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第一课
考点突破·素养提升
素养一 数学抽象
角度 集合的基本概念
【典例1】已知集合={a2,a+3b,0},则2|a|+b=________.
【解析】因为集合={a2,a+3b,0},所以b=0,a2=4,解得a=±2,
当a=-2,b=0时,{-2,0,4}={4,-2,0},成立,
此时2|a|+b=4.
当a=2,b=0时,{2,0,4}={4,2,0},成立,
此时2|a|+b=4.
答案:4
【典例2】已知A={a+2,(a+1)2,a2+3a+3},若1∈A,求实数a的值.
【解析】由题设条件可知:1∈A,若a+2=1,即a=-1时,(a+1)2=0,a2+3a+3=1=a+2,
不满足集合中元素的互异性,舍去;
若(a+1)2=1,即a=0或a=-2,
当a=0时,a+2=2,(a+1)2=1,a2+3a+3=3,
满足条件;
当a=-2时,a+2=0,(a+1)2=1,a2+3a+3=1,
不满足集合中元素的互异性,舍去;
若a2+3a+3=1,即a=-1或a=-2,均不满足条件,
理由同上.综上可知,实数a的值只能是a=0.
【素养·探】
将本例条件改为“集合A={2,4,x2-5x+9},B={3,x2+ax+a},2∈B,B⊆A”,求实数a,x的值.
【解析】因为a,x∈R,集合A={2,4,x2-5x+9},
B={3,x2+ax+a},2∈B,B⊆A,所以
解得x=2,a=-或x=3,a=-,
经检验x=2,a=-或x=3,a=-都符合题意,
故所求a,x的值分别为-,2或-,3.
【类题·通】
1.集合元素的互异性在解题中的两个应用
(1)切入:利用集合元素的互异性寻找解题的切入点.
(2)检验:解题完毕,利用互异性验证答案的正确性.
2.描述法表示集合的关键及注意点
(1)关键:清楚集合的类型及元素的特征性质.
(2)注意点:当特征性质的表示形式相同时,要清楚代表元素的不同会导致集合含义的不同,所以研究描述法时要关注集合中代表元素的属性.
【加练·固】
设集合A={x|x2-3x+a=0},若4∈A,则集合A用列举法表示为________.
【解析】因为4∈A,所以16-12+a=0,所以a=-4,所以A={x|x2-3x-4=0}={-1,4}.
答案:{-1,4}
素养二 数学运算
角度 集合的基本运算
【典例3】(2018·北京高考)已知集合A={x||x|<2},B={-2,0,1,2},则A∩B=
( )
A.{0,1} B.{-1,0,1}
C.{-2,0,1,2} D.{-1,0,1,2}
【解析】选A.集合A={x|-2<x<2},所以A∩B={0,1}.
【典例4】设全集I=R,已知集合M={-3},N={x|x2+x-6=0}.
(1)求(IM)∩N.
(2)记集合A=(IM)∩N,已知集合B={x|a-1≤x≤a+5},a∈R,若A∩B=A,求实数a的取值范围.
【解析】(1)因为M={-3},则IM={x|x≠-3},又因为N={2,-3},从而有(IM)∩N={2}.
(2)因为A∩B=A,所以A⊆B,又因为A={2},所以a-1≤2≤a+5,解得-3≤a≤3,即实数a的取值范围是-3≤a≤3.
【类题·通】
1.集合基本运算的方法
(1)定义法或Venn图法:集合是用列举法给出的,运算时可直接借助定义求解,或把元素在Venn图中表示出来,借助Venn图观察求解.
(2)数轴法:集合是用不等式(组)给出的,运算时可先将不等式在数轴中表示出来,然后借助数轴求解.
2.集合与不等式结合的运算包含的类型及解决办法
(1)不含字母参数:直接将集合中的不等式解出,在数轴上求解.
(2)含有字母参数:若字母的取值影响到不等式的解,要先对字母分类讨论,再求解不等式,然后在数轴上求解.
【加练·固】
1.设集合U={x|x是小于20的质数},A,B⊆U,(∁UA)∩B={3,5},(∁UB)∩A= {11,13},(∁UA)∩(∁UB)={7,17},则集合A,B分别为 ( )
A.A={1,2,11,13,19},B={1,2,3,5,19}
B.A={2,11,13,19},B={2,3,5,19}
C.A={3,11,13,19},B={2,3,5,19}
D.A={2,11,13,17,19},B={2,3,5,7,19}
【解析】选B.由题意画出Venn图如下,
所以A∩B={2,19},
所以A={2,11,13,19}.B={2,3,5,19}.
2.若集合A={x|-3≤x≤4}和B={x|2m-1≤x≤m+1}.
(1)当m=-3时,求集合(∁RA)∩B.
(2)当A∩B=B时,求实数m的取值范围.
【解析】(1)当m=-3时,集合∁RA={x|x<-3或x>4},B={x|-7≤x≤-2}.
所以(∁RA)∩B={x|-7≤x<-3}.
(2)因为A∩B=B,所以B⊆A,
当2m-1>m+1,即m>2时,B=∅,满足B⊆A,
当2m-1≤m+1,即m≤2时,B≠∅,
若B⊆A,则
解得-1≤m≤3,又m≤2,所以-1≤m≤2,
综上所述,m的取值范围是m≥-1.
