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课时素养评价 十六
复数的几何意义
(25分钟·40分)
一、选择题(每小题4分，共16分，多项选择题全选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
1.(多选题)设z=(2m2+2m-1)+(m2-2m+2)i(m∈R)，则下列结论中不正确的是( )
A.z在复平面内对应的点在第一象限
B.z一定不是纯虚数
C.z在复平面内对应的点在实轴上方
D.z一定是实数
【解析】选ABD.2m2+2m-1=2-，m2-2m+2=(m-1)2+1>0，则z在复平面内对应的点一定在实轴上方.A，B，D均不正确.
2.已知复数z1=2+i，z2=-i，则= ( )
A. B. C. D.5
【解析】选C.依题意|z1|==，
|z2|==1，所以=.
【加练·固】
已知复数z=a+i在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|=2，则复数z等于 ( )
A.-1+i B.1+i
C.-1+i或1+I D.-2+i
【解析】选A.因为z在复平面内对应的点位于第二象限，所以a<0.由|z|=2知，=2，解得a=±1，所以a=-1，所以z=-1+i.
3.(2019·潍坊高二检测)设复数z1=a+2i，z2=-2+i，且|z1|<|z2|，则实数a的取值范围是 ( )
A.a<-1或a>1 B.-1<a<1
C.a>1 D.a>0
【解析】选B.因为|z1|=，
|z2|==，
所以<，即a2+4<5，所以a2<1，
即-1<a<1.
4.已知复数z满足|z|2-3|z|+2=0，则复数z对应点的轨迹是 ( )
A.一个圆 B.两个圆
C.两点 D.线段
【解析】选B.由|z|2-3|z|+2=0，
得(|z|-1)·(|z|-2)=0，
所以|z|=1或|z|=2.
由复数模的几何意义知，z对应点的轨迹是两个圆.
【加练·固】
已知实数a，x，y满足a2+2a+2xy+(a+x-y)i=0，则点(x，y)的轨迹是
( )
A.直线
B.圆心在原点的圆
C.圆心不在原点的圆
D.椭圆
【解析】选C.因为a，x，y∈R，
所以a2+2a+2xy∈R，a+x-y∈R.
又a2+2a+2xy+(a+x-y)i=0，
所以
消去a得(y-x)2+2(y-x)+2xy=0，
即x2+y2-2x+2y=0，所以(x-1)2+(y+1)2=2，
该方程表示圆心为(1，-1)，半径为的圆.
二、填空题(每小题4分，共8分)
5.已知复数z=1-2mi(m∈R)，且|z|≤2，则实数m的取值范围是________ .
【解析】因为|z|=≤2，
解得-≤m≤.
答案：
6.(2019·徐州高二检测)若复数z1=3-5i，z2=1-i，z3=-2+ai在复平面内所对应的点在同一条直线上，则实数a=________.
【解析】设复数z1，z2，z3分别对应点P1(3，-5)，
P2(1，-1)，P3(-2，a)，
由已知可得=，从而可得a=5.
答案：5
三、解答题
7.(16分)(2019·洛阳高二检测)在复平面内，O是原点，向量对应的复数为2+i.
(1)如果点A关于实轴的对称点为点B，求向量对应的复数.
(2)如果(1)中的点B关于虚轴的对称点为点C，求点C对应的复数.
【解析】(1)设向量对应的复数为z1=x1+y1i(x1，y1∈R)，则点B的坐标为(x1，y1)，
由题意可知，点A的坐标为(2，1).
根据对称性可知：x1=2，y1=-1，故z1=2-i.
(2)设点C对应的复数为z2=x2+y2i(x2，y2∈R)，
则点C的坐标为(x2，y2)，
由对称性可知：x2=-2，y2=-1，故z2=-2-i.
【加练·固】
在复平面内画出复数z1=+i，z2=-1，z3=-i对应的向量，，，并求出各复数的模，同时判断各复数对应的点在复平面上的位置关系.
【解析】根据复数与复平面内的点一一对应，可知点Z1，Z2，Z3的坐标分别为，(-1，0)，，则向量，，如图所示.
|z1|==1，
|z2|=|-1|=1，
|z3|==1.
在复平面xOy内，点Z1，Z3关于实轴对称，且Z1，Z2，Z3三点在以原点为圆心，1为半径的圆上.
(15分钟·30分)
1.(4分)(2019·长沙高二检测)已知复数z1=2-ai(a∈R)在复平面内对应的点在直线x-3y+4=0上，则复数z2=a+2i在复平面内对应的点在 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【解析】选B.复数z1=2-ai对应的点为(2，-a)，它在直线x-3y+4=0上，故2+3a+4=0，解得a=-2，于是复数z2=-2+2i，它对应的点在第二象限.
2.(4分)已知复数z1=-2+3i的对应点为Z1，Z2与Z1关于x轴对称，Z3与Z2关于直线y=-x对称，则点Z3对应的复数为z3= ( )
A.3+2i B.3-2i
C.2+3i D.2-3i
【解析】选A.Z1(-2，3)，Z2(-2，-3)，Z3(3，2)，所以z3=3+2i.
3.(4分)(2019·南昌高二检测)若复数(-6+k2)-(k2-4)i(k∈R)在复平面内所对应的点位于第三象限，则k的取值范围是________.
【解析】因为复数在复平面内所对应的点位于第三象限，
所以所以2<k<或-<k<-2.
答案：2<k<或-<k<-2
4.(4分)若复数z对应的点在直线y=2x上，且|z|=，则复数z=________ .
【解析】依题意可设复数z=a+2ai(a∈R)，
由|z|=，得=，
解得a=±1，故z=1+2i或z=-1-2i.
答案：1+2i或-1-2i
5.(14分)实数m取什么值时，复平面内表示复数z=(m-3)+(m2-5m-14)i的点：
(1)位于第四象限.
(2)位于第一、三象限.
(3)位于直线y=x上.
【解析】(1)由题意得
得3<m<7，
此时复数z对应的点位于第四象限.
(2)由题意得
或
所以m>7或-2<m<3，
此时复数z对应的点位于第一、三象限.
(3)要使复数z对应的点在直线y=x上，只需m2-5m-14=m-3，所以m2-6m-11=0，所以m=3±2，
此时，复数z对应的点位于直线y=x上.
【加练·固】
在复平面内，若复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i(m∈R)的对应点在虚轴上和实轴负半轴上，分别求复数z.
【解析】若复数z的对应点在虚轴上，
则m2-m-2=0，
所以m=-1或m=2，所以z=6i或z=0.
若复数z的对应点在实轴负半轴上，
则所以m=1，所以z=-2.
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