2019_2020学年新教材高中数学第四课考点突破素养提升新人教A版必修第一册.doc

第四课考点突破素养提升素养一数学运算角度1指数、对数的运算【典例1】(1)计算(0.064-+16-0.75+(0.01,(2)计算:10-log98log4.(3)设3x=4y=36,求+的值.【解析】(1)原式=0.4-1-1+(-2)-4+2-3+0.1=-1+=.(2)10-log98log4=10lg 910lg 4-=-=-=2.(3)因为3x=36,4y=36,所以x=log336,y=log436,由换底公式得x=,y=,所以=log363,=log364,所以+=2log363+log364=log36(324)=log3636=1.【类题通】1.指数的运算注意化简顺序,一般负指数先转化成正指数,根式化为分数指数幂运算.另外,若出现分式,则要注意对分子、分母因式分解以达到约分的目的.2.底数相同的对数式化简的两种基本方法(1)“收”:将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数.(2)“拆”:将积(商)的对数拆成对数的和(差).【加练固】1.计算:log89log2732-()lg 1+log535-log57=_.【解析】log89log2732-()lg 1+log535-log57=-1+log5=-1+1=.答案:2.计算:+(0.002-10(-2)-1+.【解析】原式=(-1+-+1=+(500-10+1=+10-10-20+1=-.角度2求函数的零点【典例2】函数f(x)=的零点的个数为_.【解析】当x0时,令2x2-x-1=0,解得x=-(x=1舍去);当x0时,令3x-4=0,解得x=log34,所以函数f(x)=有2个零点.答案:2【类题通】函数零点的求法求函数的零点即解相应方程的根,一般多涉及二次方程、指数方程、对数方程等,解二次方程一般需要用到十字相乘法、求根公式,指数、对数方程往往需要用到指数与对数的互化等.【加练固】函数f(x)=的零点为_.【解析】当x0时,令x2+2x-3=0,解得x=-3或x=1(舍去),当x0时,令-2+ln x=0,即ln x=2,解得x=e2.答案:-3,e2角度3函数零点、方程的根所在区间的判断【典例3】方程log3x+x=3的根所在的区间为()A.(0,2)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)【解析】选C.令f(x)=log3x+x-3,则f(x)在(0,+)上是连续的,且是单调递增的,f(2)=log32+2-3=log30,所以方程log3x+x=3的解所在的区间为(2,3).【类题通】函数零点存在定理的应用(1)函数的零点、方程的根所在区间判断的依据是零点存在定理,即在区间(a,b)上是否有f(a)f(b)1,x0时,y-;当0a0,f(2)=3-1=20,f(4)=-log24=-2=-0且a1,函数y=,y=logax,y=x+a在同一坐标系中的图象可能是()【解析】选B.当a1时,那么01,y=是减函数,y=logax是增函数.y=x+a与y轴的交点大于1,此时没有图象满足;当0a1,y=是增函数,y=logax是减函数.y=x+a与y轴的交点在0与1之间,此时图象B满足.【类题通】函数图象的画法画法应用范围画法技巧基本函数法基本初等函数利用一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的有关知识,画出特殊点(线),直接根据函数的图象特征作出图象变换法与基本初等函数有关联的函数弄清所给函数与基本初等函数的关系,恰当选择平移、对称等变换方法,由基本初等函数图象变换得到函数图象描点法未知函数或较复杂的函数列表、描点、连线角度2数形结合思想的应用【典例5】已知f(x)=g(x)=f(x)+x+m,若g(x)存在两个零点,则m的取值范围是()A.-1,+)B.-1,0)C.0,+)D.1,+)【解析】选A.g(x)=f(x)+x+m,若g(x)存在两个零点,可得g(x)=0,即f(x)=-x-m有两个不等实根,即有函数y=f(x)和直线y=-x-m有两个交点,作出y=f(x)的图象和直线y=-x-m,当-m1,即m-1时,y=f(x)和y=-x-m有两个交点.【延伸探究】本题若改为方程f(x)+x+m=0有唯一的根,试求m的范围.