．求证：平面B1EC⊥平面BCC1B1.
证明 如图，取BC，B1C的中点分别为F，G，连接AF，EG，FG，由E，F，G分别为AA1，BC，B1C的中点，知FG綊BB1綊AE，
所以四边形AEGF为平行四边形，
所以AF∥EG.
在直三棱柱中，由平面BCC1B1⊥平面ABC，平面BCC1B1∩平面ABC＝BC，且AF⊥BC，知AF⊥平面BCC1B1，
所以EG⊥平面BCC1B1.又EG⊂平面B1EC，
所以平面B1EC⊥平面BCC1B1.
一、选择题
1．若两个平面互相垂直，在第一个平面内的一条直线a垂直于第二个平面内的一条直线b，那么( )
A．直线a垂直于第二个平面
B．直线b垂直于第一个平面
C．直线a不一定垂直于第二个平面
D．过a的平面必垂直于过b的平面
答案 C
解析 直线a与直线b均不一定垂直两面的交线．
2．下列命题错误的是( )
A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C．如果平面α⊥平面β，α∩β＝l，l⊥m，那么m不一定垂直于平面β
D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
答案 D
解析 A中结合正方体，可知此命题正确；B中，若平面α内存在直线垂直于平面β，则根据面面垂直的判定定理可知两平面垂直，故此命题正确；C中，当m⊂α时，m⊥β，当m⊄α时，m可能在β内，也可能与β斜交或平行，故m不一定垂直于平面β；D中，举反例，教室侧墙面与地面垂直，而侧墙面内有很多直线是不垂直于地面的，故此命题错误．故选D.
3．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是( )
A．②③ B．①② C．①③ D．①④
答案 D
解析 上下面射影选①，前后左右面射影选④.
4．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD.将四边形ABCD沿对角线BD折成三棱锥A－BCD，使平面ABD⊥平面BCD，在三棱锥A－BCD中，下列结论正确的是( )
A．AC⊥BD
B．∠BAC＝90°
C．CA与平面ABD所成的角为30°
D．三棱锥A－BCD的体积为
答案 B
解析 在三棱锥A－BCD中，取BD的中点O，连接AO，OC.∵AB＝AD，∴AO⊥BD.又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，∴AO⊥平面BCD.∵CD⊥BD，∴OC不垂直于BD.假设AC⊥BD，又AC∩AO＝A，∴BD⊥平面AOC，∴BD⊥OC，与OC不垂直于BD矛盾，∴AC不垂直于BD，A错误．∵CD⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，∴CD⊥平面ABD，∴CD⊥AD，∴AC＝.∵AB＝1，BC＝＝，∴AB2＋AC2＝BC2，∴AB⊥AC，B正确．∠CAD为直线CA与平面ABD所成的角，∠CAD＝45°，C错误．VA－BCD＝S△ABD·CD＝，D错误．故选B.
5．在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，则BD与CC1( )
A．平行 B．共面 C．垂直 D．不垂直
答案 C
解析 如图所示，在四边形ABCD中，
∵AB＝BC，AD＝CD.
∴BD⊥AC.
∵平面AA1C1C⊥平面ABCD，
平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，
BD⊂平面ABCD，
∴BD⊥平面AA1C1C.
又CC1⊂平面AA1C1C，
∴BD⊥CC1，故选C.
二、填空题
6. 如图，在三棱锥P－ABC中，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝________.
答案
解析 ∵侧面PAC⊥底面ABC，交线为AC，∠PAC＝90°(即PA⊥AC)，
∴PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，
∴PB＝＝＝.
7．已知m，n为直线，α，β为空间的两个平面．给出下列命题：①⇒n∥α；②⇒m∥n；③⇒α∥β；
④⇒m∥n.
其中正确的命题为________(填序号)．
答案 ③④
解析 对于①，会有n⊂α的情况，因此不正确；对于②，会有m，n异面的情况，因此不正确；容易验证③④都是正确的．故填③④.
8．如图，四面体P－ABC中，PA＝PB＝13，平面PAB⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，则PC＝________.
答案 13
解析 取AB的中点E，连接PE，EC.
∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝10，∴CE＝5.∵PA＝PB＝13，E是AB的中点，
∴PE⊥AB，PE＝12.∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，∴PE⊥平面ABC.∵CE⊂平面ABC，∴PE⊥CE.
在Rt△PEC中，PC＝＝13.
三、解答题
9. 如图，三棱锥P－ABC中，∠ABC＝90°，∠PAC＝90°，平面PAC⊥平面ABC.求证：平面PAB⊥平面PBC.
证明 ∵平面PAC⊥平面ABC，
平面PAC∩平面ABC＝AC，PA⊥AC，∴PA⊥平面ABC.
又BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.
又AB⊥BC，AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB.
又BC⊂平面PBC，∴平面PAB⊥平面PBC.
10．如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点．求证：
(1)PA⊥底面ABCD；
(2)BE∥平面PAD；
(3)平面BEF⊥平面PCD.
证明 (1)∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD＝AD，PA⊂平面PAD，PA⊥AD，∴PA⊥底面ABCD.
(2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E是CD的中点，
∴AB∥DE，且AB＝DE.
∴四边形ABED为平行四边形，∴BE∥AD.
又BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，
∴BE∥平面PAD.
(3)∵AB⊥AD，四边形ABED为平行四边形，
∴BE⊥CD，AD⊥CD.
由(1)知PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD.
∵PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD.
∵E和F分别是CD和PC的中点，
∴PD∥EF，∴CD⊥EF.
∵CD⊥BE，EF∩BE＝E，∴CD⊥平面BEF.
∵CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD.
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