资源描述
第2课时 函数奇偶性的应用（习题课）
[A 基础达标]
1．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
解析：选A.因为f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数，
所以由f(－x)＝f(x)，得b＝0.所以g(x)＝ax3＋cx.
所以g(－x)＝a(－x)3＋c(－x)＝－g(x)，
所以g(x)为奇函数．
2．若函数f(x)＝(m－1)x2＋(m2－1)x＋1是偶函数，则在区间(－∞，0]上，f(x)( )
A．可能是增函数，也可能是常函数
B．是增函数
C．是常函数
D．是减函数
解析：选A.因为f(x)是偶函数，
所以m＝±1；
当m＝1时，f(x)＝1是常函数；
当m＝－1时，f(x)＝－2x2＋1在(－∞，0]上是增函数．
3．(2019·焦作检测)设f(x)为偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数，f(－2)＝0，则xf(x)＜0的解集为( )
A．(－1，0)∪(2，＋∞)
B．(－∞，－2)∪(0，2)
C．(－2，0)∪(2，＋∞)
D．(－2，0)∪(0，2)
解析：选C.根据题意，偶函数f(x)在(－∞，0)上为增函数，又f(－2)＝0，
则函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(－2)＝f(2)＝0，函数f(x)的草图如图，
又由xf(x)＜0⇒或，
由图可得－2＜x＜0或x＞2，
即不等式的解集为(－2，0)∪(2，＋∞)．故选C.
4.(2019·宁波检测)已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8(a，b是常数)，且f(－3)＝5，则f(3)＝( )
A．21 B．－21
C．26 D．－26
解析：选B.设g(x)＝x5＋ax3＋bx，则g(x)为奇函数．由题设可得f(－3)＝g(－3)－8＝5，得g(－3)＝13.又g(x)为奇函数，所以g(3)＝－g(－3)＝－13，于是f(3)＝g(3)－8＝－13－8＝－21.
5．(2019·青岛二中检测)设f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，若x1<0且x1＋x2>0，则( )
A．f(－x1)>f(－x2)
B．f(－x1)＝f(－x2)
C．f(－x1)<f(－x2)
D．f(－x1)与f(－x2)的大小关系不确定
解析：选A.因为x2>－x1>0，f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以f(x2)<f(－x1)．
又f(x)是R上的偶函数，所以f(－x2)＝f(x2)，
所以f(－x2)<f(－x1)．
6．已知y＝f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝x2＋ax，且f(3)＝6，则a的值为________．
解析：因为f(x)是奇函数，
所以f(－3)＝－f(3)＝－6，
所以(－3)2＋a(－3)＝－6，
解得a＝5.
答案：5
7．已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0，若f(x－1)＞0，则x的取值范围是________．
解析：根据偶函数的性质，易知f(x)＞0的解集为(－2，2)，若f(x－1)＞0，则－2＜x－1＜2，解得－1＜x＜3.
答案：(－1，3)
8．若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________．
解析：f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)＝bx2＋(2a＋ab)x＋2a2是偶函数，
因为图象关于y轴对称，且它的值域为(－∞，4]，
所以2a＋ab＝0，所以b＝－2或a＝0(舍去)，
所以f(x)＝－2x2＋2a2，
又因为值域为(－∞，4]，所以2a2＝4，
所以f(x)＝－2x2＋4.
答案：－2x2＋4
9．已知函数f(x)＝1－.
(1)若g(x)＝f(x)－a为奇函数，求a的值；
(2)试判断f(x)在(0，＋∞)内的单调性，并用定义证明．
解：(1)由已知g(x)＝f(x)－a，
得g(x)＝1－a－，
因为g(x)是奇函数，
所以g(－x)＝－g(x)，
即1－a－＝－，
解得a＝1.
(2)函数f(x)在(0，＋∞)内为增函数．
证明如下：
设0<x1<x2，则f(x1)－f(x2)
＝1－－＝.
因为0<x1<x2，
所以x1－x2<0，x1x2>0，
从而<0，即f(x1)<f(x2)．
所以函数f(x)在(0，＋∞)内是增函数．
10.设f(x)为定义在R上的偶函数，当0≤x≤2时，y＝x；当x>2时，y＝f(x)的图象是顶点为P(3，4)且过点A(2，2)的抛物线的一部分．
(1)求函数f(x)在(－∞，－2)上的解析式；
(2)在图中的直角坐标系中画出函数f(x)的图象；
(3)写出函数f(x)的值域和单调区间．
解：(1)当x>2时，设f(x)＝a(x－3)2＋4.
因为f(x)的图象过点A(2，2)，
所以a(2－3)2＋4＝2，
所以a＝－2，
所以f(x)＝－2(x－3)2＋4.
