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1.5.1 全称量词与存在量词
A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．下列命题：
①中国公民都有受教育的权利；②每一个中学生都要接受爱国主义教育；③有人既能写小说，也能搞发明创造；④任何一个数除0，都等于0.
其中全称量词命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 C
解析 ①②④都是全称量词命题，③是存在量词命题．
2．下列命题是存在量词命题的是( )
A．一次函数都是单调函数
B．对任意x∈R，x2＋x＋1<0
C．存在实数大于或者等于3
D．菱形的对角线互相垂直
答案 C
解析 选项A，B，D中的命题都是全称量词命题，选项C中的命题是存在量词命题．
3．“存在集合A，使∅A”，对这个命题，下面说法中正确的是( )
A．全称量词命题、真命题 B．全称量词命题、假命题
C．存在量词命题、真命题 D．存在量词命题、假命题
答案 C
解析 当A≠∅时，∅A，是存在量词命题，且为真命题．故选C.
4．下列是全称量词命题并且是真命题的是( )
A．∀x∈R，x2>0 B．∀x，y∈R，x2＋y2>0
C．∀x∈Q，x2∈Q D．∃x∈Z，x2>1
答案 C
解析 首先D项是存在量词命题，不符合要求；A项不是真命题，因为当x＝0时，x2＝0；B项也不是真命题，因为当x＝y＝0时，x2＋y2＝0；只有C项是真命题，同时也是全称量词命题．
5．已知a>0，则“x0满足关于x的方程ax＝b”的充要条件是( )
A．∃x∈R，ax2－bx≥ax－bx0
B．∃x∈R，ax2－bx≤ax－bx0
C．∀x∈R，ax2－bx≥ax－bx0
D．∀x∈R，ax2－bx≤ax－bx0
答案 C
解析 由于a>0，令函数y＝ax2－bx＝a2－，故此函数图象的开口向上，且当x＝时，取得y＝－，且y＝ax2－bx≥－，而x0满足关于x的方程ax＝b，那么x0＝，故∀x∈R，ax2－bx≥ax－bx0，故选C.
二、填空题
6．“任意一个不大于0的数的立方不大于0”用“∃”或“∀”符号表示为__________________________．
答案 ∀x≤0，x3≤0
解析 命题“任意一个不大于0的数的立方不大于0”，表示只要小于等于0的数，它的立方就小于等于0，用“∀”符号可以表示为∀x≤0，x3≤0.
7．下列命题：
①偶数都可以被2整除；②角平分线上的任一点到这个角的两边的距离相等；③空集是任何一个非空集合的真子集；④有的实数是无限不循环小数；⑤有的菱形是正方形；⑥存在三角形其内角和大于180°.既是全称量词命题又是真命题的是________，既是存在量词命题又是真命题的是________．(填上所有满足要求的序号)
答案 ①②③ ④⑤
解析 ①②③都是全称量词命题，且都为真命题，④⑤⑥都是存在量词命题，但只有④⑤是真命题．
8．已知命题p：存在x∈R，x2＋2x－a＝0.若p为真命题，则实数a的取值范围是________．
答案 a≥－1
解析 由题意可得a＝x2＋2x，又因为当x∈R时，x2＋2x＝x2＋2x＋1－1＝(x＋1)2－1≥－1，所以当p为真命题时，实数a的取值范围是a≥－1.
三、解答题
9．判断下列命题是不是全称量词命题或存在量词命题，并判断真假．
(1)存在x，使得x－2≤0；
(2)矩形的对角线互相垂直平分；
(3)三角形的两边之和大于第三边；
(4)有些素数是奇数．
解 (1)存在量词命题．如x＝2时，x－2＝0成立，所以是真命题．
(2)全称量词命题．因为邻边不相等的矩形的对角线不互相垂直，所以全称量词命题“矩形的对角线互相垂直平分”是假命题．
(3)全称量词命题．因为三角形的两边之和大于第三边，所以全称量词命题“三角形的两边之和大于第三边”是真命题．
(4)存在量词命题．因为3是素数，3也是奇数，所以存在量词命题“有些素数是奇数”是真命题．
10．用量词符号“∀”“∃”表述下列命题，并判断真假．
(1)一定有实数x能使2x2＋x＋2＝0成立；
(2)对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解；
(3)一定有整数x，y，使得3x－2y＝10成立；
(4)所有的有理数x都能使x2＋x＋1是有理数．
解 (1)∃x∈R,2x2＋x＋2＝0；假命题．
(2)∀a，b∈R，ax＋b＝0恰有一解；假命题．如当a＝0，b＝0时，该方程的解有无数个．
(3)∃x，y∈Z,3x－2y＝10；真命题．
(4)∀x∈Q，x2＋x＋1是有理数；真命题．
B级：“四能”提升训练
∃a∈R，关于x的不等式组
有且仅有三个整数解，且使关于y的分式方程＋＝1有整数解，则满足条件的所有a的值之和是( )
A．－10 B．－12
C．－16 D．－18
答案 B
解析
解①得x≥－3，解②得x≤，依题意，不等式组的解集是－3≤x≤.∵不等式组仅有三个整数解，∴－1≤＜0，解得－8≤a＜－3，又＋＝1有整数解，即3y－a－12＝y－2，∴y＝，∵y≠2，∴a≠－6，且y＝是整数，∴a＝－8或－4，∴满足条件的所有a的值之和是－8－4＝－12，故选B.
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