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5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
[A 基础达标]
1．用“五点法”作函数y＝cos 2x，x∈R的图象时，首先应描出的五个点的横坐标是( )
A．0，，π，，2π B．0，，，，π
C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，，
解析：选B.令2x＝0，，π，和2π，得x＝0，，，，π，故选B.
2.如图是下列哪个函数的图象( )
A．y＝1＋sin x，x∈[0，2π]
B．y＝1＋2sin x，x∈[0，2π]
C．y＝1－sin x，x∈[0，2π]
D．y＝1－2sin x，x∈[0，2π]
解析：选C.当x＝时，y＝0，排除A、B、D.
3．函数y＝cos x与函数y＝－cos x的图象( )
A．关于直线x＝1对称 B．关于原点对称
C．关于x轴对称 D．关于y轴对称
解析：选C.在同一平面直角坐标系中作出函数y＝cos x与函数y＝－cos x的简图(图略)，易知它们关于x轴对称．
4．在[0，2π]上，函数y＝的定义域是( )
A. B.
C. D.
解析：选B.依题意得：2sin x－≥0，即sin x≥.作出y＝sin x在[0，2π]上的图象及直线y＝，如图所示．由图象可知，满足sin x≥的x的取值范围是，故选B.
5．函数y＝1＋sin x，x∈[0，2π]的图象与直线y＝2交点的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B.由函数y＝1＋sin x，x∈[0，2π]的图象(如图所示)，可知其与直线y＝2只有1个交点．
6．已知函数f(x)＝3＋2cos x的图象经过点，则b＝________．
解析：b＝f＝3＋2cos＝4.
答案：4
7．若方程sin x＝4m＋1在x∈[0，2π]上有解，则实数m的取值范围是________．
解析：由正弦函数的图象，知当x∈[0，2π]时，sin x∈[－1，1]，要使得方程sin x＝4m＋1在x∈[0，2π]上有解，则－1≤4m＋1≤1，故－≤m≤0.
答案：
8．已知函数f(x)＝则不等式f(x)＞的解集是________．
解析：在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)和y＝的图象(图略)，由图易得：－＜x＜0或＋2kπ＜x＜π＋2kπ，k∈N.
答案：
9．分别作出下列函数的图象．
(1)y＝2cos x，x∈[0，2π]．
(2)y＝sin，x∈.
解：(1)①列表：
x
0
π
2π
cos x
1
0
－1
0
1
2cos x
2
0
－2
0
2
②描点连线如图．
(2)①列表：
x
－
π
π
π
x＋
0
π
π
2π
sin
0
1
0
－1
0
②描点连线如图．
10．作出函数y＝－sin x，x∈[－π，π]的简图，观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间：
(1)sin x>0；(2)sin x<0.
解：利用五点法作图．
根据图象，可知图象在x轴上方时，－sin x>0，
在x轴下方时，－sin x<0，
所以(1)当x∈(0，π)时，－sin x<0，sin x>0；
(2)当x∈(－π，0)时，－sin x>0，sin x<0.
[B 能力提升]
11．函数y＝cos x＋|cos x|，x∈[0，2π]的大致图象为( )
解析：选D.由题意得
y＝
故选D.
12．函数y＝2cos x，x∈[0，2π]的图象和直线y＝2围成的一个封闭的平面图形的面积是________．
解析：如图所示，将余弦函数的图象在x轴下方的部分补到x轴的上方，可得一个矩形，其面积为2π×2＝4π.
答案：4π
13．分别作出下列函数的图象．
(1)y＝|sin x|，x∈R；
(2)y＝sin|x|，x∈R.
解：(1)y＝|sin x|
＝
其图象如图所示．
(2)y＝sin|x|＝
其图象如图所示．
14．已知函数f(x)＝.
(1)作出该函数的图象；
(2)若f(x)＝，求x的值．
解：(1)作出函数f(x)＝
的图象，
如图①所示．
(2)因为f(x)＝，所以在图①基础上再作直线y＝，如图②所示，
则当－π≤x<0时，由图象知x＝－，当0≤x≤π时，x＝或x＝.综上，可知x的值为－或或.
[C 拓展探究]
15．在同一坐标系中，作函数y＝sin x和y＝lg x的图象，根据图象判断出方程sin x＝lg x的解的个数．
解：建立平面直角坐标系xOy，先画出函数y＝sin x的图象，描出点(1，0)，(10，1)，并用光滑曲线连接得到y＝lg x的图象，如图所示．
由图象可知方程sin x＝lg x的解有3个．
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