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10.3 频率与概率
[A 基础达标]
1．给出下列三个说法，其中正确说法的个数是( )
①设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品；
②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，出现正面的概率是；
③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选A.①概率指的是可能性，错误；②频率为，而不是概率，故错误；③频率不是概率，错误．
2．在进行n次重复试验中，事件A发生的频率为，当n很大时，事件A发生的概率P(A)与的关系是( )
A．P(A)≈ B．P(A)<
C．P(A)> D．P(A)＝
解析：选A.对于给定的随机事件A，事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)．即P(A)≈.
3．每道选择题有四个选项，其中只有一个选项是正确的．某次数学考试共有12道选择题，有位同学说：“每个选项正确的概率是，我每道题都选择第一个选项，则一定有3道题选择结果正确．”该同学的说法( )
A．正确 B．错误
C．无法解释 D．以上均不正确
解析：选B.解每一道选择题都可看成一次试验，每次试验的结果都是随机的，经过大量的试验其结果呈现出一定的规律，即随机选取一个选项选择正确的概率是.12道选择题做对3道题的可能性比较大，但并不能保证一定做对3道题，也有可能都选错，因此该同学的说法错误．
4．数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米2 018石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得270粒内夹谷30粒，则这批米内夹谷约为( )
A．222石 B．224石
C．230石 D．232石
解析：选B.由题意，抽样取米一把，数得270粒米内夹谷30粒，即夹谷占有的概率为＝，所以2 018石米中夹谷约为2 018×≈224(石)．故选B.
5．假定某运动员每次投掷飞镖正中靶心的概率为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中靶心，5，6，7，8，9，0表示未命中靶心；再以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
93 28 12 45 85 69 68 34 31 25
73 93 02 75 56 48 87 30 11 35
据此估计，该运动员两次掷镖恰有一次正中靶心的概率为( )
A．0.50 B．0.45
C．0.40 D．0.35
解析：选A.两次掷镖恰有一次正中靶心表示随机数中有且只有一个数为1，2，3，4中的之一．它们分别是93，28，45，25，73，93，02，48，30，35共10个，因此所求的概率为＝0.50.
6．将一枚质地均匀的硬币连掷两次，则至少出现一次正面向上与两次均出现反面向上的概率比为________．
解析：将一枚质地均匀的硬币连掷两次有以下情形：
(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)．
至少出现一次正面向上有3种情形，两次均出现反面向上有1种情形，故答案为3∶1.
答案：3∶1
7．商场在一周内共卖出某种品牌的皮鞋300双，商场经理为考察其中各种尺码皮鞋的销售情况，以这周内某天售出的40双皮鞋的尺码为一个样本，分为5组，已知第3组的频率为0.25，第1，2，4组的频数分别为6，7，9，若第5组表示的是尺码为40～42的皮鞋，则售出的这300双皮鞋中尺码为40～42的皮鞋约为________双．
解析：因为第1，2，4组的频数分别为6，7，9，所以第1，2，4组的频率分别为＝0.15，＝0.175，＝0.225.因为第3组的频率为0.25，所以第5组的频率是1－0.25－0.15－0.175－0.225＝0.2，所以售出的这300双皮鞋中尺码为40～42的皮鞋约为0.2×300＝60(双)．
答案：60
8．某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获收益12%；一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是去年200例类似项目开发的实施结果．
投资成功
投资失败
192次
8次
则该公司一年后估计可获收益的平均数是________元．
解析：应先求出投资成功与失败的概率，再计算收益的平均数，设可获收益为x万元，如果成功，x的取值为5×12%，如果失败，x的取值为－5×50%，一年后公司成功的概率估计为＝，失败的概率估计为＝，所以一年后公司收益的平均数＝(5×12%×－5×50%×)×10 000＝4 760(元)．
答案：4 760
9．随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：
日期
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
天气
晴
雨
阴
阴
阴
雨
阴
晴
晴
晴
阴
晴
晴
晴
晴
日期
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
天气
晴
阴
雨
阴
阴
晴
阴
晴
晴
晴
阴
晴
晴
晴
雨
(1)在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；
(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．
解：(1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，得在4月份任取一天，西安市在该天不下雨的概率约为.
(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如1日与2日，2日与3日等)．这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为.以频率估计概率，得运动会期间不下雨的概率约为.
