资源描述
2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系
[A 基础达标]
1．已知关于x的方程x2＋3x＋a＝0有一个根为－2，则另一个根为( )
A．5 B．－1
C．2 D．－5
解析：选B.设方程的另一个根为x0，则－2＋x0＝－3，即x0＝－1.
2．若关于x的一元二次方程x(x＋1)＋ax＝0有两个相等的实数根，则实数a的值为( )
A．－1 B．1
C．－2或2 D．－3或1
解析：选A.由x(x＋1)＋ax＝0，得
x2＋(1＋a)x＝0.
因为方程有两个相等的实数根，
所以判别式Δ＝0.
所以a＝－1.
3．若α，β是一元二次方程3x2＋2x－9＝0的两个根，则＋的值是( )
A. B．－
C．－ D.
解析：选C.由题知α＋β＝－，αβ＝－3，
所以＋＝＝－.
4．已知关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋＝0有两个不相等的实数根x1，x2.若＋＝4m，则m的值是( )
A．2 B．－1
C．2或－1 D．不存在
解析：选A.由题知
解得m>－1且m≠0.
因为x1＋x2＝，x1x2＝，
所以＋＝＝＝4m，
所以m＝2或－1.
因为m>－1，所以m＝2.
5．若a，b，c为△ABC的三边长，且关于x的一元二次方程(c－b)x2＋2(b－a)x＋2(a－b)＝0有两个相等的实数根，则这个三角形是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．不等边三角形
解析：选A.根据题意，得c－b≠0，
Δ＝[2(b－a)]2－4(c－b)·2(a－b)＝0，
(a－b)(a－b－c＋b)＝0，
所以a－b＝0或a－c＝0，
所以a＝b或a＝c，
所以这个三角形为等腰三角形．
6．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－5x＋a＝0的两个实数根，且x－x＝10，则a＝________.
解析：由题知x1＋x2＝5，x1x2＝a.
因为x－x＝(x1＋x2)(x1－x2)＝10，
所以x1－x2＝2，
所以(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝25－4a＝4，
所以a＝.
答案：
7．设α，β是方程(x＋1)(x－4)＝－5的两个实数根，则＋＝________.
解析：由题意，得α＋β＝3，αβ＝1，
所以α2＋β2＝(α＋β)2－2αβ＝7，
α4＋β4＝(α2＋β2)2－2α2·β2＝47，
所以＋＝＝47.
答案：47
8．已知x1，x2是一元二次方程x2－2x－1＝0的两个实数根，则＋的值是________．
解析：由题知x1＋x2＝2，x1x2＝－1，
x＝2x1＋1，x＝2x2＋1，
故原式＝＋＝
＝
＝
＝6.
答案：6
9．设x1，x2是方程2x2－6x＋3＝0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值．
(1)xx2＋x1x；
(2)(x1－x2)2；
(3)；
(4)＋.
解：，
(1)原式＝x1x2(x1＋x2)＝×3＝；
(2)原式＝(x1＋x2)2－4x1x2＝9－4×＝3；
(3)原式＝x1x2＋＋2＝＋＋2＝；
(4)原式＝＝＝.
10．已知关于x的方程(k－1)x2＋(2k－3)x＋k＋1＝0有两个不相等的实数根x1，x2.
(1)求k的取值范围；
(2)是否存在实数k，使方程的两个实根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．
解：(1)⇒，
所以k<且k≠1.
(2)若x1＋x2＝0，即－＝0，k＝，
由(1)可知这样的k不存在．
[B 能力提升]
11．已知m2－2m－1＝0，n2＋2n－1＝0，且mn≠1，则的值为________．
解析：由题知n≠0，则1＋－＝0，即－－1＝0.
又m2－2m－1＝0，且mn≠1，即m≠，
故m，是方程x2－2x－1＝0的两个根，
则m＋＝2.
故＝m＋1＋＝2＋1＝3.
答案：3
12．已知方程2x2－(k＋1)x＋k＋3＝0的两根之差为1，则k的值为________．
解析：设x1，x2为方程的两个根，则，
|x1－x2|＝1，－2(k＋3)＝1，k＝9或k＝－3.
检验当k＝9或k＝－3时，Δ＞0成立．
答案：－3或9
13．已知关于x的一元二次方程x2＋(4m＋1)x＋2m－1＝0.
(1)求证：不论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程两根为x1，x2且满足＋＝－，求m的值．
解：(1)证明：Δ＝(4m＋1)2－4(2m－1)＝16m2＋5>0，
所以方程总有两个不相等的实数根．
(2)因为x1＋x2＝－(4m＋1)，x1x2＝2m－1，
＋＝＝－，即＝－，所以m＝－.
14．若x1，x2是关于x的方程x2－(2k＋1)x＋k2－1＝0的两个实数根，且x1，x2都大于1.
(1)求实数k的取值范围；
(2)若＝，求k的值．
解：(1)⇒⇒⇒，
所以k＞1＋.
(2)
由①③得.
所以(2k＋1)2＝k2－1，
k2－8k－11＝0，k＝4＋3或k＝4－3，满足Δ>0.
[C 拓展探究]
15．已知x1，x2是一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根．
(1)是否存在实数k，使(2x1－x2)(x1－2x2)＝成立？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．
(2)求使＋－2的值为整数的实数k的整数值．
解：Δ＝(－4k)2－4×4k(k＋1)＝－16k(k≠0)，Δ≥0，k<0(因为k≠0)，
(1)存在，x1＋x2＝1，x1x2＝，由(2x1－x2)(x1－2x2)＝得：2(x1＋x2)2－9x1x2＝.
2－9×＝，所以k＝－.
(2)－2＝－2＝－4＝－4＝－.因为－的值为整数，
所以k＋1＝±1，k＋1＝±2，k＋1＝±4，
所以k＝0或k＝－2或k＝1或k＝－3或k＝3或k＝－5，
因为k<0，所以k＝－2或k＝－3或k＝－5.
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