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课时素养评价 十五
数系的扩充和复数的概念
(25分钟·40分)
一、选择题(每小题4分，共16分，多项选择题全选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
1.(2019·绍兴高二检测)复数-2i的实部与虚部分别是 ( )
A.0，2 B.0，0 C.0，-2 D.-2，0
【解析】选C.-2i的实部为0，虚部为-2.
【加练·固】
以-3+i的虚部为实部，以3i+i2的实部为虚部的复数是 ( )
A.1-i B.1+i
C.-3+3i D.3+3i
【解析】选A.-3+i的虚部为1，3i+i2=-1+3i，其实部为-1，故所求复数为1-i.
2.在复平面内，复数z=(a2-2a)+(a2-a-2)i是纯虚数，则实数a的值是( )
A.a=0或a=2 B.a=0
C.a≠1且a≠2 D.a≠1或a≠2
【解析】选B.因为复数z=(a2-2a)+(a2-a-2)i是纯虚数，所以a2-2a=0且a2-a-2≠0，所以a=0.
3.(2019·新乡高二检测)若复数(a2-3a+2)+(a-1)i是纯虚数，则实数a的值
为 ( )
A.1 B.2
C.-1或-2 D.1或2
【解析】选B.由得a=2.
4.(多选题)下列命题，其中不正确的是 ( )
A.若z=a+bi，a，b∈R，则仅当b≠0时z为纯虚数.
B.若+=0，则z1=z2=0.
C.若a∈R，则ai为纯虚数.
D.复数z=a2-b2+(a+|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是a≤0.
【解析】选A，B，C.在A中a=0，b≠0时满足，故A错误；在B中将虚数的平方与实数的平方等同，如若z1=1，z2=i，则+=1-1=0，但z1≠z2≠0，故B错误；在C中忽视0·i=0，故C也是错误的；在D中复数z为实数的充要条件是a+|a|=0，即|a|=-a，得a≤0，故D正确.
二、填空题(每小题4分，共8分)
5.如果x-1+yi与i-3x为相等复数，x，y为实数，则x=________，y=________.
【解析】由复数相等可知
所以
答案： 1
6.已知复数z=(m2+m-2)+(m2+4m-5)i是纯虚数，则实数m=________.
【解析】由解得m=-2.
答案：-2
三、解答题
7.(16分)(2019·承德高二检测)已知复数z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i.
(1)若复数z是实数，求实数m的值.
(2)若复数z是虚数，求实数m的取值范围.
(3)若复数z是纯虚数，求实数m的值.
(4)若复数z是0，求实数m的值.
【解析】(1)当m2-2m-15=0时，复数z为实数，
所以m=5或-3.
(2)当m2-2m-15≠0时，复数z为虚数.
所以m≠5且m≠-3.
所以实数m的取值范围为{m|m≠5且m≠-3}.
(3)当时，复数z是纯虚数，
所以m=-2.
(4)当时，
复数z是0，得m=-3.
【加练·固】
已知复数z=m(m-1)+(m2+2m-3)i，当实数m取什么值时：
(1)复数z是零.
(2)复数z是纯虚数.
【解析】(1)因为z是零，所以
解得m=1.
(2)因为z是纯虚数，所以
解得m=0.
(15分钟·30分)
1.(4分)(2019·武汉高二检测)若a，b∈R，i是虚数单位，且b+(a-2)i=1+i，则a+b的值为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选D.由b+(a-2)i=1+i，得b=1，a=3，
所以a+b=4.
【加练·固】
若xi-i2=y+2i(x，y∈R)，则复数x+yi= ( )
A.-2+i B.2+i
C.1-2i D.1+2i
【解析】选B.由i2=-1，得xi-i2=1+xi，则由题意得1+xi=y+2i，根据复数相等的充要条件得x=2，y=1，故x+yi=2+i.
2.(4分)“复数4-a2+(1-a+a2)i(a∈R)是纯虚数”是“a=-2”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.因为1-a+a2=+>0，所以若复数4-a2+(1-a+a2)i(a∈R)是纯虚数，则4-a2=0，即a=±2；当a=-2时，4-a2+(1-a+a2)i=7i为纯虚数.
3.(4分)(2019·济南高二检测)使不等式m2-(m2-3m)i<(m2-4m+3)i+10成立的实数m的取值集合是________ .
【解析】由已知，得解得m=3，
所以所求的实数m的取值集合是{3}.
答案：{3}
【加练·固】
若复数z=(sin θ+cos θ+1)+(sin θ-cos θ)i是纯虚数，则sin2 020θ+
cos2 020θ=________.
【解析】由题意得
由①得sin θ+cos θ=-1，
又因为sin2θ+cos2θ=1.
所以或
所以sin2 020θ+cos2 020θ=1.
答案：1
4.(4分)给出下列说法：
①复数由实数、虚数、纯虚数构成；
②满足x2=-1的数x只有i；
③形如bi(b∈R)的数不一定是纯虚数；
④复数m+ni的实部一定是m.
其中正确说法的序号为________.
【解析】③中，b=0时，bi=0不是纯虚数.故③正确；①中，复数分为实数与虚数两大类；②中，平方为-1的数是±i；④中，m，n不一定为实数，故①②④错误.
答案：③
5.(14分)(2019·杭州高二检测)已知复数z=sin θ-1+(1-2cos θ)i，且θ∈(0，π).
(1)若z为实数，求θ的值.
(2)若z为纯虚数，求θ的值.
【解析】(1)因为z为实数，
所以1-2cos θ=0，即cos θ=，
又因为θ∈(0，π)，所以θ=.
(2)因为z为纯虚数，所以
所以sin θ=1且cos θ≠，
又因为θ∈(0，π)，
所以θ=.
【加练·固】
已知关于x的方程x2+(2-3i)x+5mi+i=0有实数根，求纯虚数m.
【解析】由于m是纯虚数.
设m=bi(b∈R，且b≠0).
设方程的实数根为a，则代入原方程整理得(a2+2a-5b)+(1-3a)i=0.
因为a，b∈R，
所以，解得b=，
所以纯虚数m=i.
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