2019_2020学年新教材高中数学第五课考点突破素养提升新人教A版必修2.doc

第五课
考点突破·素养提升
素养一　数学抽象
角度1　概率与频率
【典例1】对一批U盘进行抽检，结果如下表：
抽出件数a
50
100
200
300
400
500
次品件数b
3
4
5
5
8
9
次品频率

(1)计算表中次品的频率.
(2)从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是多少？
(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换，要销售2 000个U盘，至少需进货多少个U盘？
【解析】(1)表中次品频率从左到右依次为0.06，0.04，0.025，0.017，0.02，0.018.
(2)当抽取件数a越来越大时，出现次品的频率在0.02附近摆动，所以从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是0.02.
(3)设需要进货x个U盘，为保证其中有2 000个正品U盘，则x(1-0.02)≥2 000，因为x是正整数，所以x≥2 041，即至少需进货2 041个U盘.
【类题·通】
频率是概率的近似值，是随机的，随着试验的不同而变化；概率是多次的试验中频率的稳定值，是一个常数，不要用一次或少数次试验中的频率来估计概率.【加练·固】
　　 某射击运动员为备战奥运会，在相同条件下进行射击训练，结果如下：
射击次数n
10
20
50
100
200
500
击中靶心
次数m
8
19
44
92
178
455
击中靶心
的频率
0.8
0.95
0.88
0.92
0.89
0.91
(1)该射击运动员射击一次，击中靶心的概率大约是多少？
(2)假如该射击运动员射击了300次，则击中靶心的次数大约是多少？
(3)假如该射击运动员射击了300次，前270次都击中靶心，那么后30次一定都击不中靶心吗？
(4)假如该射击运动员射击了10次，前9次中有8次击中靶心，那么第10次一定击中靶心吗？
【解析】(1)由题意得，击中靶心的频率与0.9接近，故概率约为0.9.
(2)击中靶心的次数大约为300×0.9=270.
(3)由概率的意义可知概率是个常数，不因试验次数的变化而变化.后30次中，每次击中靶心的概率仍是0.9，所以不一定击不中靶心.
(4)不一定.
角度2　互斥事件与对立事件的概率
【典例2】(1)(2019·全国卷Ⅰ)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束).根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是________. 
(2)(2019·江苏高考)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是______ 
【解析】(1)前五场中有一场客场输时，甲队以4∶1获胜的概率是0.63×0.5
×0.5×2=0.108，
前五场中有一场主场输时，甲队以4∶1获胜的概率是0.4×0.62×0.52×2=
0.072，
综上所述，甲队以4∶1获胜的概率是P=0.108+0.072=0.18.
答案：0.18
(2)方法一：从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，共有=10种情况.若选出的2名学生恰有1名女生，有=6种情况，
若选出的2名学生都是女生，有=1种情况，
所以所求的概率为=.
方法二：P=1-=1-=.
答案：
【类题·通】
互斥事件与对立事件概率的计算
1.若事件A1，A2，…，An两两互斥，则P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).
2.设事件A的对立事件是，则P(A)=1-P().
【加练·固】
　　 甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5个不同题目，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题.
(1)甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？
(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？
【解析】把3个选择题记为x1，x2，x3，2个判断题记为p1，p2.“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有：(x1，p1)，(x1，p2)，(x2，p1)，(x2，p2)，(x3，p1)，(x3，p2)，共6种；
“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有：(p1，x1)，(p1，x2)，(p1，x3)，(p2，x1)，(p2，x2)，(p2，x3)，共6种；
“甲、乙都抽到选择题”的情况有：(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x1)，(x2，x3)，(x3，x1)，(x3，x2)，共6种；“甲、乙都抽到判断题”的情况有：(p1，p2)，(p2，p1)，共2种.
因此基本事件的总数为6+6+6+2=20.
(1)“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的概率为=，“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的概率为=，故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题”的概率为+=.
2)“甲、乙两人都抽到判断题”的概率为=，故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”的概率为1-=.
素养二　数学运算
角度1　古典概型
【典例3】某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S=x+y+z评价该产品的等级.若S≤4，则该产品为一等品.现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：
产品编号
A1
A2
A3
A4
A5
质量指标
(x，y，z)
(1，1，2)
(2，1，1)
(2，2，2)
(1，1，1)
(1，2，1)
产品编号
A6
A7
A8
A9
A10
质量指标
(x，y，z)
(1，2，2)