素养三 逻辑推理
角度1 判断集合间的关系
【典例5】集合M={x|x=3k-2,k∈Z},P={y|y=3n+1,n∈Z},S={z|z=6m+1,m∈Z}之间的关系是 ( )
A.SPM B.S=PM
C.SP=M D.P=MS
【解析】选C.运用整数的性质求解.集合M,P表示的是被3整除余1的整数集,集合S表示的是被6整除余1的整数集.
【类题·通】
1.集合间关系的判断方法
(1)定义法:根据定义直接判断元素与集合间的关系,得出集合间的关系.
(2)图示法:利用数轴或Venn图表示出相应的集合,根据图示直观地判断.
2.求解集合间关系问题的两个注意事项
(1)解含有参数的不等式(或方程)时,要对参数进行分类讨论,分类时遵循“不重不漏”的原则,且对每类情况都要给出问题的解答.
(2)对于两集合A,B,当A⊆B时,不要忽略A=∅.
【加练·固】
已知集合A={x∈R|x2-3x+2=0},B={x∈N|0<x<5},则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选D.A={x∈R|x2-3x+2=0}
={1,2},B={x∈N|0<x<5}={1,2,3,4}.
因为A⊆C⊆B,所以集合C可以为
{1,2}, {1,2,3}, {1,2,4}, {1,2,3,4}共4个.
角度2 充分条件和必要条件
【典例6】已知集合A={x∈R|2x+m<0},B={x∈R|x<-1或x>3},
(1)是否存在实数m,使得x∈A是x∈B成立的充分条件?
(2)是否存在实数m,使得x∈A是x∈B成立的必要条件?
【解析】(1)欲使x∈A是x∈B成立的充分条件,
则只要⊆{x|x<-1或x>3},则只要-≤-1即m≥2,
故存在实数m≥2时使x∈A是x∈B成立的充分条件.
(2)欲使x∈A是x∈B成立的必要条件,
则只要⊇{x|x<-1或x>3},则这是不可能的,故不存在实数m,使x∈A是x∈B成立的必要条件.
【类题·通】
充分条件与必要条件的判断方法
(1)定义法
(2)集合法:写出集合A={x|p(x)}及B={x|q(x)},利用集合之间的包含关系加以判断.用集合法判断时,要尽可能用图示、数轴等几何方法,图形形象、直观,能简化解题过程,降低思维难度.
【加练·固】
求证:关于x的方程x2+mx+1=0有两个负实根的充要条件是m≥2.
【证明】设p:m≥2,q:关于x的方程x2+mx+1=0有两个负实根.
(1)充分性(p⇒q):
因为m≥2,所以Δ=m2-4≥0,方程x2+mx+1=0有实根.设x2+mx+1=0的两个实根为x1,x2,
由根与系数的关系知x1x2>0,所以x1,x2同号.
又因为x1+x2=-m≤-2,所以x1,x2同为负根.
(2)必要性(q⇒p):因为x2+mx+1=0的两个实根x1,x2均为负根,且x1x2=1,
所以m-2=-(x1+x2)-2=--2
=-=-≥0,所以m≥2.
由(1)(2)可得,关于x的方程x2+mx+1=0有两个负实根的充要条件是m≥2.
角度3 全称量词命题和存在量词命题及其否定
【典例7】判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,判断真假,并写出它们的否定:
(1)空集是任何一个非空集合的真子集.
(2)∀x∈R,4x2>2x-1+3x2.
(3)∃x∈{-2,-1,0,1,2},︱x-2︱<2.
(4)∀a,b∈R,方程ax+b=0恰有一解.
【解析】(1)该命题是全称量词命题,是真命题.该命题的否定:存在一个非空集合,空集不是该集合的真子集.
(2)该命题是全称量词命题,是假命题.因为
4x2-(2x-1+3x2)=x2-2x+1=(x-1)2≥0,
所以当x=1时,4x2=2x-1+3x2.
该命题的否定:∃x∈R,4x2≤2x-1+3x2.
(3)该命题是存在量词命题,是真命题.
因为当x=1时,︱x-2︱=1<2.
该命题的否定:∀x∈{-2,-1,0,1,2},︱x-2︱≥2.
(4)该命题是全称量词命题,是假命题.当a≠0时,方程ax+b=0才恰有一解.该命题的否定:∃a,b∈R,方程ax+b=0无解或至少有两解.
【类题·通】
全称量词命题和存在量词命题的判断
主要方法是看命题中是否含有全称量词和存在量词;另外,有些全称量词命题并不含有全称量词,这时我们就要根据命题涉及的意义去判断.
【加练·固】
判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并写出它们的否定:
(1)∀x∈{3,5,7},3x+1是偶数.
(2)对任意x∈R,都有|x-2|+|x-4|>3.
(3)二次函数的图象是抛物线.
(4)在实数范围内,有些一元二次方程无解.
【解析】(1)该命题是全称量词命题.
该命题的否定:∃x∈{3,5,7},3x+1不是偶数.
(2)该命题是全称量词命题.
该命题的否定:∃x∈R,|x-2|+|x-4|≤3.
(3)该命题是全称量词命题.
该命题的否定:有的二次函数的图象不是抛物线.
(4)该命题是存在量词命题.该命题的否定:在实数范围内,所有的一元二次方程都有解.
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