10．有人对甲、乙两名网球运动员训练中一发成功次数做了统计，结果如下表：
一发次数n
10
20
50
100
200
500
甲一发成
功次数
9
17
44
92
179
450
一发成功
的频率
一发次数n
10
20
50
100
200
500
乙一发成
功次数
8
19
44
93
177
453
一发成功
的频率
请根据以上表格中的数据回答以下问题：
(1)分别计算出两位运动员一发成功的频率，完成表格；
(2)根据(1)中计算的结果估计两位运动员一发成功的概率．
解：(1)
一发次数n
10
20
50
100
200
500
甲一发成
功次数
9
17
44
92
179
450
一发成功
的频率
0.9
0.85
0.88
0.92
0.895
0.9
一发次数n
10
20
50
100
200
500
乙一发成
功次数
8
19
44
93
177
453
一发成功
的频率
0.8
0.95
0.88
0.93
0.885
0.906
(2)由第一问中的数据可知，随着一发次数的增多，两位运动员一发成功的频率都越来越集中在0.9附近，所以估计两人一发成功的概率均为0.9.
[B 能力提升]
11．下面有三种游戏规则：袋子中分别装有大小相同的球，从袋中取球．
游戏1
游戏2
游戏3
3个黑球和1个白球
1个黑球和1个白球
2个黑球和2个白球
取1个球，再取1个球
取1个球
取1个球，再取1个球
取出的两个球同色→甲胜
取出的球是黑球→甲胜
取出的两个球同色→甲胜
取出的两个球不同色→乙胜
取出的球是白球→乙胜
取出的两个球不同色→乙胜
问其中不公平的游戏是( )
A．游戏1 B．游戏1和游戏3
C．游戏2 D．游戏3
解析：选D.游戏1中，取2个球的所有可能情况为(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2，黑3)，(黑1，白)，(黑2，白)，(黑3，白)．所以甲胜的可能性为0.5，故游戏是公平的；游戏2中，显然甲胜的可能性为0.5，游戏是公平的；游戏3中，取2个球的所有可能情况为(黑1，黑2)，(黑1，白1)，(黑2，白1)，(黑1，白2)，(黑2，白2)，(白1，白2)．所以甲胜的可能性为，游戏是不公平的．
12．某种心脏病手术，成功率为0.6，现准备进行3例此种手术，利用计算机取整数值随机数模拟，用0，1，2，3代表手术不成功，用4，5，6，7，8，9代表手术成功，产生20组随机数：966，907，191，924，270，832，912，468，578，582，134，370，113，573，998，397，027，488，703，725，则恰好成功1例的概率为________．
解析：设恰好成功1例的事件为A，A所包含的基本事件为191，270，832，912，134，370，027，703共8个．
则恰好成功1例的概率为P(A)＝＝0.4.
答案：0.4
13．某汽车站每天均有3辆开往省城的分为上、中、下等级的客车，某天袁先生准备在该汽车站乘车前往省城办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序．为了尽可能乘上上等车，他采取如下策略：先放过一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆，则他乘上上等车的概率为________．
解析：共有6种发车顺序：①上、中、下；②上、下、中；③中、上、下；④中、下、上；⑤下、中、上；⑥下、上、中(其中画横线的表示袁先生所乘的车)，所以他乘坐上等车的概率为＝.
答案：
14．某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准为每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元(不足1小时的部分按1小时计算)，现有甲、乙二人在该商区临时停车，两人停车都不超过4小时．
(1)若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为，停车付费多于14元的概率为，求甲停车付费恰为6元的概率；
(2)若每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙二人停车付费之和为36元的概率．
解：(1)设“甲临时停车付费恰为6元”为事件A，
则P(A)＝1－＝.
所以甲临时停车付费恰为6元的概率是.
(2)设甲停车付费a元，乙停车付费b元，其中a，b＝6，14，22，30.
则甲、乙二人的停车费用共16种等可能的结果：
(6，6)，(6，14)，(6，22)，(6，30)，(14，6)，(14，14)，(14，22)，(14，30)，(22，6)，(22，14)，(22，22)，(22，30)，(30，6)，(30，14)，(30，22)，(30，30)，其中(6，30)，(14，22)，(22，14)，(30，6)4种情形符合题意．
所以“甲、乙二人停车付费之和为36元”的概率为P＝＝.
[C 拓展探索]
15．某活动小组为了估计装有5个白球和若干个红球(每个球除颜色外都相同)的袋中红球接近多少个，在不将袋中的球倒出来的情况下，分小组进行摸球试验，两人一组，共20组进行摸球试验．其中一位学生摸球，另一位学生记录所摸球的颜色，并将球放回袋中摇匀，每一组做400次试验，汇总起来后，摸到红球次数为6 000次．
(1)估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率；
(2)请你估计袋中红球的个数．
解：(1)因为20×400＝8 000，
所以摸到红球的频率为＝0.75，
因为试验次数很大，大量试验时，频率接近于理论概率，所以估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是0.75.
(2)设袋中红球有x个，根据题意得：
＝0.75，解得x＝15，经检验x＝15是原方程的解．所以估计袋中红球有15个．
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