极坐标讲义与例题.doc

极坐标与参数方程
一、基础知识与例题

► 考向一 极坐标系与简单曲线得极坐标方程
考向:求点得极坐标、曲线得极坐标方程,把直角坐标化为极坐标系、极坐标化为直角坐标.
例1在极坐标系中,直线C1得极坐标方程为ρsin θ＝2,M就是C1上任意一点,点P在射线OM上,且满足
|OP|·|OM|＝4,记点P得轨迹为C2、
(1)求曲线C2得极坐标方程;
(2)求曲线C2上得点到直线C3:ρcos＝距离得最大值.
解:(1)设P(ρ,θ),M(ρ1,θ),依题意有
ρ1sin θ＝2,ρρ1＝4、
消去ρ1,得曲线C2得极坐标方程为ρ＝2sin θ(ρ≠0).
(2)将C2,C3得极坐标方程化为直角坐标方程,得C2:x2＋(y－1)2＝1,C3:x－y＝2、C2
就是以点(0,1)为圆心,以1为半径得圆,圆心到直线C3得距离d＝,
故曲线C2上得点到直线C3距离得最大值为1＋、
►　考向二　简单曲线得参数方程
考向:求曲线得参数方程,化参数方程为普通方程,参数方程得应用.
例2 已知圆(x－2cos θ)2＋(y＋2cos 2θ－2)2＝1、
(1)求圆心得轨迹C得方程;
(2)若存在过点P(0,a)得直线交轨迹C于A,B两点,且|PA|,|AB|,|PB|构成等比数列,求a得取值范围.
解:(1)圆(x－2cos θ)2＋(y＋2cos 2θ－2)2＝1得圆心(x,y)得坐标为(2cos θ,2－2cos 2θ),即消去参数θ后可得轨迹C得方程为y＝4－x2(－2≤x≤2).
(2)设直线AB得方程为(α为直线AB得倾斜角,t为参数),代入y＝4－x2,得t2cos2α＋tsin α＋a－4＝0,显然cos α≠0,即α≠,设其两根为t1,t2、∵|PA|,|AB|,|PB|构成等比数列,即|AB|2＝|PA|·|PB|,又∵|PA|·|PB|＝|t1t2|＝,|AB|2＝|t1－t2|2＝－4＝,
∴＝,
即sin2α＝[4(a－4)＋|a－4|]cos2α,
∴tan2α＝4(a－4)＋|a－4|、由tan2α≥0得a≥4,
又|PA|·|PB|＝|t1t2|≠0,∴a>4,tan2α＝5(a－4),
又设轨迹上得点M(－2,0),N(2,0),
则tan2α≤k＝,∴a2－20a＋80≥0,又a>4,
∴a≥10＋2 或4<a≤10－2 、
►　考向三　极坐标与参数方程得综合
考向:极坐标方程与参数方程交汇考查,为坐标系与参数方程试题得基本考查方式.
例3 在极坐标系中,圆C得极坐标方程为ρ＝2 cos θ－2sin θ,点A得极坐标为(,2π),把极点作为平面直角坐标系得原点,极轴作为x轴得正半轴,并在两种坐标系中取相同得长度单位.
(1)求圆C在直角坐标系中得标准方程;
(2)设P为圆C上任意一点,圆心C为线段AB得中点,求|PA|＋|PB|得最大值.
解:(1)∵ρ＝2 cos θ－2sin θ,
∴ρ2＝2 ρcos θ－2ρsin θ、
由于ρ2＝x2＋y2,x＝ρcos θ,y＝ρsin θ,
得x2＋y2－2 x＋2y＝0、
∴圆C在直角坐标系中得标准方程为(x－)2＋(y＋1)2＝4、
(2)∵点A得极坐标为(,2π),
∴点A得直角坐标为(cos 2π,sin 2π),即(,0).
圆心C(,－1)为线段AB得中点,
故点B得直角坐标为(,－2).
