极坐标讲义与例题.doc

极坐标与参数方程一、基础知识与例题 考向一 极坐标系与简单曲线得极坐标方程考向:求点得极坐标、曲线得极坐标方程,把直角坐标化为极坐标系、极坐标化为直角坐标.例1在极坐标系中,直线C1得极坐标方程为sin 2,M就是C1上任意一点,点P在射线OM上,且满足|OP|OM|4,记点P得轨迹为C2、(1)求曲线C2得极坐标方程;(2)求曲线C2上得点到直线C3:cos距离得最大值.解:(1)设P(,),M(1,),依题意有1sin 2,14、消去1,得曲线C2得极坐标方程为2sin (0).(2)将C2,C3得极坐标方程化为直角坐标方程,得C2:x2(y1)21,C3:xy2、C2就是以点(0,1)为圆心,以1为半径得圆,圆心到直线C3得距离d,故曲线C2上得点到直线C3距离得最大值为1、考向二简单曲线得参数方程考向:求曲线得参数方程,化参数方程为普通方程,参数方程得应用.例2 已知圆(x2cos )2(y2cos 22)21、(1)求圆心得轨迹C得方程;(2)若存在过点P(0,a)得直线交轨迹C于A,B两点,且|PA|,|AB|,|PB|构成等比数列,求a得取值范围.解:(1)圆(x2cos )2(y2cos 22)21得圆心(x,y)得坐标为(2cos ,22cos 2),即消去参数后可得轨迹C得方程为y4x2(2x2).(2)设直线AB得方程为(为直线AB得倾斜角,t为参数),代入y4x2,得t2cos2tsin a40,显然cos 0,即,设其两根为t1,t2、|PA|,|AB|,|PB|构成等比数列,即|AB|2|PA|PB|,又|PA|PB|t1t2|,|AB|2|t1t2|24,即sin24(a4)|a4|cos2,tan24(a4)|a4|、由tan20得a4,又|PA|PB|t1t2|0,a4,tan25(a4),又设轨迹上得点M(2,0),N(2,0),则tan2k,a220a800,又a4,a102 或4a102 、考向三极坐标与参数方程得综合考向:极坐标方程与参数方程交汇考查,为坐标系与参数方程试题得基本考查方式.例3 在极坐标系中,圆C得极坐标方程为2 cos 2sin ,点A得极坐标为(,2),把极点作为平面直角坐标系得原点,极轴作为x轴得正半轴,并在两种坐标系中取相同得长度单位.(1)求圆C在直角坐标系中得标准方程;(2)设P为圆C上任意一点,圆心C为线段AB得中点,求|PA|PB|得最大值.解:(1)2 cos 2sin ,22 cos 2sin 、由于2x2y2,xcos ,ysin ,得x2y22 x2y0、圆C在直角坐标系中得标准方程为(x)2(y1)24、(2)点A得极坐标为(,2),点A得直角坐标为(cos 2,sin 2),即(,0).圆心C(,1)为线段AB得中点,故点B得直角坐标为(,2).圆C得参数方程为(为参数),P为圆C上任意一点,设点P得坐标为(2cos ,12sin ),则|PA|PB|、当sin 0时,(|PA|PB|)max2 、|PA|PB|得最大值为2 、二、教师备用例题例1、 在平面直角坐标系xOy中,直线l得参数方程为(t为参数),它与曲线C:(y2)2x21交于A、B两点.(1)求|AB|得长;(2)在以O为极点,x轴得正半轴为极轴建立极坐标系中,设点P得极坐标为,求点P到线段AB中点M得距离.解:(1)把直线得参数方程对应得坐标代入曲线方程,化简得7t212t50,设A,B对应得参数分别为t1,t2,则t1t2,t1t2、所以|AB|t1t2|5 、(2)易得点P在平面直角坐标系下得坐标为(2,2),根据中点坐标得性质可得AB中点M对应得参数为、所以由t得几何意义可得点P到M得距离为|PM|、例2、 直角坐标系xOy中,以原点为极点,x轴得正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C得方程为4cos ,直线l得方程为(t为参数),直线l与曲线C得公共点为T、(1)求点T得极坐标;(2)过点T作直线l,l被曲线C截得得线段长为2,求直线l得极坐标方程.解:(1)曲线C:4cos 化为直角坐标方程为x24xy20、将代入上式并整理得t24 t120、解得t2 、所以点T得坐标为(1,).其极坐标为、(2)设直线l得方程为yk(x1),即kxyk0、由(1)得曲线C就是以(2,0)为圆心得圆,且圆心到直线l得距离为、则、解得k0或k、直线l得方程为y或yx、其极坐标方程为sin 或(R).