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课时素养评价 二十一
函数的最大值、最小值
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.函数f(x)=x2+3x+2在区间(-5,5)上的最大值、最小值分别为 ( )
A.42,12
B.42,-
C.12,-
D.无最大值,最小值为-
【解析】选D.f(x)=x2+3x+2
=-,
因为-5<-<5,
所以无最大值,f(x)min=f=-.
2.已知f(x)=-,则 ( )
A.f(x)max=,f(x)无最小值
B.f(x)min=1,f(x)无最大值
C.f(x)max=1,f(x)min=-1
D.f(x)max=1,f(x)min=0
【解析】选C.f(x)=- 的定义域为[0,1],
因为f(x)在[0,1]上单调递增,
所以f(x)max=1,f(x)min=-1.
3.(多选题)下列关于函数f(x)=x+|x-1|的四种说法正确的是 ( )
A.有最小值,最小值为1
B.没有最小值
C.有最大值,最大值为10
D.没有最大值
【解析】选A、D.f(x)=x+|x-1|=
作出函数的图象如图所示,
由图象可知,f(x)的最小值为1,没有最大值.
4.设c<0,f(x)在区间[a,b]上单调递减,下列说法中正确的是 ( )
A.f(x)在区间[a,b]上有最小值f(a)
B.在[a,b]上有最小值f(a)
C.f(x)-c在[a,b]上有最小值f(a)-c
D.cf(x)在[a,b]上有最小值cf(a)
【解析】选D.根据题意,依次分析选项:
对于A,f(x)在区间[a,b]上单调递减,
则其在区间[a,b]上有最小值f(b),A错误;
对于B,f(x)在区间[a,b]上单调递减,
而函数在[a,b]上单调性无法确定,
其最小值无法确定,B错误;
对于C,f(x)在区间[a,b]上单调递减,
f(x)-c在区间[a,b]上也单调递减,
其最小值为f(b)-c,C错误;
对于D,f(x)在区间[a,b]上单调递减,且c<0,
则cf(x)在区间[a,b]上单调递增,
则在[a,b]上有最小值cf(a),D正确.
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.若一次函数y=f(x)在区间[-1,2]上的最小值为1,最大值为3,则y=f(x)的解析式为____________.
【解析】设f(x)=kx+b(k≠0),
当k>0时,即
所以f(x)=x+;
当k<0时,即
所以f(x)=-x+,
所以f(x)的解析式为f(x)=x+或f(x)=-x+.
答案:f(x)=x+或f(x)=-x+
6.函数y=f(x)的定义域为[-4,6],且在区间[-4,-2]上单调递减,在区间[-2,6]上单调递增,且f(-4)<f(6),则函数f(x)的最小值是________,最大值是________.
【解析】因为函数y=f(x)在区间[-4,-2]上单调递减,在区间[-2,6]上单调递增,所以f(x)的最小值是f(-2),又因为f(-4)<f(6),
所以f(x)的最大值是f(6).
答案:f(-2) f(6)
三、解答题(共26分)
7.(12分)求函数y=f(x)=在区间[1,2]上的最大值和最小值.
【解题指南】先证明函数y=在区间[1,2]上的单调性,然后求最大值和最小值.
【解析】∀x1,x2∈[1,2],且x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=-
=
=,
因为1≤x1<x2≤2,
所以2<x1+x2<4,
即6<3(x1+x2)<12,
又1<x1x2<4,x2-x1>0,
故f(x1)-f(x2)>0.
所以函数y=在区间[1,2]上单调递减,
ymax=f(1)=-,ymin=f(2)=-4.
8.(14分)已知函数f(x)=,x∈[2,9].
(1)判断f(x)的单调性,并证明你的结论.
(2)求f(x)的最大值,最小值.
【解析】(1)f(x)在[2,9]上单调递减.
证明:∀x1,x2∈[2,9],且x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=-
=,
因为2<x1<x2<9,
所以x2-x1>0,(x1-1)(x2-1)>0,
所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).
所以f(x)在[2,9]上单调递减.
(2)由f(x)在[2,9]上单调递减,所以当x=2时,f(x)取最大值f(2)=2;
当x=9时,f(x)取最小值f(9)=.
