1、3.3 幂函数 A基础达标1在下列函数中,定义域和值域不同的是()AyxByxCyxDyx解析:选D.A,C的定义域和值域都是R;B的定义域和值域都是0,);D的定义域是R,值域是0,)故选D.2已知m(a23)1(a0),n31,则()AmnBm30,f(x)在(0,)上是减函数,则f(a23)f(3),即(a23)131,故mn.3(2019成都检测)已知a1.2,b0.9,c,则()AcbaBcabCbacDac1.1,所以1.21.1,即abc.4已知当x(1,)时,函数yx的图象恒在直线yx的下方,则的取值范围是()A01B0C1解析:选C.由幂函数的图象特征知1.5已知幂函数f(x
2、)x的部分对应值如表:x1f(x)1则f(x)的单调递增区间是_解析:因为f,所以,即,所以f(x)x的单调递增区间是0,)答案:0,)6已知2.42.5,则的取值范围是_解析:因为02.42.5,而2.42.5,所以yx在(0,)上为减函数故0.答案:07已知幂函数f(x)xm22m3(mZ)的图象关于y轴对称,并且f(x)在第一象限内是单调递减函数,则m_解析:因为幂函数f(x)xm22m3(mZ)的图象关于y轴对称,所以函数f(x)是偶函数,所以m22m3为偶数,所以m22m为奇数又因为f(x)在第一象限内是单调递减函数,故m22m30,所以m1.答案:18已知函数y(a23a2)xa2
3、5a5(a为常数),问:(1)当a为何值时,此函数为幂函数?(2)当a为何值时,此函数为正比例函数?(3)当a为何值时,此函数为反比例函数?解:(1)由题意知a23a21,即a23a10,解得a.(2)由题意知解得a4.(3)由题意知解得a3.9已知幂函数f(x)(2m26m5)xm1为偶函数(1)求f(x)的解析式;(2)若函数yf(x)2(a1)x1在区间(2,3)上为单调函数,求实数a的取值范围解:(1)由f(x)为幂函数知2m26m51,即m23m20,得m1或m2.当m1时,f(x)x2,符合题意;当m2时,f(x)x3,为奇函数,不符合题意,舍去所以f(x)x2.(2)由(1)得y
4、f(x)2(a1)x1x22(a1)x1,即函数的对称轴为xa1,由题意知函数在(2,3)上为单调函数,所以对称轴a12或a13,即a3或a4.故实数a的取值范围是(,34,)B能力提升)10如图是幂函数yxm与yxn在第一象限内的图象,则()A1n0m1Bn1,0m1C1n0,m1Dn1,m1解析:选B.在(0,1)内取x0,作直线xx0,与各图象有交点,则“点低指数大”如图,0m1,n1.11当0x1时,f(x)x2,g(x)x,h(x)x2的大小关系是()Ah(x)g(x)f(x)Bh(x)f(x)g(x)Cg(x)h(x)f(x)Df(x)g(x)h(x)解析:选D.特值法取x代入排除
5、A、B、C,可知D正确故选D.12若(a1) (32a) ,求a的取值范围解:(a1) (32a) ,函数yx在0,)上是增函数,所以解得a,故a的取值范围为.13已知幂函数f(x)x (m2)(mN)是偶函数,且在(0,)上是减函数,求函数f(x)的解析式,并讨论g(x)a的奇偶性解:由f(x)x (m2) (mN)在(0,)上是减函数,得(m2)0,所以m2.因为mN,所以m0,1.因为f(x)是偶函数,所以只有当m0时符合题意,故f(x)x.于是g(x),g(x),且g(x)的定义域为(,0)(0,),关于原点对称当a0且b0时,g(x)既不是奇函数也不是偶函数;当a0且b0时,g(x)
6、为奇函数;当a0且b0时,g(x)为偶函数;当a0且b0时,g(x)既是奇函数又是偶函数C拓展探究14已知幂函数f(x)xp2p (pN)在(0,)上是增函数,且在定义域上是偶函数(1)求p的值,并写出相应的函数f(x)的解析式;(2)对于(1)中求得的函数f(x),设函数g(x)qf(f(x)(2q1)f(x)1,问:是否存在实数q(q0),使得g(x)在区间(,4上是减函数,且在区间(4,0)上是增函数?若存在,请求出q的值;若不存在,请说明理由解:(1)因为f(x)在(0,)上是增函数,由幂函数的图象和性质知p2p0,解得1p3.因为pN,所以p2,1,0.当p0或2时,f(x)x,不是偶函数;当p1时,f(x)x2,是偶函数故p1,f(x)x2.(2)g(x)qx4(2q1)x21,令tx2,则h(t)qt2(2q1)t1(t0)因为tx2在(,0)上是减函数,所以当x(,4时,t16,);当x(4,0)时,t(0,16)当h(t)在16,)上是增函数,在(0,16)上是减函数时,g(x)在(,4上是减函数,在(4,0)上是增函数,此时二次函数h(t)的对称轴方程是t16,即t116,所以q.故存在实数q,使得g(x)在(,4上是减函数,且在(4,0)上是增函数- 5 -