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第五课
考点突破·素养提升
素养一 数学运算
角度1 任意角、弧度制与三角函数的定义
【典例1】(1)已知α∈(π,2π)且5α与α终边相同,则α= ( )
A.π B.π C.π D.π
(2)α是第四象限角,P(,x)为其终边上一点,且sin α=x,则cos α的值为
( )
A. B. C. D.-
【解析】(1)选C.因为5α与α终边相同,
所以5α=α+k·2π,k∈Z,
所以4α=k·2π,k∈Z,α=k·,k∈Z.
(2)选A.由定义可得sin α==x,x<0,
解得x=-,所以cos α==.
【类题·通】
1.终边相同角的问题
(1)灵活应用角度制或弧度制表示角.
(2)注意同一表达式中角度与弧度不能混用.
2.已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法:
(1)先利用直线与单位圆相交,求出交点坐标,然后再利用正、余弦函数的定义求出相应的三角函数值.
(2)在α的终边上任选一点P(x,y),设P到原点的距离为r(r>0),则sin α=,
cos α=.当已知α的终边上一点求α的三角函数值时,用该方法更方便.
【加练·固】
1.在-360°～360°的范围内,与-510°终边相同的角是 ( )
A.330° B.210° C.-150° D.30°
【解析】选B、C.因为-510°=-360°×2+210°,-510°=-360°-150°,
因此与-510°终边相同的角是210°,-150°.
2.已知一扇形的圆心角是α,所在圆的半径是R.
(1)若α=60°,R=10 cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积.
(2)若扇形的周长是30,当α为多少弧度时,该扇形有最大面积?
【解析】(1)设弧长为l,弓形面积为S弓,
因为α=60°=,R=10(cm),
所以l=αR=(cm).
S弓=S扇-S△=××10-2××10×
sin ×10×cos =50(cm2).
(2)因为l+2R=30,所以l=30-2R,
从而S=·l·R=(30-2R)·R=-R2+15R=-+,所以当半径R= cm时,
l=30-2×=15(cm),扇形面积的最大值是 cm2,这时α==2(rad).所以当扇形的圆心角为2 rad,半径为 cm时,面积最大,为 cm2.
角度2 同角三角函数的基本关系与诱导公式
【典例2】(1)已知sin α=,≤α≤π则tan α=________.
(2)已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P,则sin(α+π)=________.
【解析】(1)由sin α=,且sin2α+cos2α=1得cos α=±,因为≤α≤π,可得cos α=-,所以tan α==-2.
答案:-2
(2)由角α的终边过点P,得sin α=-,
所以sin(α+π)=-sin α=.
答案:
【类题·通】
1.已知某角的弦函数值求其他三角函数值时,先利用平方关系求另一弦函数值,再求切函数值,需要注意的是利用平方关系时,若没有角度的限制,要注意分类讨论.
2.已知角终边上的点求角的三角函数值时,先根据条件求出定点到原点的距离,再根据三角函数的定义求三角函数值;利用诱导公式化简三角函数时,关键注意两点:函数名和函数的符号.
【加练·固】
1.化简得 ( )
A.sin 2+cos 2 B.cos 2-sin 2
C.sin 2-cos 2 D.±cos 2-sin 2
【解析】选C.
==,
因为<2<π,所以sin 2-cos 2>0,
所以原式=sin 2-cos 2.
2.已知=-1,求下列各式的值:
(1).(2)sin2α+sin αcos α+2.
【解析】由=-1,得tan α=.
(1)===-.
(2)sin2α+sin αcos α+2=sin2α+sin αcos α+2(cos2α+sin2α)
==
==.
素养二 逻辑推理
角度1 任意角、弧度制与三角函数的定义
【典例3】(1)如图,△ABC是正三角形,曲线CDEF叫做正三角形的渐开线,其中弧、弧、弧的圆心依次是A,B,C,如果AB=1,那么曲线CDEF的长是________,曲线CDEF围成图形的面积是________.
(2)若-<α<0,则点P(tan α,cos α)位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【解析】(1)因为∠DAC=∠DBE=∠ECF=120°=,
所以弧的长是×1=,S扇形ACD=××1=,弧的长是×2=,
S扇形BDE=××2=,
弧的长是×3=2π,
S扇形CEF=×2π×3=3π,
则曲线CDEF的长是++2π=4π;面积为:++3π=π.
答案:4π π
(2)选B.因为-<α<0,所以tan α<0,cos α>0,
所以点P(tan α,cos α)位于第二象限.
【类题·通】
1.涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算,关键是先分析题目已知哪些量、求哪些量,然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程组求解.
2.角的三角函数值的符号由角的终边所在位置确定,解题的关键是准确确定角的终边所在的象限,同时牢记各三角函数值在各象限的符号,记忆口诀:一全正,二正弦,三正切,四余弦.
【加练·固】
1.如果点P(sin θ·cos θ,2cos θ)位于第三象限,则角θ位于第________象限.
【解析】因为点P(sin θ·cos θ,2cos θ)位于第三象限,所以sin θ·cos θ<0,2cos θ<0,即所以角θ在第二象限.
答案:二
2.已知☉O的一条弧的长等于该圆内接正三角形的边长,则从OA顺时针旋转到OE所形成的角α的弧度数是________.
【解析】设☉O的半径为r,其内接正三角形为△ABC.如图所示,
D为AB边中点,AO=r,∠OAD=30°,
AD=r·cos 30°=r,所以边长AB=2AD=r,
所以的弧长l=AB=r.
又因为α是负角,所以α=-=-=-.
答案:-
角度2 同角三角函数的基本关系与诱导公式
【典例4】(1)化简+,θ∈.
(2)求证:=-tan α.
【解析】(1)因为θ∈,所以原式=
+
=+
=+==.
(2)左边=
=
===-
=-tan α=右边,即原等式成立.
【类题·通】
利用同角三角函数化简时的注意点
(1)同角三角函数的关系式的前提是“同角”,因此sin2α+cos2β≠1,tan α≠.
(2)利用平方关系时,往往要开方,因此要先根据角所在象限确定符号,即要就角所在象限进行分类讨论.
【加练·固】
1.求证:
(1)=1.
(2)=.
【证明】(1)左边=
==1=右边.
所以原等式成立.
(2)方法一:因为右边=
=
=
===左边,
所以原等式成立.
方法二:因为左边==,右边===
==,
所以左边=右边,原等式成立.
2.已知=2.
(1)求tan α.
(2)求cos·cos(-π+α)的值.
【解析】(1)由=2,得=2,
解得tan α=3.
(2)cos·cos(-π+α)=sin α·(-cos α)
====-.
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