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第1课时 函数奇偶性的概念
[A 基础达标]
1．下列函数为奇函数的是( )
A．y＝x2＋2 B．y＝x，x∈(0，1]
C．y＝x3＋x D．y＝x3＋1
解析：选C.对于A，f(－x)＝(－x)2＋2＝x2＋2＝f(x)，即f(x)为偶函数；对于B，定义域不关于原点对称，故f(x)既不是奇函数也不是偶函数；对于C，定义域为R，且f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－(x3＋x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数；对于D，f(－x)＝－x3＋1≠f(x)且f(－x)≠－f(x)，故f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
2．若函数f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)为偶函数，则m的值是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B.因为函数f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即
(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)＝(m－1)x2＋(－m＋2)x＋(m2－7m＋12)，
即m－2＝－m＋2，解得m＝2.
3．设f(x)是定义在R上的一个函数，则函数F(x)＝f(x)－f(－x)在R上一定( )
A．是奇函数
B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数又不是偶函数
解析：选A.F(－x)＝f(－x)－f(x)＝－[f(x)－f(－x)]＝－F(x)，符合奇函数的定义．
4．如图，给出奇函数y＝f(x)的局部图像，则f(－2)＋f(－1)的值为( )
A．－2 B．2
C．1 D．0
解析：选A.由题图知f(1)＝，f(2)＝，
又f(x)为奇函数，所以f(－2)＋f(－1)＝－f(2)－f(1)＝－－＝－2.故选A.
5．如果函数y＝是奇函数，则f(x)＝________．
解析：设x<0，则－x>0，所以2×(－x)－3＝－2x－3.
又原函数为奇函数，
所以f(x)＝－(－2x－3)＝2x＋3.
答案：2x＋3
6．已知函数f(x)＝ax3＋bx＋＋5，满足f(－3)＝2，则f(3)的值为________．
解析：因为f(x)＝ax3＋bx＋＋5，
所以f(－x)＝－ax3－bx－＋5，
即f(x)＋f(－x)＝10.
所以f(－3)＋f(3)＝10，
又f(－3)＝2，
所以f(3)＝8.
答案：8
7．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝3，x∈R；
(2)f(x)＝5x4－4x2＋7，x∈[－3，3]；
(3)f(x)＝
解：(1)因为f(－x)＝3＝f(x)，
所以函数f(x)是偶函数．
(2)因为x∈[－3，3]，f(－x)＝5(－x)4－4(－x)2＋7＝5x4－4x2＋7＝f(x)，
所以函数f(x)是偶函数．
(3)当x>0时，f(x)＝1－x2，
此时－x<0，
所以f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1，
所以f(－x)＝－f(x)；
当x<0时，f(x)＝x2－1，此时－x>0，
f(－x)＝1－(－x)2＝1－x2，
所以f(－x)＝－f(x)；
当x＝0时，f(－0)＝－f(0)＝0.
综上，对x∈R，
总有f(－x)＝－f(x)，
所以函数f(x)为R上的奇函数．
8．定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图像如图所示．
(1)补全f(x)的图像；
(2)解不等式xf(x)>0.
解：(1)描出点(1，1)，(2，0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－2，0)，
则可得f(x)的图像如图所示．
(2)结合函数f(x)的图像，可知不等式xf(x)>0的解集是(－2，0)∪(0，2)．
[B 能力提升]
9．设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A．f(x)g(x)是偶函数
B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数
D．|f(x)g(x)|是奇函数
解析：选C.依题意得对任意x∈R，都有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，因此，f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－[f(x)·g(x)]，f(x)g(x)是奇函数，A错；|f(－x)|·g(－x)＝|－f(x)|·g(x)＝|f(x)|·g(x)，|f(x)|·g(x)是偶函数，B错；f(－x)·|g(－x)|＝－f(x)·|g(x)|＝－[f(x)|g(x)|]，f(x)·|g(x)|是奇函数，C正确；|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，|f(x)g(x)|是偶函数，D错．故选C.
10．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
解析：选C.因为f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，
所以f(－x)－g(－x)＝－x3＋x2＋1，
又由题意可知f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
所以f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝1，故选C.
11．已知奇函数f(x)＝
(1)求实数m的值，并画出y＝f(x)的图像；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，试确定a的取值范围．
解：(1)当x<0时，－x>0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)＝－x2－2x，
所以f(x)＝x2＋2x，所以m＝2.
y＝f(x)的图像如图所示．
(2)由(1)知
f(x)＝
由图像可知，f(x)在[－1，1]上单调递增，要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，只需解得1<a≤3.
12．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意a、b∈R，当a＋b≠0时，都有>0.
(1)若a>b，试比较f(a)与f(b)的大小关系；
(2)若f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，求实数m的取值范围．
解：(1)因为a>b，所以a－b>0，
由题意得>0，
所以f(a)＋f(－b)>0.
又f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(－b)＝－f(b)，
所以f(a)－f(b)>0，即f(a)>f(b)．
(2)由(1)知f(x)为R上的单调递增函数，
因为f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，
所以f(1＋m)≥－f(3－2m)，
即f(1＋m)≥f(2m－3)，
所以1＋m≥2m－3，
所以m≤4.
所以实数m的取值范围为(－∞，4]．
[C 拓展探究]
13．已知f(x)是定义在R上的函数，设g(x)＝，h(x)＝.
(1)试判断g(x)与h(x)的奇偶性；
(2)试判断g(x)，h(x)与f(x)的关系；
(3)由此你能猜想出什么样的结论？
解：(1)因为g(－x)＝＝g(x)，h(－x)＝＝－h(x)，所以g(x)是偶函数，h(x)是奇函数．
(2)g(x)＋h(x)＝＋＝f(x)．
(3)如果一个函数的定义域关于原点对称，那么这个函数就一定可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和．
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