【解析】方程f(x)+x+m=0有唯一的根,即方程f(x)=-x-m有唯一的根,令g(x)=-x-m,作出函数f(x),g(x)的图象如图,当-m1,m-1时,两函数的图象有唯一的交点,故当m-1时,方程f(x)+x+m=0有唯一的根.【类题通】数形结合巧解与函数零点和方程的解有关的问题(1)依据:方程f(x)=0的实根、函数f(x)的零点和函数f(x)与x轴交点的横坐标可实现相互转化.(2)题型:确定零点或方程的根所在区间构建函数模型,先由图象分析出零点或方程的根的大致范围,再由零点存在性定理,求出精确范围.确定零点或方程根的个数灵活构造函数(目标是所构造的函数图象容易画出),转化为函数图象交点个数问题.如本例中g(x)=f(x)+x+m有两个零点,转化为g(x)的图象与x轴有两个交点.此时g(x)的图象不易画出,于是转化为y=f(x)与y=-x-m的图象交点个数问题.【加练固】已知函数f(x)=|x-2|-|x|+m(mR).若方程f(x)=-x有三个不同的解,求实数m的取值范围.【解析】由函数f(x)=|x-2|-|x|+m(mR),方程f(x)=-x有三个不同的解,等价于g(x)=|x-2|-|x|的图象与直线y=-x-m有3个不相同的交点,如图:直线y=-x-m经过A(0,2)时,m=-2;当直线经过B(2,-2)时,m=0,于是由题意可得-2m0,实数m的取值范围为(-2,0).素养三逻辑推理角度1比较大小【典例6】设a=0.70.4,b=0.40.7,c=0.40.4,则a,b,c的大小关系为()A.bacB.acbC.bcaD.cba【解析】选C.因为函数y=0.4x在R上单调递减,所以0.40.70.40.4,即bc,因为y=x0.4在(0,+)上单调递增,所以0.40.40.70.4,即ca,所以bca=log371,b=21.12,c=0.83.11,所以cab0,0c1,则()A.logaclogbcB.logcalogcbC.accb【解析】选B.方法一:对于A,当a=3,b=2,c=时,loga c=log3=-log32-1,logbc=log2=-1,故logaclogbc.故A不成立.对于B,因为0cb0,所以logcabc,所以C不成立.对于D,因为0cb0,所以calog2,排除A;=2,排除C;,排除D.角度2基本初等函数的奇偶性、单调性【典例7】已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在(-,0)上单调递减,若a=f(log25),b=f(log24.1),c=f(20.8),则a,b,c的大小关系为()A.abcB.cbaC.bacD.cab【解析】选B.根据题意,函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在(-,0)上单调递减,则函数f(x)在区间(0,+)上单调递增,则020.821=2log24.1log25,则cb1B.m1C.m0 ,当 x 不超过4时,g(x) 的值恒为2;当4x20,g(x) 是 x 的一次函数,且当x达到20时,因养殖空间受限等原因,g(x)的值为0.(1)当 0x20 时,求函数 g(x) 的解析式.(2)在(1)的条件下,求函数 f(x)=xg(x)的最大值.【解析】(1)当4x20时,设g(x)=kx+b,由条件可知解得:所以g(x)=(2)f(x)=所以f(x)在(0,10上单调递增,在(10,20上单调递减,所以f(x)的最大值为f(10)=.【类题通】建模的三个原则(1)简化原则:建立模型,要对原型进行一定的简化,抓主要因素、主变量,尽量建立较低阶、较简便的模型.(2)可推演原则:建立的模型一定要有意义,既能对其进行理论分析,又能计算和推理,且能推演出正确结果.(3)反映性原则:建立的模型必须真实地反映原型的特征和关系,即应与原型具有“相似性”,所得模型的解应具有说明现实问题的功能,能回到具体研究对象中去解决问题.【加练固】通过实验数据可知,某液体的蒸发速度y(单位:升/小时)与液体所处环境的温度x(单位:)近似地满足函数关系y=ekx+b(e为自然对数的底数,k,b为常数).若该液体在0 的蒸发速度是0.1升/小时,在30 的蒸发速度为0.8升/小时,则该液体在20 的蒸发速度为_升/小时.【解析】根据题意得,当x=0时,y=0.1,即eb=0.1,当x=30时,y=0.8,即e30k+b=0.8,所以e30k=8,所以e10k=2,当x=20时,y=e20k+b=e20keb=(e10k)2eb=220.1=0.4,即液体在20 的蒸发速度是0.4升/小时.答案:0.410