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第三课
考点突破·素养提升
素养一 数学运算
角度1 求定义域、值域
【典例1】(1)已知函数f(x)的定义域为[0,1],则函数f(2x-1)的定义域为( )
A.[-1,1] B.
C.[0,1] D.
(2)函数f(x)=+的定义域为________.
(3)求函数y=2x-3-的值域.
【解析】(1)选B.f(x)的定义域为[0,1],
所以f(2x-1)需满足0≤2x-1≤1,所以≤x≤1,
所以f(2x-1)的定义域为.
(2)要使函数有意义,需满足:
即解得:-3≤x<且x≠-,
所以函数的定义域为x-3≤x<且x≠-.
答案:x-3≤x<且x≠-
(3)由13-4x≥0,解得x≤,函数y=2x-3为实数集上的增函数,y=-为上的增函数,所以y=2x-3-在上为增函数,则ymax=2×-3-=,
所以y=2x-3-的值域为.
【类题·通】
关于函数定义域、值域的求法
(1)定义域:关注解析式中的根号、分母、零次幂有意义;抽象函数的定义域一般用代入法求解.
(2)值域:首先考查函数类型,再确定函数在定义域上的单调性,最后计算最值.解题过程中要灵活应用换元法、配方法等方法,含字母的要分情况讨论.
【加练·固】
求下列函数的值域:
(1)y=3x2-x+2,x∈[1,3].
(2)已知函数y=x2+1(x∈[a,2]),求该函数的值域.
【解析】(1)(配方法)
因为y=3x2-x+2=3+,
所以函数y=3x2-x+2在[1,3]上单调递增,
所以当x=1时,函数取得最小值4;
当x=3时,函数取得最大值26.
所以函数y=3x2-x+2,x∈[1,3]的值域为[4,26].
(2)函数y=x2+1,x∈[a,2],其对称轴为x=0.
当0<a<2时,可得f(x)的最小值为f(a)=a2+1,最大值为5,其值域为[a2+1,5].
当-2<a≤0时,可得f(x)的最小值为f(0)=1,最大值为5,其值域为[1,5].
当a≤-2时,可得f(x)的最小值为f(0)=1,最大值为f(a)=a2+1,其值域为[1,a2+1].
角度2 求解析式
【典例2】(1)已知函数f(2x+1)=4x2,则f(-3)= ( )
A.36 B.16 C.4 D.2
(2)已知幂函数f(x)的图象过点(,3),函数g(x)是偶函数且当x∈[0,+∞)时,g(x)=.求f(x),g(x)的解析式.
【解析】(1)选B.方法一:函数f(2x+1)=4x2,令2x+1=-3,解得x=-2,所以f(-3)=4×(-2)2=16.
方法二:设2x+1=t,则x=,
所以f(t)=4×=(t-1)2,
所以f(-3)=(-3-1)2=16.
(2)设f(x)=xα,因为其图象过点(,3),
故3=()α,即()3=()α,
所以α=3,故f(x)=x3.
令x∈(-∞,0),则-x∈(0,+∞),
所以g(-x)=.
因为g(x)是偶函数,故g(-x)=g(x),
所以g(x)=,x∈(-∞,0),
所以g(x)=
故g(x)=,x∈R.
【类题·通】
求函数解析式的题型与相应的解法
(1)已知形如f(g(x))的解析式求f(x)的解析式,使用换元法或配凑法.
(2)已知函数的类型(往往是一次函数、二次函数或幂函数),使用待定系数法.
(3)含f(x)与f(-x)或f(x)与f,使用解方程组法.
(4)已知一个区间的解析式,求另一个区间的解析式,可用奇偶性转移法.
【加练·固】
已知f(x)是对称轴为x=-的二次函数,且f(0)=-1,f(1)=3.
(1)求f(x)的解析式.
(2)求f(x)在(-1,1)上的值域.
【解析】(1)由题意设f(x)=a+b,
因为f(0)=-1,f(1)=3.
所以所以
故f(x)的解析式为f(x)=2x2+2x-1.
(2)由(1)可知f(x)=2x2+2x-1,
当x∈(-1,1)时,
f(x)在上单调递减,在上单调递增,
f(x)的最小值为f且f=-,
f(-1)=-1,且f(1)=3,
所以f(x)在(-1,1)上的值域为.
素养二 直观想象
角度 函数的图象及其应用
【典例3】已知y=f(x)是奇函数,y=g(x)是偶函数,它们的定义域均为[-3,3],且它们在x∈[0,3]上的图象如图所示,则不等式<0的解集是________.
【解析】因为f(x)是奇函数,所以由图象知,
当0<x<2或-3<x<-2时,f(x)>0,
当-2<x<0或2<x<3时,f(x)<0,
因为g(x)是偶函数,
所以当1<x<3或-3<x<-1时,g(x)>0,
当-1<x<0或0<x<1时,g(x)<0,
则不等式<0等价于或
即或
得0<x<1或2<x<3或-2<x<-1,
即不等式<0的解集为{x|0<x<1或2<x<3或-2<x<-1}.
答案:{x|0<x<1或2<x<3或-2<x<-1}
【类题·通】
作函数图象的方法
(1)描点法——求定义域、化简、列表、描点、连线.
(2)变换法——熟知函数的图象的平移、对称、翻转.
①平移:y=f(x)y=f(x±h);
y=f(x)y=f(x)±k.(其中h>0,k>0).
