1、第2课时 函数奇偶性的应用（习题课）A基础达标1若f(x)ax2bxc(a0)是偶函数，则g(x)ax3bx2cx是()A奇函数B偶函数C非奇非偶函数D既是奇函数又是偶函数解析：选A.因为f(x)ax2bxc是偶函数，所以由f(x)f(x)，得b0.所以g(x)ax3cx.所以g(x)a(x)3c(x)g(x)，所以g(x)为奇函数2若函数f(x)(m1)x2(m21)x1是偶函数，则在区间(，0上，f(x)()A可能是增函数，也可能是常函数B是增函数C是常函数D是减函数解析：选A.因为f(x)是偶函数，所以m1；当m1时，f(x)1是常函数；当m1时，f(x)2x21在(，0上是增函数3(2
2、019焦作检测)设f(x)为偶函数，且在区间(，0)上是增函数，f(2)0，则xf(x)0的解集为()A(1，0)(2，)B(，2)(0，2)C(2，0)(2，)D(2，0)(0，2)解析：选C.根据题意，偶函数f(x)在(，0)上为增函数，又f(2)0，则函数f(x)在(0，)上为减函数，且f(2)f(2)0，函数f(x)的草图如图，又由xf(x)0或，由图可得2x0或x2，即不等式的解集为(2，0)(2，)故选C. 4.(2019宁波检测)已知f(x)x5ax3bx8(a，b是常数)，且f(3)5，则f(3)()A21B21C26D26解析：选B.设g(x)x5ax3bx，则g(x)为奇函
3、数由题设可得f(3)g(3)85，得g(3)13.又g(x)为奇函数，所以g(3)g(3)13，于是f(3)g(3)813821.5(2019青岛二中检测)设f(x)是R上的偶函数，且在(0，)上是减函数，若x10，则()Af(x1)f(x2)Bf(x1)f(x2)Cf(x1)x10，f(x)在(0，)上是减函数，所以f(x2)f(x1)又f(x)是R上的偶函数，所以f(x2)f(x2)，所以f(x2)f(x1)6已知yf(x)是奇函数，当x0时，f(x)x2ax，且f(3)6，则a的值为_解析：因为f(x)是奇函数，所以f(3)f(3)6，所以(3)2a(3)6，解得a5.答案：57已知偶函
4、数f(x)在0，)上单调递减，f(2)0，若f(x1)0，则x的取值范围是_解析：根据偶函数的性质，易知f(x)0的解集为(2，2)，若f(x1)0，则2x12，解得1x3.答案：(1，3)8若函数f(x)(xa)(bx2a)(常数a，bR)是偶函数，且它的值域为(，4，则该函数的解析式f(x)_解析：f(x)(xa)(bx2a)bx2(2aab)x2a2是偶函数，因为图象关于y轴对称，且它的值域为(，4，所以2aab0，所以b2或a0(舍去)，所以f(x)2x22a2，又因为值域为(，4，所以2a24，所以f(x)2x24.答案：2x249已知函数f(x)1.(1)若g(x)f(x)a为奇函
5、数，求a的值；(2)试判断f(x)在(0，)内的单调性，并用定义证明解：(1)由已知g(x)f(x)a，得g(x)1a，因为g(x)是奇函数，所以g(x)g(x)，即1a，解得a1.(2)函数f(x)在(0，)内为增函数证明如下：设0x1x2，则f(x1)f(x2)1.因为0x1x2，所以x1x20，从而0，即f(x1)2时，yf(x)的图象是顶点为P(3，4)且过点A(2，2)的抛物线的一部分(1)求函数f(x)在(，2)上的解析式；(2)在图中的直角坐标系中画出函数f(x)的图象；(3)写出函数f(x)的值域和单调区间解：(1)当x2时，设f(x)a(x3)24.因为f(x)的图象过点A(
6、2，2)，所以a(23)242，所以a2，所以f(x)2(x3)24.设x(，2)，则x2，所以f(x)2(x3)24.又因为f(x)在R上为偶函数，所以f(x)f(x)，所以f(x)2(x3)24，即f(x)2(x3)24，x(，2)(2)函数图象如图所示(3)由图象观察知f(x)的值域为y|y4单调增区间为(，3和0，3；单调减区间为3，0和3，)B能力提升11若f(x)是偶函数，其定义域为(，)，且在0，)上是减函数，则f与f的大小关系是()AffBffCffDff解析：选C.因为a22a(a1)2，又因为f(x)在0，)上是减函数，所以fff.12若f(x)和g(x)都是奇函数，且F(
7、x)f(x)g(x)2在(0，)上有最大值8，则在(，0)上F(x)有()A最小值8B最大值8C最小值6D最小值4解析：选D.根据题意有f(x)g(x)在(0，)上有最大值6，又因为f(x)和g(x)都是奇函数，所以f(x)g(x)是奇函数且f(x)g(x)在(，0)上有最小值6，则F(x)在(，0)上有最小值624，故选D.13设函数f(x)是R上的奇函数，当x0时，f(x)x24x.(1)求f(x)的表达式；(2)证明f(x)在区间(0，)上是增函数解：(1)当x0，所以f(x)(x)24(x)x24x.因为f(x)是奇函数，所以f(x)f(x)，所以f(x)f(x)(x24x)x24x(
8、x0)，所以f(x)(2)证明：设任意的x1，x2(0，)，且x1x2，则f(x2)f(x1)(x4x2)(x4x1)(x2x1)(x2x14)因为0x10，x2x140，所以f(x2)f(x1)0，所以f(x1)f(x2)，所以f(x)是(0，)上的增函数14已知函数f(x)是定义在(1，1)上的奇函数，且f.(1)确定函数f(x)的解析式；(2)用定义证明f(x)在(1，1)上是增函数；(3)解不等式：f(t1)f(t)0.解：(1)由题意，得所以故f(x).(2)证明：任取1x1x21，则f(x1)f(x2).因为1x1x21，所以x1x20，1x0，1x0.又1x1x21，所以1x1x
9、20.所以f(x1)f(x2)0，所以f(x)在(1，1)上是增函数(3)f(t1)f(t)f(t)因为f(x)在(1，1)上是增函数，所以1t1t1，解得0t.所以不等式的解集为.C拓展探究15已知函数f(x)ax2bx1(a，b均为实数)，xR，F(x)(1)若f(1)0，且函数f(x)的值域为0，)，求F(x)的解析式；(2)在(1)的条件下，当x2，2时，g(x)f(x)kx是单调函数，求实数k的取值范围；(3)设mn0，mn0，a0，且f(x)为偶函数，判断F(m)F(n)是否大于零，并说明理由解：(1)因为f(1)0，所以ab10.又函数f(x)的值域为0，)，所以a0.由ya，知0，即4ab20.解，得a1，b2.所以f(x)x22x1(x1)2.所以F(x)(2)由(1)得g(x)f(x)kxx22x1kxx2(2k)x11.因为当x2，2时，g(x)f(x)kx是单调函数，所以2或2，即k2或k6，故实数k的取值范围为(，26，)(3)大于零理由如下：因为f(x)为偶函数，所以f(x)ax21，所以F(x)不妨设mn，则n0.由mn0，得mn0，所以|m|n|，又a0，所以F(m)F(n)f(m)f(n)(am21)(an21)a(m2n2)0，所以F(m)F(n)大于零- 7 -
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