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课时作业24 简单组合体
知识点一 多面体与多面体的组合体
1．如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是( )
A．该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体
B．该几何体有12条棱、6个顶点
C．该几何体有8个面，并且各面均为三角形
D．该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形
答案 D
解析 该几何体用平面ABCD可分割成两个四棱锥，因此它是这两个四棱锥的组合体，因四边形ABCD是它的一个截面而不是一个面，故选D．
2．在社会主义新农村建设中，某村统一进行旧村改造，其每户的住宅房的效果图如图所示，其主要的结构特征是________．
答案 一个三棱柱和一个长方体拼接而成的组合体
解析 将该住宅房抽象成如下图所示的组合体，
则该住宅房主要的结构特征是上部是一个三棱柱，下部是一个长方体.
知识点二 多面体与旋转体的组合体
3.在日常生活中，常用到的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是( )
A．一个棱柱中挖去一个棱柱
B．一个棱柱中挖去一个圆柱
C．一个圆柱中挖去一个棱锥
D．一个棱台中挖去一个圆柱
答案 B
解析 一个六棱柱挖去一个等高的圆柱．
4．如下图所示为某一桥梁的护栏立柱，其主要的结构特征是____________________________________________________________________．
答案 一个球、一个四棱台、一个长方体拼接而成的组合体
解析 将该护栏立柱抽象成如下图所示的组合体，
则该护栏立柱主要的结构特征是上部是一个球，中部是一个四棱台，下部是一个长方体.
知识点三 旋转体与旋转体的组合体
5．如图所示的蒙古包可以看作是由哪些几何体构成的组合体( )
A．三棱锥、圆锥
B．三棱锥、圆柱
C．圆锥、圆柱
D．圆锥、三棱柱
答案 C
解析 蒙古包上部可看作一个圆锥，下部可看作圆柱．
6．经过旋转可以得到图中几何体的是( )
答案 A
解析 观察图中几何体的形状，掌握其结构特征，其上部为一个圆锥，下部是一个与圆锥同底的圆台，圆锥可由一直角三角形以过一直角边的直线为轴旋转一周得到，圆台可由一直角梯形以过垂直于两底的腰的直线为轴旋转而成，通过上述判断再对选项中的平面图形适当分割，只有A符合．故选A．
知识点四 简单组合体中的截面问题
7.图中最左边的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥得到的．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是( )
A．(1)(2) B．(1)(3)
C．(1)(4) D．(1)(5)
答案 D
解析 圆锥除过轴的截面外，其他截面截圆锥得到的都不是三角形．
8．已知棱长都相等的正三棱锥(底面为正三角形且顶点在底面的正投影是底面三角形的中心)内接于一个球，某学生画出四个过球心的平面截球与正三棱锥所得的截面，如图所示，则( )
A．以上四个图形都是正确的
B．只有(2)(4)是正确的
C．只有(4)是错误的
D．只有(1)(2)是正确的
答案 C
解析 若过球心作平行于某底面的平面，则截面近似题图(1)，三个点都不在圆上；当截面是过球心和三棱锥两个顶点的平面时，它交对棱于中点，中点不在球上，也就不在截面上，近似题图(2)；当截面是只过三棱锥一顶点和球心的平面，与棱锥的另外两个交点，大都是如题图(3)的情况，即另两点不在球(圆)上；当三棱锥的三个顶点都在截面圆上时，截面不过球心，所以(4)错误．故选C．
一、选择题
1．下列各立体图形表示的是柱体或由柱体构成的几何体是( )
A．①②③⑤ B．③④⑤
C．①④⑤ D．②③④
答案 C
解析 ①是三棱柱，②是圆台中挖去一个圆柱形成的几何体，③是正方体去掉一个角后形成的几何体，④是五棱柱，⑤是正方体．
2．如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的( )
答案 A
解析 该几何体由一个圆锥、两个圆台、一个圆柱拼接形成．
3．纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北，现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位是( )
A．下 B．西
C．南 D．北
答案 D
解析 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，沿棱BC，CC1，C1D1，D1D，BB1，B1A1，A1A剪开，正方形CC1D1D向北展开，正方形BB1A1A向南展开，可得到题中展开图，则标“△”的面的方位是北．
4．如图是由等腰梯形、矩形、半圆、圆、倒三角形拼接形成的轴对称平面图形，若将它绕轴l旋转180°后形成一个组合体，下面说法不正确的是( )
A．该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球体
B．该组合体仍然关于轴l对称
C．该组合体中的圆锥和球只有一个公共点
D．该组合体中的球和半球只有一个公共点
答案 A
解析 半圆绕l旋转后，可得半球，从而组合体中只有一个球，A项不正确．
5．如图，棱锥P－ABCD的高PO＝3，截面A′B′C′D′平行于底面ABCD，PO与截面交于点O′，且OO′＝2.若四边形ABCD的面积为36，则四边形A′B′C′D′的面积为( )
A．12 B．16
C．4 D．8
答案 C
解析 由题意可知，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，所以四边形A′B′C′D′的面积为36×2＝4.
二、填空题
6．如下图所示的组合体的结构特征是_____________________________．
答案 一个棱台上面放一个球
解析 由一个棱台和一个球组成．
7．如图，几何体可以看作是由一个________和一个________组合而成的简单组合体，也可以看作是由一个________去掉一个________形成的几何体．
答案 长方体 长方体 正方体 长方体
解析 几何体可看成拼接而成，也可看成挖去而成．
8．如图，在侧棱长为2的正三棱锥(底面为正三角形且顶点在底面的正投影为底面三角形的中心)S－ABC中，∠ASB＝∠BSC＝∠CSA＝40°，过A作截面AEF，则截面最小的周长为________．
答案 6
解析 将正三棱锥侧面沿SA剪开，展开如图所示，连接AA′交SB于点E，交SC于点F，则线段AA′的长即为△AEF最小的周长．因为SA＝SA′＝2，∠ASA′＝120°，
所以AA′＝2×2×sin60°＝6.
三、解答题
9．如图所示，在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切，求两球半径之和．
解 此题的关键在于作截面．球不可能与边AB，CD相切，一个球在正方体内，一般作对角面，而两个球的球心连线也应在正方体的体对角线AC上，故仍需作正方体的对角面，得如图所示的截面图．球心O1和O2在AC上，过O1，O2分别作AD，BC的垂线，垂足为E，F两点．设小球半径为r，大球半径为R.则由AB＝1，AC＝，得AO1＝r，CO2＝R，∴r＋R＋(r＋R)＝，∴R＋r＝＝.
10．如图，甲为一几何体的展开图．
(1)沿图甲中虚线将它折叠起来，是哪一种几何体？试用文字描述并画出示意图；
(2)需要多少个这样的几何体才能拼成一个棱长为6 cm的正方体？请在图乙中的棱长为6 cm的正方体ABCD－A1B1C1D1中指出这几个几何体的名称(用字母表示)．
解 (1)底面为正方形的四棱锥(如下图甲)．
(2)如图乙，需3个；四棱锥A1－ABCD，四棱锥A1－CDD1C1，四棱锥A1－BCC1B1.
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