②对称:y=f(x)y=f(-x);
y=f(x)y=-f(x);
y=f(x)y=-f(-x).
【加练·固】
已知函数y=f(x)是定义在区间[-3,3]上的偶函数,它在区间[0,3]上的图象是如图所示的一条线段,则不等式f(x)+f(-x)>x的解集为________.
【解析】由题意,函数f(x)过点(0,2),(3,0),
所以y=-x+2,x∈[0,3].又因为f(x)是偶函数,所以f(x)关于y轴对称,
所以f(x)=f(-x),所以2f(x)>x.
作出函数f(x)在[-3,3]上的图象如图所示,
当x∈[-3,0)时,y=2f(x)的图象在y=x的上方,
当x∈[0,3]时,令2f(x)=x,得x=,
所以满足2f(x)>x的x的范围为0≤x<,
当x∈时,2f(x)>x恒成立.
即当x∈时,满足2f(x)>x,
故f(x)+f(-x)>x的解集为.
答案:
素养三 逻辑推理
角度 函数的单调性与奇偶性
【典例4】已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x>0时,f(x)=x2-2x.
(1)求函数f(x)在R上的解析式.
(2)画出函数f(x)的图象,并根据图象写出f(x)的单调区间.
(3)若关于x的方程f(x)=2a+1有三个不同的解,求a的取值范围.
【解析】(1)①由于函数f(x)是定义域为R的奇函数,则f(0)=0.
②当x<0时,-x>0,因为f(x)是奇函数,
所以f(-x)=-f(x).
所以f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-2(-x)]
=-x2-2x.综上:f(x)=
(2)函数f(x)的图象如图所示:
单调增区间:(-∞,-1],[1,+∞),
单调减区间:(-1,1).
(3)因为方程f(x)=2a+1有三个不同的解,
所以-1<2a+1<1,所以-1<a<0.
【延伸·练】
本例中若关于x的方程f(x)=2a+1有一个解,求a的取值范围.
【解析】由函数的图象,
可知,若关于x的方程f(x)=2a+1有一个解,
则2a+1<-1或2a+1>1,解得a<-1或a>0.
【类题·通】
函数单调性与奇偶性应用的常见题型
(1)用定义判断或证明函数的单调性和奇偶性.
(2)利用函数的单调性和奇偶性求单调区间.
(3)利用函数的单调性和奇偶性比较大小,解不等式.
(4)利用函数的单调性和奇偶性求参数的取值范围.
【加练·固】
已知函数f(x)=x+.
(1)证明:函数f(x)=x+在x∈[2,+∞)上是单调递增的.
(2)求f(x)在[4,8]上的值域.
【解析】(1)设x1,x2为[2,+∞)上的任意两个实数,且x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=x1+-x2-
=x1-x2+-=(x1-x2),
因为x2>x1≥2,
所以x1-x2<0,1->0,
则f(x1)-f(x2)=(x1-x2)<0,
即f(x1)<f(x2),
所以函数f(x)=x+在x∈[2,+∞)上是单调递增的.
(2)因为函数f(x)=x+在x∈[2,+∞)上是单调递增的,所以f(x)在[4,8]上是单调递增的,
则f(x)min=f(4)=5,f(x)max=f(8)=8+=.
所以f(x)在[4,8]上的值域为.
素养四 数学建模
角度 函数的应用
【典例5】某商场经营一批进价是每件30元的商品,在市场试销中发现,该商品销售单价x(不低于进价,单位:元)与日销售量y(单位:件)之间有如下关系:
x
45
50
y
27
12
(1)确定y与x的一个一次函数关系式y=f(x)(注明函数定义域).
(2)若日销售利润为P元,根据(1)中的关系式写出P关于x的函数关系式,并指出当销售单价为多少元时,才能获得最大的日销售利润?
【解析】(1)因为f(x)是一次函数,设f(x)=ax+b,
由表格得方程组
解得
所以y=f(x)=-3x+162.又y≥0,所以30≤x≤54,
故所求函数关系式为y=-3x+162,x∈[30,54].
(2)由题意得,P=(x-30)y=(x-30)(162-3x)=-3x2+252x-4 860=-3(x-42)2+432,x∈[30,54].
当x=42时,最大的日销售利润为432元,即当销售单价为42元时,获得最大的日销售利润.
【类题·通】
解函数应用问题的步骤
(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型.
(2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型.
(3)求模:求解数学模型,得出数学结论.
(4)还原:将数学问题还原为实际问题的意义.
【加练·固】
共享单车是城市慢行系统的一种模式创新,对于解决民众出行“最后一公里”的问题特别见效,由于停取方便、租用价格低廉,各色共享单车受到人们的热捧.某自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车,已知生产新样式单车的固定成本为20 000元,每生产一件新样式单车需要增加投入100元.根据初步测算,自行车厂的总收益(单位:元)满足分段函数h(x),其中h(x)=
x是新样式单车的月产量(单位:件),利润=总收益-总成本.
(1)试将自行车厂的利润y元表示为月产量x的函数.
(2)当月产量为多少件时自行车厂的利润最大?最大利润是多少?
【解析】(1)依题设,总成本为20 000+100x,则y=
(2)当0<x≤400且x∈N时,y=-(x-300)2+25 000,
则当x=300时,ymax=25 000;
当x>400且x∈N时,y=60 000-100x是单调递减的,
则y<60 000-100×400=20 000,
所以,当月产量x=300件时,自行车厂的利润最大,最大利润为25 000元.
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