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课时跟踪检测（二十三） 数乘向量、向量的线性运算
A级——学考水平达标练
1．已知向量a，b满足：|a|＝3，|b|＝5，且a＝λb，则实数λ＝( )
A. B.
C．± D．±
解析：选C 因为|a|＝3，|b|＝5，a＝λb，所以|a|＝|λ||b|，即3＝5|λ|，所以|λ|＝，λ＝±.
2．已知点C在线段AB上，且AC＝CB，则( )
A．＝ B．＝－
C．＝ D．＝－
解析：选D ＝＋＝＋＝＝－.
3．已知P，A，B，C是平面内四点，且＋＋＝，则下列向量一定共线的是( )
A．与 B．与
C．与 D．与
解析：选B 因为＋＋＝，所以＋＋＋＝0，即－2＝，所以与共线．
4．在△ABC中，点D在边AB上，且＝，设＝a，＝b，则＝( )
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
解析：选B ∵＝，∴＝，∴＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b，故选B.
5．在△ABC中，点D在直线CB的延长线上，且＝4＝r＋s，则r－s＝( )
A. B.
C．2 D．3
解析：选A 因为＝＋＝4，所以＝3，所以＝－＝＋－＝＋－＝＋(－)－＝－，所以r＝，s＝－，r－s＝.
6．已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若－3＋2＝0，则＝________.
解析：∵－3＋2＝0，∴－＝2(－)，∴＝2，∴＝2.
答案：2
7.如图，在△ABC中，D，E分别在AB，AC上，且＝＝，则＝________.
解析：∵＝＝，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC.
∴＝. 又与同向，∴＝.
答案：
8．在四边形ABCD中，＝3e，＝－5e，且||＝||，则四边形ABCD的形状为________．
解析：由已知可得＝－， 所以∥， 且||≠||. 又||＝||，所以四边形ABCD为等腰梯形．
答案：等腰梯形
9．设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且＝2，＝2，＝2，判断＋＋与是否平行，并求|＋＋|∶||.
解：由－＝2(－)，得＝＋.同理可得，＝＋，＝＋，
所以＋＋＝－，
所以(＋＋)∥，
且|＋＋|＝||，
即|＋＋|∶||＝1∶3.
10．已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1，e2不共线，向量c＝2e1－9e2. 问是否存在这样的实数λ，μ，使向量d＝λa＋μb与c共线？
解：因为d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2，
要使d与c共线，则应有实数k，使d＝kc，
即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2，
即得λ＝－2μ.
故存在这样的实数λ，μ，只要λ＝－2μ，就能使d与c共线．
B级——高考水平高分练
1．(多选题)已知e1，e2是不共线向量，则下列各组向量中是共线向量的是( )
A．a＝5e1，b＝7e1
B．a＝e1－e2，b＝3e1－2e2
C．a＝e1＋e2，b＝3e1－3e2
D．a＝e1－e2，b＝3e1－e2
解析：选ABD 对A，a与b显然共线；对B，因为b＝3e1－2e2＝6＝6a，故a与b共线；对C，设b＝3e1－3e2＝k(e1＋e2)，得无解，故a与b不共线；对D，b＝3(e1－e2)＝3a，所以a与b共线．故选ABD.
2.如图，在△ABC中，延长CB到D，使BD＝BC，当点E在线段AD上移动时，若＝λ＋μ，则t＝λ－μ的最大值是________；最小值是________．
解析：设＝k,0≤k≤1，则＝k(＋2)＝k[＋2(－)]＝2k－k，
∵＝λ＋μ，∴∴t＝λ－μ＝3k.
又0≤k≤1，∴当k＝1时，t取最大值3.
当k＝0时，t取最小值0.
答案：3 0
3．设e1，e2是两个不共线的向量，已知＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2.
(1)求证：A，B，D三点共线．
(2)若＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，求k的值．
解：(1)由已知得＝－＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，
因为＝2e1－8e2，所以＝2.
又因为与有公共点B，所以A，B，D三点共线．
(2)由(1)可知＝e1－4e2，
因为＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，
所以＝λ (λ∈R)，
即3e1－ke2＝λe1－4λe2，得解得k＝12.
4．已知点O，A，M，B为平面上四点，且＝λ＋(1－λ)· (λ∈R，λ≠1，λ≠0)．
(1)求证：A，B，M三点共线．
(2)若点B在线段AM上，求实数λ的取值范围．
解：(1)证明：因为＝λ＋(1－λ)，
所以＝λ＋－λ，
－＝λ－λ，即＝λ，
又λ∈R，λ≠1，λ≠0且，有公共点A，
所以A，B，M三点共线．
(2)由(1)知＝λ，若点B在线段AM上，
则，同向且||>||(如图所示)．
所以λ>1.即实数λ的取值范围是(1，＋∞)．
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