资源描述
第二课
考点突破·素养提升
素养一 数学运算
角度1 解方程与方程组
【典例1】关于x的方程x2-4x+k=0与2x2-3x+k=0有一个相同的根，求k的值.
【解析】设x2-4x+k=0的两根为α，β，
2x2-3x+k=0的两根为α，γ，则
①-③得：β-γ=⑤，
由②④得：αβ=2αγ⑥
当α=0时，由②得：k=0；
当α≠0时，由⑥得：β=2γ，
代入⑤得：β=5；把β=5代入①得，α=-1，
代入②得，k=-5，所以k=0或k=-5.
【类题·通】
求参数的值是一元二次方程根与系数的关系的常见应用，解题步骤是列方程组，解方程组.
【加练·固】
若方程x2+3x+k=0的两根之差为5，求k值.
【解析】设方程的两根为α，α+5，
由根与系数的关系得：α+α+5=-3，
所以α=-4，所以α+5=1，
所以k=α(α+5)=-4×1=-4.
角度2 解不等式与不等式组
【典例2】在R上定义运算：=ad-bc.若不等式≥1对任意实数x恒成立，则实数a的最大值为 ( )
A.- B.-
C. D.
【解析】选D.原不等式等价于x(x-1)-(a-2)(a+1)≥1，
即x2-x-1≥(a+1)(a-2)对任意x恒成立，
x2-x-1=-≥-，
所以-≥a2-a-2，-≤a≤.
【类题·通】
解决“恒成立”的基本方法是转化法，其基本步骤有两步，即分离与求最值，本题进行了巧妙的转化后，变成解一元二次不等式问题.
素养二 逻辑推理
角度1 不等式的性质及其应用
【典例3】(1)已知a，b满足等式x=a2+b2+20，y=4(2b-a)，则x，y满足的大小关系是 ( )
A.x≤y B.x≥y C.x<y D.x>y
(2)若<<0，则不等式：①a+b<ab；②|a|>|b|；
③a<b；④+>2中，正确的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
(3)若a，b>0，且P=，Q=，则P，Q的大小关系是 ( )
A.P>Q B.P<Q C.P≥Q D.P≤Q
【解析】(1)选B.x-y=a2+b2+20-4(2b-a)=(a+2)2+(b-4)2≥0，所以x≥y.
(2)选B.由<<0，得ab>0，b<a<0.
故a+b<0<ab，|b|>|a|，因此①正确，②错
误，③错误.又+-2=>0，因此④正确.
(3)选D.P2-Q2=-(a+b)
=-≤0，所以P2≤Q2，即P≤Q.
【类题·通】
不等式的性质是进行不等关系的推理运算的理论基础，应注意准确应用，保证每一步的推理都有根据.要熟练掌握不等式性质应用的条件，以防推理出错.
【加练·固】
如果a，b，c满足c<b<a且ac<0，则下列选项中不一定成立的是( )
A.ab>ac B.c(b-a)>0
C.cb2<ab2 D.ac(a-c)<0
【解析】选C.c<b<a，ac<0⇒a>0，c<0.
对于A：⇒ab>ac，A正确.
对于B：⇒c(b-a)>0，B正确；
对于C：⇒cb2≤ab2，即C不一定成立.
对于D：ac<0，a-c>0⇒ac(a-c)<0，D正确.
角度2 均值不等式及其应用
【典例4】当x≥0时，求x+的最小值.
【解析】因为x+=(x+1)+-1，
又x≥0，所以x+1>0，>0，
所以x+1+≥2.当且仅当x+1=，
即x=-1时，x+取最小值2-1.
【类题·通】
利用均值不等式求最值的策略
【加练·固】
已知x>0，y>0，xy=10，求+的最小值.
【解析】因为x>0，y>0，xy=10，所以+≥2=2，当且仅当=，即x=2，y=5时，等号成立，
故+的最小值为2.
素养三 直观想象
角度 解绝对值不等式
【典例5】已知不等式|x+2|-|x+3|>m.
(1)若不等式有解.
(2)若不等式解集为R.
(3)若不等式解集为，分别求出m的范围.
【解析】方法一：因为|x+2|-|x+3|的几何意义为数轴上任意一点P(x)与两定点A(-2)，B(-3)距离的差.
即|x+2|-|x+3|=|PA|-|PB|.
由图象知(|PA|-|PB|)max=1，
(|PA|-|PB|)min=-1.
即-1≤|x+2|-|x+3|≤1.
(1)若不等式有解，m只要比|x+2|-|x+3|的最大值小即可，即m<1，m的范围为(-∞，1).
(2)若不等式的解集为R，即不等式恒成立，m只要比|x+2|-|x+3|的最小值还小，即m<-1，m的范围为(-∞，-1).
(3)若不等式的解集为∅，m只要不小于|x+2|-|x+3|的最大值即可，即m≥1，m的范围为[1，+∞).
方法二：由|x+2|-|x+3|≤|(x+2)-(x+3)|=1，
|x+3|-|x+2|≤|(x+3)-(x+2)|=1，
可得-1≤|x+2|-|x+3|≤1.
(1)若不等式有解，则m∈(-∞，1).
(2)若不等式解集为R，则m∈(-∞，-1).
(3)若不等式解集为∅，则m∈[1，+∞).
【类题·通】
解绝对值不等式的常用方法
(1)平方法.
(2)分情况讨论去绝对值法.
(3)利用绝对值的几何意义，借助数轴求解法.
(4)构造函数，利用图象求解法.
素养四 数学建模
角度 基本不等式的实际应用
【典例6】如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.现有36 m长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
【解析】设每间虎笼长x m，宽y m，
则由条件知，4x+6y=36，即2x+3y=18.
设每间虎笼面积为S，则S=xy.
方法一：由于2x+3y≥2=2，
所以2≤18，得xy≤，
即Smax= m2，当且仅当2x=3y时，等号成立.
由解得
故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大.
方法二：由2x+3y=18，得x=9-y.
因为x>0，所以0<y<6，S=xy=y=y(6-y).
因为0<y<6，所以6-y>0.所以S≤=.
当且仅当6-y=y，即y=3时，等号成立，此时x=4.5.
故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大.
【类题·通】
解决基本不等式的实际应用问题，关键在于弄清问题的各种数量关系，抽象出数学模型，解题时，既要注意条件是否具备，还要注意有关量的实际含义.
【加练·固】
某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N*)为二次函数关系(如图所示)，若要使其营运的年平均利润最大，则每辆客车需营运 ( )
A.3年 B.4年 C.5年 D.6年
【解析】选C.设二次函数为y=a(x-6)2+11.
又图象过点(4，7)，代入得7=a(4-6)2+11，
解得a=-1，所以y=-x2+12x-25.
设年平均利润为m，则m==-x-+12≤2，
当且仅当x=，即x=5时取等号.
7
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
