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课时素养评价 三十八
用二分法求方程的近似解
(20分钟·40分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.观察下列函数的图象,判断能用二分法求其零点的是 ( )
【解析】选A.由图象可知A中零点左右两侧的函数符号不同,故可用二分法求零点.
2.用二分法求函数f(x)在(a,b)内的唯一零点时,精确度为0.001,则结束计算的条件是 ( )
A.|a-b|<0.1 B.|a-b|<0.001
C.|a-b|>0.001 D.|a-b|=0.001
【解析】选B.据二分法的步骤知当区间长度|b-a|小于精确度ε时,便可结束计算.
3.用二分法研究函数f(x)=x5+8x3-1的零点时,第一次经过计算f(0)<0,f(0.5)>0,则其中一个零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为 ( )
A.(0,0.5),f(0.125) B.(0.5,1),f(0.25)
C.(0.5,1),f(0.75) D.(0,0.5),f(0.25)
【解析】选D.因为f(x)=x5+8x3-1,
则f(0)<0,f(0.5)>0,所以f(0)·f(0.5)<0,
所以其中一个零点所在的区间为(0,0.5),
第二次应计算的函数值应该为f(0.25).
4.(多选题)若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考数据如下:
x
1
1.5
1.25
1.375
1.437 5
1.406 25
f(x)的
近似值
-2
0.625
-0.984
-0.260
0.162
-0.054
那么方程x3+x2-2x-2=0近似解(精确度为0.05)可以是 ( )
A.1.25 B.1.437 5
C.1.406 25 D.1.421 9
【解析】选B、C、D.由表格可得,函数f(x)=x3+x2-2x-2的零点在(1.406 25,
1.437 5)之间;结合选项可知,方程的近似解可以是1.406 25,1.437 5,1.421 9.
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.求方程x3-3x-1=0在区间(1,2)内的实根,用“二分法”确定的下一个有解的区间是________.
【解析】设函数f(x)=x3-3x-1,
因为f(1)=-3<0,f(2)=1>0,f(1.5)=-<0,
所以下一个有解的区间是(1.5,2).
答案:(1.5,2)
6.函数f(x)=x2+ax+b有零点,但不能用二分法求出,则a,b的关系是________,函数的零点是________.(用a表示)
【解析】因为函数f(x)=x2+ax+b有零点,但不能用二分法求出,所以函数f(x)=x2+ax+b的图象与x轴相切,所以Δ=a2-4b=0,所以a2=4b;则令f(x)=x2+ax+=0,解得x=-.
答案:a2=4b -
三、解答题
7.(16分)已知函数f(x)=2x3-x2-3x+1.
(1)求证:f(x)在区间(1,2)上存在零点.
(2)若f(x)的一个正数零点附近的函数近似值如表格所示,请用二分法计算f(x)=0的一个近似解(精确到0.1).
x
1
1.5
1.25
1.375
1.312 5
1.343 75
f(x)的
近似值
-1
1
-0.406 25
0.183 59
-0.138 18
0.015 81
【解析】(1)因为f(x)=2x3-x2-3x+1,
所以f(1)=-1<0,f(2)=7>0,
所以f(1)·f(2)=-7<0.
且f(x)=2x3-x2-3x+1在(1,2)内连续,
所以f(x)在区间(1,2)上存在零点.
(2)由(1)知,f(x)=2x3-x2-3x+1在(1,2)内存在零点,由表知f(1)=-1,f(1.5)=1,
所以f(1)·f(1.5)<0,所以f(x)的零点在(1,1.5)上,因为f(1.25)=-0.406 25,
所以f(1.25)·f(1.5)<0,
所以f(x)的零点在(1.25,1.5)上,
因为f(1.375)≈0.183 59,所以f(1.25)·f(1.375)<0,所以f(x)的零点在(1.25,1.375)上,
因为f(1.312 5)≈-0.138 18,
所以f(1.312 5)·f(1.375)<0,
所以f(x)的零点在(1.312 5,1.375)上,
因为f(1.343 75)≈0.015 81,
所以f(1.312 5)·f(1.343 75)<0,
所以f(x)的零点在(1.312 5,1.343 75)上,
由于|1.343 75-1.312 5|=0.031 25<0.1,且1.312 5≈1.3,1.343 75≈1.3,所以f(x)=0的一个精确到0.1的近似解是1.3.
(15分钟·30分)
1.(4分)用二分法求函数的零点,函数的零点总位于区间(an,bn)内,当|an-bn|<ε时,函数的近似零点与真正的零点的误差不超过 ( )
A.ε B.ε C.2ε D.ε
【解析】选A.最大误差即为区间长度ε .
2.(4分)已知曲线y=与y=x的交点的横坐标是x0,则x0的取值范围是
( )
A. B. C. D.(1,2)
【解析】选A.设f(x)=-x,则f(0)=1>0,f=-=-<0,
f(1)=-1<0,
f(2)=-2<0,显然有f(0)·f<0.
【加练·固】若a<b<c,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间 ( )
A.(a,b)和(b,c)内
B.(-∞,a)和(a,b)内
C.(b,c)和(c,+∞)内
D.(-∞,a)和(c,+∞)内
【解析】选A.由题意知f(x)的图象是开口向上的抛物线,由a<b<c,知a-b<0, b-c<0,a-c<0,所以f(a)=(a-b)(a-c)>0,
f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0,由零点存在判定定理可知,在区间(a,b),(b,c)内分别存在一个零点.
所以f(x)的两个零点分别在(a,b)和(b,c)内.
3.(4分)若方程x3-x+1=0在区间(a,b)(a,b是整数,且b-a=1)上有一根,则a+b=________.
【解析】设f(x)=x3-x+1,
则f(-2)=-5<0,f(-1)=1>0,
可得a=-2,b=-1,
所以a+b=-3.
答案:-3
4.(4分)已知函数f(x)=log2x+2x-m有唯一零点,如果它的零点在区间(1,2)内,则实数m的取值范围是________.
【解析】因为f(x)在(0,+∞)上单调递增,
所以
所以
解得2<m<5.
答案:(2,5)
5.(14分)已知x0是函数f(x)=2x+的一个零点.若x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),求f(x1)和f(x2)与0的大小关系.
【解析】f(x)=2x+=2x-,
f(x)由两部分组成,y=2x在(1,+∞)上单调递增,y=-在(1,+∞)上单调递增,
所以f(x)在(1,+∞)上单调递增.
因为x1<x0,
所以f(x1)<f(x0)=0,
又因为x2>x0,
所以f(x2)>f(x0)=0.
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