资源描述
3.3 幂函数
[A 基础达标]
1．在下列函数中，定义域和值域不同的是( )
A．y＝x B．y＝x
C．y＝x D．y＝x
解析：选D.A，C的定义域和值域都是R；B的定义域和值域都是[0，＋∞)；D的定义域是R，值域是[0，＋∞)．故选D.
2．已知m＝(a2＋3)－1(a≠0)，n＝3－1，则( )
A．m>n B．m<n
C．m＝n D．m与n的大小不确定
解析：选B.设f(x)＝x－1，已知a≠0，则a2＋3>3>0，f(x)在(0，＋∞)上是减函数，则f(a2＋3)<f(3)，即(a2＋3)－1<3－1，故m<n.
3．(2019·成都检测)已知a＝1.2，b＝0.9，c＝，则( )
A．c<b<a B．c<a<b
C．b<a<c D．a<c<b
解析：选A.b＝0.9＝＝，c＝＝1.1，因为f(x)＝x在[0，＋∞)上单调递增，且1.2>>1.1，所以1.2>>1.1，即a>b>c.
4．已知当x∈(1，＋∞)时，函数y＝xα的图象恒在直线y＝x的下方，则α的取值范围是( )
A．0<α<1 B．α<0
C．α<1 D．α>1
解析：选C.由幂函数的图象特征知α<1.
5．已知幂函数f(x)＝xα的部分对应值如表：
x
1
f(x)
1
则f(x)的单调递增区间是________．
解析：因为f＝，所以＝，即α＝，
所以f(x)＝x的单调递增区间是[0，＋∞)．
答案：[0，＋∞)
6．已知2.4α＞2.5α，则α的取值范围是________．
解析：因为0＜2.4＜2.5，而2.4α＞2.5α，
所以y＝xα在(0，＋∞)上为减函数．故α<0.
答案：α＜0
7．已知幂函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象关于y轴对称，并且f(x)在第一象限内是单调递减函数，则m＝________．
解析：因为幂函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象关于y轴对称，所以函数f(x)是偶函数，所以m2－2m－3为偶数，所以m2－2m为奇数．又因为f(x)在第一象限内是单调递减函数，故m2－2m－3<0，所以m＝1.
答案：1
8．已知函数y＝(a2－3a＋2)xa2－5a＋5(a为常数)，问：
(1)当a为何值时，此函数为幂函数？
(2)当a为何值时，此函数为正比例函数？
(3)当a为何值时，此函数为反比例函数？
解：(1)由题意知a2－3a＋2＝1，即a2－3a＋1＝0，
解得a＝.
(2)由题意知解得a＝4.
(3)由题意知解得a＝3.
9．已知幂函数f(x)＝(2m2－6m＋5)xm＋1为偶函数．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若函数y＝f(x)－2(a－1)x＋1在区间(2，3)上为单调函数，求实数a的取值范围．
解：(1)由f(x)为幂函数知2m2－6m＋5＝1，即m2－3m＋2＝0，得m＝1或m＝2.
当m＝1时，f(x)＝x2，符合题意；当m＝2时，f(x)＝x3，为奇函数，不符合题意，舍去．所以f(x)＝x2.
(2)由(1)得y＝f(x)－2(a－1)x＋1＝x2－2(a－1)x＋1，即函数的对称轴为x＝a－1，由题意知函数在(2，3)上为单调函数，所以对称轴a－1≤2或a－1≥3，即a≤3或a≥4.故实数a的取值范围是(－∞，3]∪[4，＋∞)．
[B 能力提升])
10．如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则( )
A．－1＜n＜0＜m＜1
B．n＜－1，0＜m＜1
C．－1＜n＜0，m＞1
D．n＜－1，m＞1
解析：选B.在(0，1)内取x0，作直线x＝x0，与各图象有交点，则“点低指数大”．如图，0＜m＜1，n＜－1.
11．当0<x<1时，f(x)＝x2，g(x)＝x，h(x)＝x－2的大小关系是( )
A．h(x)<g(x)<f(x) B．h(x)<f(x)<g(x)
C．g(x)<h(x)<f(x) D．f(x)<g(x)<h(x)
解析：选D.特值法．取x＝代入排除A、B、C，可知D正确．故选D.
12．若(a＋1) <(3－2a) ，求a的取值范围．
解：(a＋1) <(3－2a) ⇔<，函数y＝x在[0，＋∞)上是增函数，所以解得<a<，故a的取值范围为.
13．已知幂函数f(x)＝x (m－2)(m∈N)是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，求函数f(x)的解析式，并讨论g(x)＝a－的奇偶性．
解：由f(x)＝x (m－2) (m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，得(m－2)＜0，所以m＜2.因为m∈N，所以m＝0，1.
因为f(x)是偶函数，所以只有当m＝0时符合题意，故f(x)＝x.于是g(x)＝－，g(－x)＝＋，且g(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
当a≠0且b≠0时，g(x)既不是奇函数也不是偶函数；
当a＝0且b≠0时，g(x)为奇函数；
当a≠0且b＝0时，g(x)为偶函数；
当a＝0且b＝0时，g(x)既是奇函数又是偶函数．
[C 拓展探究]
14．已知幂函数f(x)＝xp2＋p＋ (p∈N)在(0，＋∞)上是增函数，且在定义域上是偶函数．
(1)求p的值，并写出相应的函数f(x)的解析式；
(2)对于(1)中求得的函数f(x)，设函数g(x)＝－qf(f(x))＋(2q－1)f(x)＋1，问：是否存在实数q(q＜0)，使得g(x)在区间(－∞，－4]上是减函数，且在区间(－4，0)上是增函数？若存在，请求出q的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)因为f(x)在(0，＋∞)上是增函数，由幂函数的图象和性质知－p2＋p＋＞0，解得－1＜p＜3.
因为p∈N，所以p＝2，1，0.
当p＝0或2时，f(x)＝x，不是偶函数；
当p＝1时，f(x)＝x2，是偶函数．故p＝1，f(x)＝x2.
(2)g(x)＝－qx4＋(2q－1)x2＋1，令t＝x2，则h(t)＝－qt2＋(2q－1)t＋1(t≥0)．因为t＝x2在(－∞，0)上是减函数，所以当x∈(－∞，－4]时，t∈[16，＋∞)；当x∈(－4，0)时，t∈(0，16)．当h(t)在[16，＋∞)上是增函数，在(0，16)上是减函数时，g(x)在(－∞，－4]上是减函数，在(－4，0)上是增函数，此时二次函数h(t)的对称轴方程是t＝16，即t＝＝1－＝16，所以q＝－.故存在实数q＝－，使得g(x)在(－∞，－4]上是减函数，且在(－4，0)上是增函数．
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