∵圆C得参数方程为(θ为参数),P为圆C上任意一点,
∴设点P得坐标为(＋2cos θ,－1＋2sin θ),
则|PA|＋|PB|＝＋
＝＋＝
＝、
当sin θ＝0时,(|PA|＋|PB|)max＝＝2 、
∴|PA|＋|PB|得最大值为2 、
二、教师备用例题
例1、 在平面直角坐标系xOy中,直线l得参数方程为(t为参数),它与曲线C:(y－2)2－x2＝1交于A、B两点.
(1)求|AB|得长;
(2)在以O为极点,x轴得正半轴为极轴建立极坐标系中,设点P得极坐标为,求点P到线段AB中点M得距离.
解:(1)把直线得参数方程对应得坐标代入曲线方程,化简得
7t2－12t－5＝0,
设A,B对应得参数分别为t1,t2,
则t1＋t2＝,t1t2＝－、
所以|AB|＝|t1－t2|＝
5 ＝、
(2)易得点P在平面直角坐标系下得坐标为(－2,2),根据中点坐标得性质可得AB中点M对应得参数为＝、
所以由t得几何意义可得点P到M得距离为|PM|＝·＝、
例2、 直角坐标系xOy中,以原点为极点,x轴得正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C得方程为ρ＝4cos θ,直线l得方程为(t为参数),直线l与曲线C得公共点为T、
(1)求点T得极坐标;
(2)过点T作直线l′,l′被曲线C截得得线段长为2,求直线l′得极坐标方程.
解:(1)曲线C:ρ＝4cos θ化为直角坐标方程为x2－4x＋y2＝0、
将
代入上式并整理得t2－4 t＋12＝0、
解得t＝2 、所以点T得坐标为(1,).
其极坐标为、
(2)设直线l′得方程为y－＝k(x－1),即kx－y＋－k＝0、
由(1)得曲线C就是以(2,0)为圆心得圆,且圆心到直线l′得距离为、
则＝、
解得k＝0或k＝、
直线l′得方程为y＝或y＝x、
其极坐标方程为ρsin θ＝或θ＝(ρ∈R).
三、相关练习
1、已知椭圆得极坐标方程为,点为其右焦点,
(Ⅰ)求曲线得普通方程;
(Ⅱ)、过点作倾斜角为得直线l与曲线交于不同得两点.求得取值范围。
2、平面直角坐标系中,点在曲线:,(为参数)上。以原点为极点,轴得正半轴为极轴建立极坐标系,曲线得极坐标方程为:
(Ⅰ)求曲线得普通方程
(Ⅱ)已知点得极坐标分别为,若点都在曲线上,求得值。
3、已知过点P(-1,1)得直线m与抛物线交于A、B两个不同点,在线段AB上有动点Q,满足|PA|、|PQ|、|PB|得倒数成等差数列.
(I)若|PA||PB|=,求直线m得斜率;
(II)求证:动点Q在定直线上,并求出直线得方程;
4、已知一条封闭得曲线C由一段圆弧 与一段抛物线弧组成。
(1)以轴得正半轴为极轴,原点为极点建立极坐标系,求曲线C得极坐标方程;
(2)若过原点得直线与曲线C交于A、B两点,求|AB|得取值范围。
5、 在极坐标系中,已知曲线:,:.在直角坐标系中,曲线:(为参数).设与相交于点P.
(Ⅰ)求点P得极坐标;
(Ⅱ)若动直线过点P,且与曲线相交于两个不同得点,求得最大值.