(2，1，1)
(2，2，1)
(1，1，1)
(2，1，2)
(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率.
(2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品.
①用产品编号列出所有可能的结果；
②设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率.
【解析】(1)计算10件产品的综合指标S，如下表：
产品编号
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
S
4
4
6
3
4
5
4
5
3
5
其中S≤4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9，共6件，故该样本的一等品率为=06，从而可估计该批产品的一等品率为0.6.
(2)①在该样本的一等品中，随机抽取2件产品，试验的样本空间Ω={(A1，A2)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A7)，(A1，A9)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A7)，(A2，A9)，(A4，A5)，(A4，A7)，(A4，A9)，(A5，A7)，(A5，A9)，(A7，A9)}共15个样本点.
②在该样本的一等品中，综合指标S等于4的产品编号分别为A1，A2，A5，A7，则事件B包含的样本点有：(A1，A2)，(A1，A5)，(A1，A7)，(A2，A5)，(A2，A7)，(A5，A7)，共6个样本点. 所以P(B)
【类题·通】
古典概型及其解法
1.古典概型是一种最基本的概率模型，也是学习其他概率模型的基础，在高考题中，经常出现此种概率模型的题目.解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性.
2.在求古典概型问题的概率时，往往需要我们将所有基本事件一一列举出来，以便确定基本事件总数及事件所包含的基本事件数.这就是我们常说的穷举法.在列举时应注意按一定的规律、标准，不重不漏.
【加练·固】
　　 甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女.
(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率.
(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一所学校的概率.
【解析】(1)甲校2名男教师分别用A，B表示，1名女教师用C表示；乙校1名男教师用D表示，2名女教师分别用E，F表示.
从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，试验的样本空间Ω={(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)}，共9个样本点.
事件“从中选出2名教师性别相同”包含的样本点有：(A，D)，(B，D)，(C，E)，(C，F)，共4种，所以选出的2名教师性别相同的概率为P=.
(2)从甲校和乙校报名的6名教师中任选2名，试验的样本空间Ω={(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)}，共15个样本点.从中选出2名教师来自同一所学校包含的样本点有：(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共6个样本点，所以选出的2名教师来自同一所学校的概率为P==.
角度2　概率统计的综合应用
【典例4】某中学组织了一次数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析，分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图.

(注：分组区间为[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100])
(1)若得分大于或等于80认定为优秀，则男、女生的优秀人数各为多少？
(2)在(1)中所述的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人，从这5人中任意选取2人，求至少有一名男生的概率.
【解析】(1)由题可得，男生优秀人数为100×(0.01+0.02)×10=30，女生优秀人数为100×(0.015+0.03)×10=45.
(2)因为样本量与总体中的个体数的比是=，所以样本中包含的男生人数为30×=2，女生人数为45×=3.
设抽取的5人分别为A，B， C， D，E，其中A，B为男生，C， D，E为女生，从5人中任意选取2人，试验的样本空间Ω={(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E) }，共10个样本点.
事件“至少有一名男生”包含的样本点有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，共7个样本点，故至少有一名男生的概率为P=，即选取的2人中至少有一名男生的概率为.
【类题·通】
求解古典概型的交汇问题一般步骤
1.将题目条件中的相关知识转化为事件；
2.判断事件是否为古典概型；
3.选用合适的方法确定基本事件个数；
4.代入古典概型的概率公式求解.
【加练·固】
　　 甲、乙两组各四名同学的植树棵数如下，甲：9，9，11，11，乙：X，8，9，10，其中有一个数据模糊，无法确认，以X表示.
(1)如果X=8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差.
(2)如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率.
【解析】(1)当X=8时，乙组四名同学的植树棵数分别是8，8，9，10，
故==，
s2=×
=.
(2)当X=9时，记甲组四名同学分别为A1，A2，A3，A4，他们植树的棵数依次为9，9，11，11；乙组四名同学分别为B1，B2，B3，B4，他们植树的棵数依次为9，8，9，10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，试验的样本空间Ω={(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(A3，B4)，(A4，B1)，(A4，B2)，(A4，B3)，(A4，B4)}，共16个样本点.设“选出的两名同学的植树总棵数为19”为事件C，则事件C中包含的样本点有(A1，B4)，(A2，B4)，(A3，B2)，(A4，B2)，共4个.故P(C)==.

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