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第1课时 函数的奇偶性
A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．给定四个函数：①f(x)＝x3＋，②f(x)＝，③f(x)＝x3＋1，④f(x)＝，其中是奇函数的有( )
A．①③ B．①④
C．③④ D．②④
答案 B
解析 ②中函数的定义域为(0，＋∞)，故为非奇非偶函数，③也是非奇非偶函数．
2．下面四个结论：
①偶函数的图像一定与y轴相交；
②奇函数的图像一定通过坐标原点；
③偶函数的图像关于y轴对称；
④既是奇函数也是偶函数的函数一定是f(x)＝0(x∈R)．
其中正确结论的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 A
解析 偶函数的图像关于y轴对称，但不一定与y轴相交，故①错误，③正确；奇函数的图像关于原点对称，但若在原点处没有意义，就不过原点，故②错误；若y＝f(x)既是奇函数，也是偶函数，由定义可得f(x)＝0，但不一定x∈R，只要定义域关于原点对称即可，故④错误．故选A.
3．若函数f(x)(f(x)≠0)为奇函数，则必有( )
A．f(x)f(－x)>0 B．f(x)f(－x)<0
C．f(x)<f(－x) D．f(x)>f(－x)
答案 B
解析 ∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，又f(x)≠0，∴f(x)f(－x)＝－[f(x)]2<0.
4．若函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数
答案 A
解析 由函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，得b＝0，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx化为g(x)＝ax3＋cx，定义域关于原点对称，且满足g(－x)＝－g(x)，所以g(x)＝ax3＋cx是奇函数．
5．已知定义在R上的偶函数f(x)满足：当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝则f[f(－2)]的值为( )
A．1 B．3
C．－2 D．－3
答案 A
解析 ∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(－2)＝f(2)＝2－2＝0，f(0)＝0＋1＝1.∴f[f(－2)]＝f(0)＝1.故选A.
二、填空题
6．函数f(x)＝－x的图像关于________对称．
答案 原点
解析 ∵f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f(－x)＝－－(－x)＝x－＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，图像关于原点对称．
7．若函数f(x)为奇函数，函数g(x)为偶函数，且f(x)－g(x)＝x2＋3x＋2，则f(x)＋g(x)＝________.
答案 －x2＋3x－2
解析 ∵f(x)－g(x)＝x2＋3x＋2，
∴f(－x)－g(－x)＝x2－3x＋2，
又函数f(x)为奇函数，函数g(x)为偶函数，
∴－f(x)－g(x)＝x2－3x＋2，
∴f(x)＋g(x)＝－x2＋3x－2.
8．设函数y＝f(x)是奇函数，若f(－2)＋f(－1)－3＝f(1)＋f(2)＋3，则f(1)＋f(2)＝________.
答案 －3
解析 ∵函数y＝f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．
∴f(－2)＝－f(2)，f(－1)＝－f(1)．
∵f(－2)＋f(－1)－3＝f(1)＋f(2)＋3，
∴－f(2)－f(1)－3＝f(1)＋f(2)＋3，
∴2f(1)＋2f(2)＝－6，∴f(1)＋f(2)＝－3.
三、解答题
9．判断函数f(x)＝的奇偶性．
解 由得
故函数f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称，且有x＋2>0，
所以f(x)＝＝，
这时有f(－x)＝＝－＝－f(x)，
故函数f(x)为奇函数．
10．已知函数f(x)＝x2－4|x|＋3.
(1)试证明函数f(x)是偶函数；
(2)画出f(x)的图像；
(3)请根据图像指出函数f(x)的单调递增区间与单调递减区间．(不必证明)
解 (1)f(x)的定义域为R，且f(－x)＝(－x)2－4|－x|＋3＝x2－4|x|＋3＝f(x)，故f(x)为偶函数．
(2)如图：
(3)递增区间有：(－2,0)，(2，＋∞)，递减区间有：(－∞，－2)，(0,2)．
B级：“四能”提升训练
1．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝
(2)f(x)＝
解 (1)由题意，知f(x)的定义域为(－6，－1]∪[1,6)，关于原点对称．
当x∈(－6，－1]时，－x∈[1,6)，
所以f(－x)＝(－x－5)2－4＝(x＋5)2－4＝f(x)；
当x∈[1,6)时，－x∈(－6，－1]，
所以f(－x)＝(－x＋5)2－4＝(x－5)2－4＝f(x)．
综上所述，知对于任意的x∈(－6，－1]∪[1,6)，都有f(－x)＝f(x)，
所以f(x)＝是偶函数．
(2)f(x)的定义域为R，关于原点对称．
当x＝0时，－x＝0，
所以f(x)＝f(0)＝0，f(－x)＝f(0)＝0，
所以f(－x)＝－f(x)．
当x>0时，－x<0，
所以f(－x)＝－(－x)2－2(－x)－3＝－(x2－2x＋3)＝－f(x)．
当x<0时，－x>0，
所以f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝－(－x2－2x－3)＝－f(x)．
综上可知，当x∈R时，都有f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)是奇函数．
2．(1)已知函数f(x)，x∈R，若对于任意实数x1，x2，都有f(x1＋x2)＋f(x1－x2)＝2f(x1)·f(x2)，求证：f(x)为偶函数；
(2)设函数f(x)定义在(－l，l)上，证明：f(x)＋f(－x)是偶函数，f(x)－f(－x)是奇函数．
证明 (1)令x1＝0，x2＝x，得
f(x)＋f(－x)＝2f(0)·f(x)．①
令x2＝0，x1＝x，得f(x)＋f(x)＝2f(0)·f(x)．②
由①②，得f(x)＋f(－x)＝f(x)＋f(x)，即f(－x)＝f(x)，
∴f(x)是偶函数．
(2)∵x∈(－l，l)，∴－x∈(－l，l)．
可见，f(－x)的定义域也是(－l，l)．
设F(x)＝f(x)＋f(－x)，G(x)＝f(x)－f(－x)，
则F(x)与G(x)的定义域也是(－l，l)，显然是关于原点对称的．
∵F(－x)＝f(－x)＋f[－(－x)]＝f(－x)＋f(x)＝F(x)，
G(－x)＝f(－x)－f[－(－x)]＝f(－x)－f(x)＝－[f(x)－f(－x)]＝－G(x)，
∴F(x)为偶函数，G(x)为奇函数，即f(x)＋f(－x)是偶函数，f(x)－f(－x)是奇函数．
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