设x∈(－∞，－2)，则－x>2，
所以f(－x)＝－2(－x－3)2＋4.
又因为f(x)在R上为偶函数，
所以f(－x)＝f(x)，
所以f(x)＝－2(－x－3)2＋4，
即f(x)＝－2(x＋3)2＋4，x∈(－∞，－2)．
(2)函数图象如图所示．
(3)由图象观察知f(x)的值域为{y|y≤4}．单调增区间为(－∞，－3]和[0，3]；
单调减区间为[－3，0]和[3，＋∞)．
[B 能力提升]
11．若f(x)是偶函数，其定义域为(－∞，＋∞)，且在[0，＋∞)上是减函数，则f与f的大小关系是( )
A．f>f
B．f<f
C．f≥f
D．f≤f
解析：选C.因为a2＋2a＋＝(a＋1)2＋≥，又因为f(x)在[0，＋∞)上是减函数，
所以f≤f＝f.
12．若f(x)和g(x)都是奇函数，且F(x)＝f(x)＋g(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值8，则在(－∞，0)上F(x)有( )
A．最小值－8 B．最大值－8
C．最小值－6 D．最小值－4
解析：选D.根据题意有f(x)＋g(x)在(0，＋∞)上有最大值6，又因为f(x)和g(x)都是奇函数，所以f(x)＋g(x)是奇函数且f(x)＋g(x)在(－∞，0)上有最小值－6，则F(x)在(－∞，0)上有最小值－6＋2＝－4，故选D.
13．设函数f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋4x.
(1)求f(x)的表达式；
(2)证明f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数．
解：(1)当x<0时，－x>0，所以f(－x)＝(－x)2＋4(－x)＝x2－4x.
因为f(x)是奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)＝－f(－x)＝－(x2－4x)＝－x2＋4x(x<0)，
所以f(x)＝
(2)证明：设任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，则f(x2)－f(x1)＝(x＋4x2)－(x＋4x1)＝(x2－x1)(x2＋x1＋4)．因为0<x1<x2，所以x2－x1>0，x2＋x1＋4>0，
所以f(x2)－f(x1)>0，所以f(x1)<f(x2)，所以f(x)是(0，＋∞)上的增函数．
14．已知函数f(x)＝是定义在(－1，1)上的奇函数，且f＝.
(1)确定函数f(x)的解析式；
(2)用定义证明f(x)在(－1，1)上是增函数；
(3)解不等式：f(t－1)＋f(t)＜0.
解：(1)由题意，得
所以
故f(x)＝.
(2)证明：任取－1＜x1＜x2＜1，
则f(x1)－f(x2)＝－
＝.
因为－1＜x1＜x2＜1，所以x1－x2＜0，1＋x＞0，1＋x＞0.
又－1＜x1x2＜1，所以1－x1x2＞0.
所以f(x1)－f(x2)＜0，
所以f(x)在(－1，1)上是增函数．
(3)f(t－1)＜－f(t)＝f(－t)．
因为f(x)在(－1，1)上是增函数，所以－1＜t－1＜－t＜1，解得0＜t＜.
所以不等式的解集为.
[C 拓展探究]
15．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b均为实数)，
x∈R，F(x)＝
(1)若f(－1)＝0，且函数f(x)的值域为[0，＋∞)，求F(x)的解析式；
(2)在(1)的条件下，当x∈[－2，2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求实数k的取值范围；
(3)设mn＜0，m＋n＞0，a＞0，且f(x)为偶函数，判断F(m)＋F(n)是否大于零，并说明理由．
解：(1)因为f(－1)＝0，
所以a－b＋1＝0 ①.
又函数f(x)的值域为[0，＋∞)，所以a≠0.
由y＝a＋，知＝0，
即4a－b2＝0 ②.
解①②，得a＝1，b＝2.
所以f(x)＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2.
所以F(x)＝
(2)由(1)得g(x)＝f(x)－kx＝x2＋2x＋1－kx＝x2＋(2－k)x＋1＝＋1－.
因为当x∈[－2，2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，
所以≤－2或≥2，
即k≤－2或k≥6，
故实数k的取值范围为(－∞，－2]∪[6，＋∞)．
(3)大于零．理由如下：
因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝ax2＋1，
所以F(x)＝
不妨设m＞n，则n＜0.
由m＋n＞0，得m＞－n＞0，
所以|m|＞|－n|，
又a＞0，
所以F(m)＋F(n)＝f(m)－f(n)＝(am2＋1)－(an2＋1)＝a(m2－n2)＞0，
所以F(m)＋F(n)大于零．
- 7 -
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
