资源描述
1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定
A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．命题“∀x≥0，x3＋x≥0”的否定是( )
A．∀x<0，x3＋x<0 B．∀x<0，x3＋x≥0
C．∃x≥0，x3＋x<0 D．∃x≥0，x3＋x≥0
答案 C
解析 由全称量词命题的否定是存在量词命题可知A，B错误；因为对x3＋x≥0的否定为x3＋x<0，所以D错误，C正确．
2．命题“有些三角形是等腰三角形”的否定是( )
A．有些三角形不是等腰三角形
B．所有三角形是等边三角形
C．所有三角形都不是等腰三角形
D．所有三角形都是等腰三角形
答案 C
解析 存在量词命题的否定为全称量词命题，注意否定结论．故选C.
3．命题“∃n∈N，n2＞2n”的否定是( )
A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n
C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n
答案 C
解析 因为存在量词命题的否定是全称量词命题，注意否定结论，所以∀n∈N，n2≤2n，故选C.
4．命题“∃m∈R，方程x2＋mx＋1＝0有实数根”的否定是( )
A．∃m∈R，方程x2＋mx＋1＝0无实数根
B．不存在实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根
C．∀m∈R，方程x2＋mx＋1＝0无实数根
D．至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根
答案 C
解析 存在量词命题的否定是全称量词命题，一方面要改量词即“∃”改为“∀”；另一方面要否定结论即“有实数根”改为“无实数根”．故选C.
5．已知命题p：∀x∈R，x2＋x＋a≠0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是( )
A．a≤ B．a<
C．a<－或a>0 D．a≤－或a≥0
答案 A
解析 ∵p是假命题，∴命题p的否定，即∃x∈R，x2＋x＋a＝0是真命题．∴Δ＝1－4a≥0，∴a≤.
二、填空题
6．命题p：∃x∈R，x2＋3x＋2<0，则命题p的否定为________．
答案 ∀x∈R，x2＋3x＋2≥0
解析 命题p是存在量词命题，根据存在量词命题的否定是改量词，否结论，则是∀x∈R，x2＋3x＋2≥0.
7．命题“存在一个三角形没有外接圆”的否定是________．
答案 任意一个三角形都有外接圆
解析 该命题是存在量词命题，根据存在量词命题的否定是改量词，否结论，则是“任意一个三角形都有外接圆”．
8．若命题“∀x∈R,2x2＋3x＋a≠0”是假命题，则实数a的取值范围是________．
答案 a≤
解析 因为命题“∀x∈R,2x2＋3x＋a≠0”是假命题，所以其否定“∃x∈R,2x2＋3x＋a＝0”是真命题，所以Δ＝32－4×2×a≥0，解得a≤.故实数a的取值范围是a≤.
三、解答题
9．写出下列命题的否定，并判断它们的真假：
(1)关于x的方程ax＝b都有实数根；
(2)有些正整数没有1和它本身以外的约数；
(3)对任意实数x1，x2，若x1<x2，则x＋1<x＋1；
(4)∃x>1，x2－2x－3＝0.
解 (1)这个命题的否定为“有些关于x的方程ax＝b无实数根”，如当a＝0，b＝1时，方程ax＝b无实数根，所以这个命题为假命题，这个命题的否定为真命题．
(2)这个命题的否定为“任意正整数都有1和它本身以外的约数”，如2只有1和它本身这两个约数，所以这个命题为真命题，这个命题的否定为假命题．
(3)这个命题的否定为“存在实数x1，x2，若x1<x2，则x＋1≥x＋1”．这个命题中若x1＝－1，x2＝1，有x＋1＝x＋1，故这个命题为假命题，这个命题的否定为真命题．
(4)这个命题的否定为“∀x>1，x2－2x－3≠0”，因为当x＝3时，x2－2x－3＝0，所以这个命题是真命题，这个命题的否定为假命题．
10．已知命题“∀x∈R，ax2＋2x＋1≠0”为假命题，求实数a的取值范围．
解 题中的命题为全称量词命题，因为其是假命题，所以其否定“∃x∈R，使ax2＋2x＋1＝0”为真命题，即关于x的方程ax2＋2x＋1＝0有实数根．
所以a＝0或即a＝0或a≤1且a≠0，所以a≤1.
所以实数a的取值范围是a≤1.
B级：“四能”提升训练
1．a，b，c为实数，且a＝b＋c＋1，证明：两个一元二次方程x2＋x＋b＝0，x2＋ax＋c＝0中至少有一个方程有两个不相等的实数根．
证明 要证明结论的否定：两个方程都没有两个不相等的实数根，则有：
Δ1＝1－4b≤0，Δ2＝a2－4c≤0.
所以Δ1＋Δ2＝1－4b＋a2－4c≤0.
因为a＝b＋c＋1，所以b＋c＝a－1.
所以1－4(a－1)＋a2≤0，即a2－4a＋5≤0.
但是a2－4a＋5＝(a－2)2＋1>0，故矛盾．
所以要证明结论的否定是假命题，要证明的结论为真命题，即两个一元二次方程x2＋x＋b＝0，x2＋ax＋c＝0中至少有一个方程有两个不相等的实数根．
2．已知命题p：∀x∈R,2x≠－x2＋m，命题q：∃x∈R，x2＋2x－m－1＝0，若命题p为假命题，命题q为真命题，求实数m的取值范围．
解 因为命题p为假命题，所以命题p的否定为真命题，即命题“∃x∈R,2x＝－x2＋m”为真命题．
则－x2－2x＋m＝0有实根．
所以Δ＝4＋4m≥0，所以m≥－1.
若命题q：∃x∈R，x2＋2x－m－1＝0为真命题，
则方程x2＋2x－m－1＝0有实根，
所以Δ＝4＋4(m＋1)≥0，所以m≥－2.
所以m≥－1且m≥－2，
所以m的取值范围为m≥－1.
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