6、已知直线得参数方程为其中就是参数,就是得倾斜角。直线与椭圆相交于不同两点A,B。
(I)求得取值范围;
(II)已知点P得坐标为,若线段AB上得一点,当变化时,求点得轨迹方程。
7、在极坐标系中,已知圆C得圆心极坐标为,半径为1
(Ⅰ)求圆C得极坐标方程;
(II)以极点为原点,极轴为x轴正方向建立直角坐标系。其中定点P(2,2),过P作倾斜角为得直线。设该直线与圆C交于不同两点A,B,求得取值范围、
参考答案
1、已知椭圆得极坐标方程为,点为其右焦点,
(1)求曲线得普通方程;
(2)、过点作倾斜角为得直线l与曲线交于不同得两点.求得取值范围。
(Ⅰ)曲线得普通方程为、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、4分
(II)直线L得参数方程为代入椭圆得:
+6cost-9=0
, t= 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、 7分
又-1<cos

或
所求为: 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、10分
2、平面直角坐标系中,点在曲线:,(为参数)上。以原点为极点,轴得正半轴为极轴建立极坐标系,曲线得极坐标方程为:
(Ⅰ)求曲线得普通方程
(Ⅱ)已知点得极坐标分别为,若点都在曲线上,求得值。
解: (1)将点A坐标代入曲线,得:
所以: 曲线
(2) 曲线,
将点,代入曲线
(1) (2)
由(1)(2)可得:
已知过点P(-1,1)得直线m与抛物线交于A、B两个不同点,在线段AB上有动点Q,满足|PA|、|PQ|、|PB|得倒数成等差数列.(I)若|PA||PB|=,求直线m得斜率;
(II)求证:动点Q在定直线上,并求出直线得方程;
解(I)设直线得参数方程为,代入抛物线方程并整理得:,A、B、对应得参数分别为,
则PA,PB|PA||PB|=||=,
,,
,
直线m得斜率为……、、5分(未舍去扣1分)
(II)由解(I)知A、B、对应得参数就是方程
得两个根,设Q对应参数为,则,
|PA|、|PQ|、|PB|得倒数成等差数列, ,Q在线段AB上同号,所以……8分

所以在定直线上, 定直线方程为:…、、10分
3、已知一条封闭得曲线C由一段圆弧 与一段抛物线弧组成。
(1)以轴得正半轴为极轴,原点为极点建立极坐标系,求曲线C得极坐标方程;
(2)若过原点得直线与曲线C交于A、B两点,求|AB|得取值范围。
1.
2.[2,]
4、在极坐标系中,已知曲线:,:.在直角坐标系中,曲线:(为参数).设与相交于点P.
(Ⅰ)求点P得极坐标;
(Ⅱ)若动直线过点P,且与曲线相交于两个不同得点,求得最大值.
解:(Ⅰ)联立得:点P坐标为.………………4分
(Ⅱ)曲线得普通方程为:…………①,又点得直角坐标为.
∴设直线:,(为参数,为倾斜角).代入①式得:
,设点对应参数分别为.
∴, ∴,
∴当,即时,得最大值为.………………10分
5、已知直线得参数方程为其中就是参数,就是得倾斜角。直线与椭圆相交于不同两点A,B。
(I)求得取值范围;
(II)已知点P得坐标为,若线段AB上得一点,当变化时,求点得轨迹方程。
解(1)将直线得参数方程代入椭圆方程,并化简得。
设点A,B对应得参数分别为,则就是上方程得两个不等得实根,于就是有
,即有
,解得。
(2)由小题(1)得。
设点对应得参数为,则由直线方程得参数得几何意义,及条件,得,从而得点得轨迹参数方程为
其中为参数,且满足。
消去得点得轨迹方程为
6、在极坐标系中,已知圆C得圆心极坐标为,半径为1
(1)求圆C得极坐标方程;
(2)以极点为原点,极轴为x轴正方向建立直角坐标系。其中定点P(2,2),过P作倾斜角为得直线。设该直线与圆C交于不同两点A,B,求得取值范围、
解:(1)设为圆上任一点,在中,由余弦定理得:
,整理得…………4分
(2)设直线参数方程为:为参数),代入圆C得普通方程:
可得:
……、、8分
因为,直线与圆C交于不同两点,所以,,,得取值范围就是 ………………10分