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课时作业23 圆柱、圆锥、圆台、球
知识点一 旋转体的结构特征
1.给出下列几种说法：①经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形；②连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线；③圆柱的任意两条母线互相平行．其中正确的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案 C
解析 ①③正确，②错误．
2．下列说法不正确的是( )
A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫做棱柱
B．圆锥的过轴的截面是一个等腰三角形
C．直角三角形绕它的一条边所在直线旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥
D．圆台中平行于底面的截面是圆面
答案 C
解析 对于A，符合棱柱的定义，A正确；对于B，由圆锥的结构特征、母线长相等知：过轴的截面是一个等腰三角形，B正确；对于C，直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周形成的曲面围成的几何体才是圆锥，C不正确；对于D，由圆台的结构特征知：圆台平行于底面的截面是圆面，D正确．
3．下列说法正确的是( )
A．用一平面去截圆台，截面一定是圆面
B．在圆台的上、下底面圆周上各取一点，则两点的连线就是圆台的母线
C．圆台的任意两条母线延长后相交于同一点
D．圆台的母线可能平行
答案 C
解析 对于A，用一平面去截圆台，当截面与底面不平行时，截面不是圆面．对于B，等腰梯形(轴截面)的腰就是圆台的母线．对于D，圆台的母线不可能平行．
4．下列说法正确的是( )
A．过圆锥侧面上一点有无数条母线
B．圆锥的母线互相平行
C．圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个
D．圆锥的所有平行于底面的截面(不过顶点)都是圆面
答案 D
解析 过圆锥侧面上一点只有一条母线，即为圆锥的顶点与该点连线并延长至底面的线段，A不正确；圆锥的母线交于一点，B不正确；当圆锥过顶点的轴截面的顶角大于90°时，其面积不是最大的，C不正确.
知识点二 球的结构特征
5.下列结论正确的个数是( )
①以半圆的直径所在直线为旋转轴旋转形成的曲面叫做球；
②空间中到定点的距离等于定长的所有的点构成的曲面是球面；
③球面和球是同一个概念；
④经过球面上不同的两点只能作一个大圆．
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 A
解析 以半圆的直径所在直线为旋转轴旋转形成的曲面叫做球面，球面围成的几何体叫做球，①错误；②正确；球面和球是两个不同的概念，③错误；若球面上不同的两点恰为球的某条直径的两个端点，则过此两点的大圆有无数个，④错误．
6．一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的直径为( )
A．2 B．2
C． D．
答案 A
解析 设球心到截面的距离为d，截面圆的半径为r，则πr2＝π，
∴r＝1.设球的半径为R，则R＝ ＝，故球的直径为2.选A．
知识点三 有关计算问题
7.用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台的母线长．
解 设圆台的母线长为l cm，由题意可知截得圆台的上、下底面半径分别为r,4r.
根据相似三角形的性质，得＝，解得l＝9.
所以，圆台的母线长为9 cm.
8．一个圆台的母线长为12 cm，两底面的面积分别为4π cm2和25π cm2.
(1)求圆台的高；
(2)求截得此圆台的圆锥的母线长．
解 (1)过圆台的轴作截面，如图，截面为等腰梯形ABCD，设O1，O分别为AD，BC的中点，连接O1O，作AM⊥BC于点M.
由已知可得上底面半径O1A＝2 cm，下底面半径OB＝5 cm，腰长AB＝12 cm，
∴AM＝＝3(cm)，
即圆台的高为3 cm.
(2)延长BA，OO1交于点S，设截得此圆台的圆锥的母线长为l cm，则由△SAO1∽△SBO，可得＝，即＝，
∴l＝20，即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.