(15分钟·30分)
1.(4分)某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为L1=-x2+21x和L2=2x(其中销售量单位:辆).若该公司在两地共销售15辆,则能获得的最大利润为 ( )
A.90万元 B.60万元
C.120万元 D.120.25万元
【解析】选C.设公司在甲地销售x台,则在乙地销售(15-x)台,公司获利为
L=-x2+21x+2(15-x)=-x2+19x+30
=-+30+,所以当x=9或10时,L最大为120万元.
2.(4分)已知y=ax+1,在[1,2]上的最大值与最小值的差为2,则实数a的值是
( )
A.2 B.-2 C.2或-2 D.0
【解析】选C.①当a=0时,y=ax+1=1,不符合题意;
②当a>0时,y=ax+1在[1,2]上单调递增,
则(2a+1)-(a+1)=2,解得a=2;
③当a<0时,y=ax+1在[1,2]上单调递减,
则(a+1)-(2a+1)=2,解得a=-2.
综上,得a=±2.
3.(4分)函数f(x)=-3x在区间上的最大值为________.
【解析】因为y=在区间上单调递减,y=-3x在区间上单调递减,所以函数f(x)=-3x在区间上单调递减,
所以f(x)max=f(2)=-3×2=-4.
答案:-4
4.(4分)函数f(x)=x(|x|-2)在[m,n]上的最小值为-1,最大值为1,则n-m的最大值为________.
【解析】函数f(x)=x(|x|-2),
当x≥0时,f(x)=x2-2x;
当x<0时,f(x)=-2x-x2.
作出y=f(x)的图象,
由图象可得x>0时,x2-2x=1,解得x=1+;
当x<0时,-2x-x2=-1,解得x=-1-,
即有f(x)在[-1-,1+]内的最大值为1,最小值为-1,故n-m的最大值为1+-(-1-)=2+2.
答案:2+2
5.(14分)已知函数f(x)=x2+(2a-1)x-3.
(1)当a=2,x∈[-2,3]时,求函数f(x)的值域.
(2)若函数f(x)在[-1,3]上的最大值为1,求实数a的值.
【解析】(1)当a=2时,f(x)=x2+3x-3=-,
对称轴为x=-<3,
所以函数在上单调递减,在上单调递增,所以当x∈[-2,3]时,
f≤f(x)≤f(3),
f(3)=15,f=-,
所以当a=2,x∈[-2,3]时,该函数的值域为.
(2)函数f(x)=x2+(2a-1)x-3的对称轴是x=-a.
当-a≥1时,函数f(x)在[-1,3]上的最大值为f(-1)=-2a-1=1,所以a=-1合题意;
当-a≤1时,函数f(x)在[-1,3]上的最大值为f(3)=6a+3=1,所以a=-合题意;
所以实数a的值为-或-1.
1.当x∈(1,2)时,不等式x2+mx+4<0恒成立,则m的取值范围是________.
【解析】设f(x)=x2+mx+4,则f(x)的图象开口向上,对称轴为x=-.
(1)当-≤1时,即m≥-2时,满足f(2)=4+2m+4≤0,
所以m≤-4,又m≥-2,所以此时无解.
(2)当-≥2,即m≤-4时,需满足f(1)=1+m+4≤0,
所以m≤-5,又m≤-4,所以m≤-5.
(3)当1<-<2,即-4<m<-2时,
需满足此时无解.
综上所述,m≤-5.
答案:m≤-5
2.已知函数f(x)=x2+ax+a2+1(a∈R),设f(x)在[-1,1]上的最大值为g(a),
(1)求g(a)的表达式.
(2)是否存在实数m,n,使得g(a)的定义域为[m,n],值域为[5m,5n]?如果存在,求出m,n的值;如果不存在,请说明理由.
【解析】(1)因为函数f(x)图象的对称轴为x=-,
所以当-≤0,即a≥0时,
g(a)=f(x)max=f(1)=a2+a+2;
当->0,即a<0时,
g(a)=f(x)max=f(-1)=a2-a+2.
所以g(a)=
(2)假设存在符合题意的实数m,n,
则由(1)可知,当a∈R时,g(a)∈[2,+∞).
所以若a∈[m,n],有g(a)∈[5m,5n],
则0≤m<n,所以g(a)=a2+a+2在[m,n]上单调递增.
所以
所以
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