2019_2020学年新教材高中数学第五课考点突破素养提升新人教A版必修第一册.doc

第五课考点突破素养提升素养一数学运算角度1任意角、弧度制与三角函数的定义【典例1】(1)已知(,2)且5与终边相同,则=()A.B.C.D.(2)是第四象限角,P(,x)为其终边上一点,且sin =x,则cos 的值为()A.B.C.D.-【解析】(1)选C.因为5与终边相同,所以5=+k2,kZ,所以4=k2,kZ,=k,kZ.(2)选A.由定义可得sin =x,x0),则sin =,cos =.当已知的终边上一点求的三角函数值时,用该方法更方便.【加练固】1.在-360360的范围内,与-510终边相同的角是()A.330B.210C.-150D.30【解析】选B、C.因为-510=-3602+210,-510=-360-150,因此与-510终边相同的角是210,-150.2.已知一扇形的圆心角是,所在圆的半径是R.(1)若=60,R=10 cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积.(2)若扇形的周长是30,当为多少弧度时,该扇形有最大面积?【解析】(1)设弧长为l,弓形面积为S弓,因为=60=,R=10(cm),所以l=R=(cm).S弓=S扇-S=10-210sin 10cos =50(cm2).(2)因为l+2R=30,所以l=30-2R,从而S=lR=(30-2R)R=-R2+15R=-+,所以当半径R= cm时,l=30-2=15(cm),扇形面积的最大值是 cm2,这时=2(rad).所以当扇形的圆心角为2 rad,半径为 cm时,面积最大,为 cm2.角度2同角三角函数的基本关系与诱导公式【典例2】(1)已知sin =,则tan =_.(2)已知角的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P,则sin(+)=_.【解析】(1)由sin =,且sin2+cos2=1得cos =,因为,可得cos =-,所以tan =-2.答案:-2(2)由角的终边过点P,得sin =-,所以sin(+)=-sin =.答案:【类题通】1.已知某角的弦函数值求其他三角函数值时,先利用平方关系求另一弦函数值,再求切函数值,需要注意的是利用平方关系时,若没有角度的限制,要注意分类讨论.2.已知角终边上的点求角的三角函数值时,先根据条件求出定点到原点的距离,再根据三角函数的定义求三角函数值;利用诱导公式化简三角函数时,关键注意两点:函数名和函数的符号.【加练固】1.化简得()A.sin 2+cos 2B.cos 2-sin 2C.sin 2-cos 2D.cos 2-sin 2【解析】选C.=,因为20,所以原式=sin 2-cos 2.2.已知=-1,求下列各式的值:(1).(2)sin2+sin cos +2.【解析】由=-1,得tan =.(1)=-.(2)sin2+sin cos +2=sin2+sin cos +2(cos2+sin2)=.素养二逻辑推理角度1任意角、弧度制与三角函数的定义【典例3】(1)如图,ABC是正三角形,曲线CDEF叫做正三角形的渐开线,其中弧、弧、弧的圆心依次是A,B,C,如果AB=1,那么曲线CDEF的长是_,曲线CDEF围成图形的面积是_.(2)若-0,则点P(tan ,cos )位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】(1)因为DAC=DBE=ECF=120=,所以弧的长是1=,S扇形ACD=1=,弧的长是2=,S扇形BDE=2=,弧的长是3=2,S扇形CEF=23=3,则曲线CDEF的长是+2=4;面积为:+3=.答案:4(2)选B.因为-0,所以tan 0,所以点P(tan ,cos )位于第二象限.【类题通】1.涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算,关键是先分析题目已知哪些量、求哪些量,然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程组求解.2.角的三角函数值的符号由角的终边所在位置确定,解题的关键是准确确定角的终边所在的象限,同时牢记各三角函数值在各象限的符号,记忆口诀:一全正,二正弦,三正切,四余弦.【加练固】1.如果点P(sin cos ,2cos )位于第三象限,则角位于第_象限. 【解析】因为点P(sin cos ,2cos )位于第三象限,所以sin cos 0,2cos 0,即所以角在第二象限.答案:二2.已知O的一条弧的长等于该圆内接正三角形的边长,则从OA顺时针旋转到OE所形成的角的弧度数是_.【解析】设O的半径为r,其内接正三角形为ABC.如图所示,D为AB边中点,AO=r,OAD=30,AD=rcos 30=r,所以边长AB=2AD=r,所以的弧长l=AB=r.又因为是负角,所以=-=-=-.答案:-角度2同角三角函数的基本关系与诱导公式【典例4】(1)化简+,.(2)求证:=-tan .【解析】(1)因为,所以原式=+=+=+=.(2)左边=-=-tan =右边,即原等式成立.【类题通】利用同角三角函数化简时的注意点(1)同角三角函数的关系式的前提是“同角”,因此sin2+cos21,tan .(2)利用平方关系时,往往要开方,因此要先根据角所在象限确定符号,即要就角所在象限进行分类讨论.【加练固】1.求证:(1)=1.(2)=.【证明】(1)左边=1=右边.所以原等式成立.(2)方法一:因为右边=左边,所以原等式成立.方法二:因为左边=,右边=,所以左边=右边,原等式成立.2.已知=2.(1)求tan .(2)求coscos(-+)的值.【解析】(1)由=2,得=2,解得tan =3.(2)coscos(-+)=sin (-cos )=-.9