知识点四 旋转体的截面问题
9.用一个平面去截一个几何体，得到的截面是四边形，这个几何体可能是( )
A．圆锥 B．圆柱
C．球体 D．以上都有可能
答案 B
解析 用一个平面去截一个圆锥，得到的图形不可能是四边形，故A不满足要求；用一个平面去截一个圆柱，得到的图形有可能是四边形，故B满足要求；用一个平面去截一个球体，得到的图形只能是圆，故不满足要求．故选B．
10．圆锥的侧面展开图是直径为a的半圆面，那么此圆锥的轴截面是( )
A．等边三角形
B．等腰直角三角形
C．顶角为30°的等腰三角形
D．其他等腰三角形
答案 A
解析 因为此圆锥的侧面展开图是直径为a的半圆面，所以此圆锥的底面圆的直径为，母线长也为，所以此圆锥的轴截面是等边三角形．
一、选择题
1．下列命题中的假命题是( )
A．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫圆柱
B．以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面围成的旋转体叫圆锥
C．以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面围成的旋转体叫圆锥
D．以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋转轴，其余各边旋转形成的面围成的旋转体叫圆锥
答案 B
解析 A，C符合圆柱、圆锥的定义，D中等腰三角形底边上的高把等腰三角形分成两个直角三角形，旋转后形成圆锥，B中没有指出是否沿直角边旋转，不符合圆锥的定义．故选B．
2．圆柱被平面截成如图所示的几何体，则它的侧面展开图是( )
答案 D
解析 结合几何体的实物图，从截面最低点开始高度增加缓慢，然后逐渐变快，最后增加逐渐变慢，不是均衡增加的，所以A，B，C错误．
3．下列叙述中正确的是( )
A．夹在圆柱中的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体
B．棱台的底面是两个相似的正方形
C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台
D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线
答案 C
解析 A错误，没有说明这两个平行截面与底面的位置关系，当这两个平行截面与底面平行时正确，其他情况则是错误的，如图(1)．
B错误，棱台的底面不一定是正方形，如图(2)．
D错误，通过圆台侧面上一点，只有一条母线，如图(4)．C正确，如图(3)所示．
4．将半径为1的圆分割成面积之比为1∶2∶3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥底面半径依次为r1，r2，r3，那么r1＋r2＋r3的值为( )
A． B．2
C． D．1
答案 D
解析 ∵2πr1＝×2π，∴r1＝，同理r2＝，r3＝，∴r1＋r2＋r3＝1.故选D．
5．已知圆柱的轴截面是正方形，其面积为Q，则它的一个底面的面积为( )
A．Q B．πQ
C． D．
答案 C
解析 圆柱的轴截面一边为高，另一边为底面的直径，由轴截面为正方形可知，高与底面直径均为，所以底面半径为，所以该圆柱底面的面积为π·2＝.
二、填空题
6．圆台的母线与轴的夹角为30°，母线长为2，一个底面的半径是另一个底面半径的2倍，则两底面面积之和为________．
答案 5π
解析 设圆台的轴截面如图，并设圆台上底面的半径为r，则下底面的半径为2r.由已知可得∠EBC＝30°，则EC＝r，BC＝2r.∵母线长为2，∴r＝1，∴两底面面积之和为5π.
7．以长为8 cm，宽为6 cm的矩形绕一边所在直线旋转而围成的圆柱的底面面积为____________ cm2，其母线长为________ cm.
答案 64π或36π 6或8
解析 分以长所在直线为轴旋转和以宽所在直线为轴旋转两种情况，分别求出相应的底面面积和母线长即可．
8．给出下列说法：①球的半径是连接球面上任意一点与球心的线段；②球的直径是连接球面上任意两点的线段；③用一个平面截一个球面，得到的是一个圆；④球常用表示球心的字母表示．其中说法正确的是________(填序号)．
答案 ①③④
解析 根据球的定义直接判断①正确；②错误；③用一个平面截一个球面，得到的是一个圆：可以是小圆，也可以是大圆，正确；④球常用表示球心的字母表示，满足球的定义，正确．
三、解答题
9．在球心同侧有相距9 cm的两个平行圆面，它们的面积分别是49π cm2和400π cm2，求球的半径．
解 设球心为O，两截面圆的圆心分别为O1，O2，圆O1、圆O2的半径分别为AO1，BO2，如图为球的轴截面．
由题意及球的截面性质可知AO1∥BO2，且OO1⊥AO1，OO2⊥BO2.
设球的半径为R cm，
∵π·BO＝49π，∴BO2＝7 cm.
又π·AO＝400π，∴AO1＝20 cm.
设OO1＝x cm，则OO2＝(x＋9) cm.
在Rt△OO1A中，R2＝x2＋202，
在Rt△OO2B中，R2＝(x＋9)2＋72，
∴x2＋202＝(x＋9)2＋72，解得x＝15，
∴R2＝x2＋202＝252，
解得R＝25，即球的半径为25 cm.
10．在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，现在沿DE，DF及EF把△ADE，△CDF和△BEF折起，使A，B，C三点重合，重合后的点记为P.
(1)依据题意制作这个几何体；
(2)这个几何体有几个面，每个面的三角形为什么形状的三角形？
(3)若正方形的边长为2a，则每个面的三角形的面积为多少？
解 (1)如图所示：
(2)这个几何体由四个面构成，即面DEF、面DFP、面DEP、面EFP.由平面几何知识可知DE＝DF，∠DPE＝∠EPF＝∠DPF＝90°，所以△DEF为等腰三角形，△DFP，△EFP，△DEP为直角三角形．
(3)若正方形的边长为2a，则S△PDE＝S△PDF＝×2a×a＝a2，S△PEF＝×a×a＝a2.
∵EF＝a，DE＝＝a，
∴△DEF底边EF上的高
h＝ ＝a，
∴S△DEF＝×EF×h＝a2.
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