2019_2020学年新教材高中数学第7章复数7.1复数的概念课时作业16数系的扩充和复数的概念新人教A版必修第二册.doc

课时作业16　数系的扩充和复数的概念

知识点一 复数的概念
1.下列命题中正确的是(　　)
A．0是实数不是复数
B．实数集与复数集的交集是实数集
C．复数集与虚数集的交集是空集
D．若实数a与ai对应，则实数集中的元素与纯虚数集中的元素一一对应
答案　B
解析　A中，0是实数也是复数，A不正确；B中，实数集与复数集的交集是实数集，B正确；C中，复数集与虚数集的交集是虚数集，C不正确；D中，当a＝0时，ai＝0，所以实数0在纯虚数集中没有对应元素，D不正确．故选B.
2．(1＋)i的实部与虚部分别是(　　)
A．1， B．1＋，0
C．0,1＋ D．0，(1＋)i
答案　C
解析　(1＋)i的实部为0，虚部为1＋.
知识点二 复数的分类
3.若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．－1或1
答案　A
解析　由复数z为纯虚数，可知
解得x＝－1.
4．设a，b∈R，则“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的(　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　B
解析　因为a，b∈R，则“a＝0”时，“复数a＋bi不一定是纯虚数”．“复数a＋bi是纯虚数”则“a＝0”一定成立．所以设a，b∈R，则“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的必要而不充分条件.
知识点三 复数相等
5.已知复数z1＝(a＋2b)＋(a－b)i，z2＝－4b＋(2a＋1)i(a，b∈R)，当z1＝z2时，a＋b＝________.
答案　－1
解析　依题意，得解得所以a＋b＝－＋＝－1.
6．求满足下列条件的实数x，y的值：
(1)xi－i2＝y＋2i；
(2)(x2＋y2)＋2xyi＝6－6i；
(3)(2x－1)－(3－y)i＝0.
解　(1)由i2＝－1可得xi＋1＝y＋2i，根据复数相等的充要条件可得
(2)根据复数相等的充要条件可得解得 或
(3)由于0＝0＋0i，则根据复数相等的充要条件可得
解得
7．若不等式m2－(m2－3m)i<(m2－4m＋3)i＋10成立，求实数m的值．
解　由题意，得
∴∴当m＝3时，原不等式成立．

一、选择题
1．已知a，b∈R，则“a＝b”是“(a－b)＋(a＋b)i为纯虚数”的(　　)
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
答案　C
解析　若a＝b＝0，则(a－b)＋(a＋b)i不是纯虚数；
若(a－b)＋(a＋b)i是纯虚数，则
2．设全集I＝{复数}，R＝{实数}，M＝{纯虚数}，则(　　)
A．M∪R＝I B．(∁IM)∪R＝I
C．(∁IM)∩R＝R D．M∩(∁IR)＝∅
答案　C
解析　根据复数、纯虚数的定义以及它们之间的关系进行判断．依题意，I，R，M三个集合之间的关系如图所示．

所以应有：M∪RI，(∁IM)∪R＝∁IM，M∩(∁IR)≠∅，故A，B，D均错误，只有C正确．
3．以复数－i(x2＋2x＞0)的实部和虚部分别为横、纵坐标的点(　　)
A．在圆x2＋y2＝2上
B．在圆x2＋y2＝2外
C．在圆x2＋y2＝2内
D．与圆x2＋y2＝2的位置关系不确定
答案　B
解析　因为以复数－i(x2＋2x＞0)的实部和虚部分别为横、纵坐标的点为.又＋x2＋2x＝(x＋1)2＋＞2，所以该点在圆x2＋y2＝2外，选B.
4．若sin2θ－1＋i(cosθ＋1)是纯虚数，则θ的值为(　　)
A．2kπ－(k∈Z) B．2kπ＋(k∈Z)
C．2kπ±(k∈Z) D.＋(k∈Z)
答案　B
解析　由得(k∈Z)．
∴θ＝2kπ＋(k∈Z)．
5．已知z1＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R，z1＞z2，则a的值为(　　)
A．0 B．－1 C．－ D.
答案　A
解析　由z1＞z2，得
即
二、填空题
6．给出下列复数：①－2i，②3＋，③8i2，④isinπ，⑤4＋i.其中表示实数的有________(填序号)．
答案　②③④
解析　②显然为实数；③8i2＝－8为实数；④isinπ＝0为实数．
7．已知(1＋i)m2＋(7－5i)m＋10－14i＝0，则实数m＝________.
答案　－2
解析　把原式整理得，
(m2＋7m＋10)＋(m2－5m－14)i＝0，
∵m∈R，∴解得m＝－2.
8．已知复数z1＝m＋(4－m2)i(m∈R)，z2＝2cosθ＋(λ＋3sinθ)i(λ，θ∈R)，并且z1＝z2，则λ的取值范围为________．
答案　
解析　由z1＝z2，得
消去m，得λ＝4sin2θ－3sinθ＝42－.
由于－1≤sinθ≤1，故－≤λ≤7.
三、解答题
9．z1＝－3－4i，z2＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i，且z1＝z2，求实数m，n的值．
解　∵z1＝z2，∴解得或∴m＝2，n＝±2.
10．求当实数m为何值时，z＝＋(m2＋5m＋6)i分别是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
解　复数z的实部为，虚部为m2＋5m＋6.
(1)复数z是实数的充要条件是：
即即m＝－2.
∴当m＝－2时复数z为实数．
(2)复数z是虚数的充要条件是：
即m≠－3且m≠－2.
∴当m≠－3且m≠－2时复数z为虚数．
(3)复数z是纯虚数的充要条件是：
即即m＝3.
∴当m＝3时复数z为纯虚数．

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