三、相关练习1、已知椭圆得极坐标方程为,点为其右焦点,()求曲线得普通方程; ()、过点作倾斜角为得直线l与曲线交于不同得两点.求得取值范围。2、平面直角坐标系中,点在曲线:,(为参数)上。以原点为极点,轴得正半轴为极轴建立极坐标系,曲线得极坐标方程为:()求曲线得普通方程()已知点得极坐标分别为,若点都在曲线上,求得值。3、已知过点P(-1,1)得直线m与抛物线交于A、B两个不同点,在线段AB上有动点Q,满足|PA|、|PQ|、|PB|得倒数成等差数列.(I)若|PA|PB|=,求直线m得斜率;(II)求证:动点Q在定直线上,并求出直线得方程;4、已知一条封闭得曲线C由一段圆弧 与一段抛物线弧组成。(1)以轴得正半轴为极轴,原点为极点建立极坐标系,求曲线C得极坐标方程;(2)若过原点得直线与曲线C交于A、B两点,求|AB|得取值范围。 5、 在极坐标系中,已知曲线:,:.在直角坐标系中,曲线:(为参数).设与相交于点P.()求点P得极坐标;()若动直线过点P,且与曲线相交于两个不同得点,求得最大值.6、已知直线得参数方程为其中就是参数,就是得倾斜角。直线与椭圆相交于不同两点A,B。(I)求得取值范围;(II)已知点P得坐标为,若线段AB上得一点,当变化时,求点得轨迹方程。7、在极坐标系中,已知圆C得圆心极坐标为,半径为1()求圆C得极坐标方程;(II)以极点为原点,极轴为x轴正方向建立直角坐标系。其中定点P(2,2),过P作倾斜角为得直线。设该直线与圆C交于不同两点A,B,求得取值范围、参考答案1、已知椭圆得极坐标方程为,点为其右焦点,(1)求曲线得普通方程; (2)、过点作倾斜角为得直线l与曲线交于不同得两点.求得取值范围。()曲线得普通方程为、4分 (II)直线L得参数方程为代入椭圆得:+6cost-9=0 , t= 、 7分又-1cos 或所求为: 、10分2、平面直角坐标系中,点在曲线:,(为参数)上。以原点为极点,轴得正半轴为极轴建立极坐标系,曲线得极坐标方程为:()求曲线得普通方程()已知点得极坐标分别为,若点都在曲线上,求得值。解: (1)将点A坐标代入曲线,得:所以: 曲线(2) 曲线,将点,代入曲线 (1) (2)由(1)(2)可得:已知过点P(-1,1)得直线m与抛物线交于A、B两个不同点,在线段AB上有动点Q,满足|PA|、|PQ|、|PB|得倒数成等差数列.(I)若|PA|PB|=,求直线m得斜率;(II)求证:动点Q在定直线上,并求出直线得方程;解(I)设直线得参数方程为,代入抛物线方程并整理得:,A、B、对应得参数分别为,则PA,PB|PA|PB|=|=,直线m得斜率为、5分(未舍去扣1分)(II)由解(I)知A、B、对应得参数就是方程得两个根,设Q对应参数为,则,|PA|、|PQ|、|PB|得倒数成等差数列, ,Q在线段AB上同号,所以8分所以在定直线上, 定直线方程为:、10分3、已知一条封闭得曲线C由一段圆弧 与一段抛物线弧组成。(1)以轴得正半轴为极轴,原点为极点建立极坐标系,求曲线C得极坐标方程;(2)若过原点得直线与曲线C交于A、B两点,求|AB|得取值范围。1.2.2, 4、在极坐标系中,已知曲线:,:.在直角坐标系中,曲线:(为参数).设与相交于点P.()求点P得极坐标;()若动直线过点P,且与曲线相交于两个不同得点,求得最大值.解:()联立得:点P坐标为.4分 ()曲线得普通方程为:,又点得直角坐标为. 设直线:,(为参数,为倾斜角).代入式得: ,设点对应参数分别为. , , 当,即时,得最大值为.10分5、已知直线得参数方程为其中就是参数,就是得倾斜角。直线与椭圆相交于不同两点A,B。(I)求得取值范围;(II)已知点P得坐标为,若线段AB上得一点,当变化时,求点得轨迹方程。解(1)将直线得参数方程代入椭圆方程,并化简得。设点A,B对应得参数分别为,则就是上方程得两个不等得实根,于就是有,即有,解得。(2)由小题(1)得。设点对应得参数为,则由直线方程得参数得几何意义,及条件,得,从而得点得轨迹参数方程为其中为参数,且满足。消去得点得轨迹方程为6、在极坐标系中,已知圆C得圆心极坐标为,半径为1(1)求圆C得极坐标方程;(2)以极点为原点,极轴为x轴正方向建立直角坐标系。其中定点P(2,2),过P作倾斜角为得直线。设该直线与圆C交于不同两点A,B,求得取值范围、解:(1)设为圆上任一点,在中,由余弦定理得:,整理得4分 (2)设直线参数方程为:为参数),代入圆C得普通方程:可得:、8分因为,直线与圆C交于不同两点,所以,得取值范围就是 10分