高中数学专题训练(教师版)—简单的三角恒等变换.doc

高中数学专题训练（教师版）—简单的三角恒等变换
一、选择题
1．(2011·湖北八校)已知x∈(－，0)，cosx＝，则tan2x＝(　　)
A．－　　　　　　　　B．－
C. D.
答案　A
解析　方法一　因为x∈(－，0)，∴sinx<0，∴sinx＝－，∴sin2x＝2sinxcosx＝－，cos2x＝2cos2x－1＝，∴tan2x＝＝－.
方法二　由方法一知：sinx＝－，∴tanx＝－，
∴tan2x＝＝－.
2．已知450°<α<540°，则的值是(　　)
A．－sin B．cos
C．sin D．－cos
答案　A
解析　原式＝
＝＝|sin|.
∵450°<α<540°，∴225°<<270°.
∴原式＝－sin.
3．已知θ是第三象限的角，且sin4θ＋cos4θ＝，那么sin2θ的值为(　　)
A. B．－
C. D．－
答案　A
解析　∵sin2θ＋cos2θ＝1
∴(sin2θ＋cos2θ)2＝sin4θ＋2sin2θcos2θ＋cos4θ＝1
∴2sin2θcos2θ＝，∴(sin2θ)2＝
∵2kπ＋π<θ<2kπ＋，∴4kπ＋2π<2θ<4kπ＋3π
∴sin2θ>0，∴sin2θ＝.
4．已知函数f(x)＝sinx－cosx且f′(x)＝2f(x)，f′(x)是f(x)的导函数，则＝(　　)
A．－ B.
C. D．－
答案　A
解析　f′(x)＝cosx＋sinx，由f′(x)＝2f(x)即cosx＋sinx＝2(sinx－cosx)，得tanx＝3，所以＝＝＝＝－.
5．若＝－，则sinα＋cosα的值为(　　)
A．－ B．－
C. D.
答案　C
解析　＝
＝＝－2cos(－α)
＝－2(sinα＋cosα)＝－(sinα＋cosα)＝－.
所以sinα＋cosα＝.
二、填空题
6．(2011·衡水调研)已知sinx＝，则sin2(x－)＝________.
答案　2－
解析　sin2(x－)＝sin(2x－)＝－cos2x
＝－(1－2sin2x)＝2sin2x－1＝2－.
7．(2011·杭州)设α为第四象限的角，若＝，则tan2α＝__________.
答案　－
解析　＝
＝＝.
∴2cos2α＋cos2α＝，2cos2α－1＋cos2α＝.
∴cos2α＝.
∵2kπ－<α<2kπ，∴4kπ－π<2α<4kπ，
又∵cos2α＝>0，∴2α为第四象限的角。
sin2α＝－＝－，∴tan2α＝－.
8．已知sinα＝cos2α，α∈(，π)，则tanα＝________.
答案　－
解析　sinα＝1－2sin2α，∴2sin2α＋sinα－1＝0
∴(2sinα－1)(sinα＋1)＝0，∵α∈(，π)
∴2sinα－1＝0
∴sinα＝，cosα＝－，∴tanα＝－.
9．已知cos(α＋β)cos(α－β)＝，则cos2α－sin2β＝________.
答案　
解析　解法一：(cosαcosβ－sinαsinβ)(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝
∴cos2αcos2β－sin2αsin2β＝
∴cos2α(1－sin2β)－(1－cos2α)sin2β＝
∴cos2α－sin2β＝
解法二：cos(α＋β)cos(α－β)＝[cos2α＋cos2β]＝
即[2cos2α－1＋1－2sin2β]＝
∴cos2α－sin2β＝.
10．(2011·济宁)已知tan(＋θ)＝3，则sin2θ－2cos2θ＝__________.
答案　－
解析　解法一：sin2θ－2cos2θ＝sin2θ－cos2θ－1
sin2θ＝－cos2(θ＋)＝－＝
cos2θ＝sin2(θ＋)
＝＝
∴原式＝－－1＝－
解法二：tan(＋θ)＝3，＝3，解得tanθ＝，
sin2θ－2cos2θ＝＝＝－.
11．(2010·全国卷Ⅱ，理)已知α是第二象限的角，tan (π＋2α)＝－，则tan α＝________.
答案　－
解析　由题设得tan(π＋2α)＝tan 2α＝－，所以tan 2α＝－，由二倍角公式得tan 2α＝＝－，整理得2tan2α－3tan α－2＝0，解得tan α＝2，或tan α＝－，又α是第二象限的角，所以tan α＝－
三、解答题
12．化简：.
解析　原式＝
＝
＝
＝＝cos2x
13．(1)已知tan＝，求cos2θ的值．
(2)已知sinθ＋cosθ＝－，θ∈(0，π)，求cos.
解析　(1)cosθ＝cos2－sin2
＝＝
cos2θ＝2cos2θ－1＝－
(2)(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝
∴sinθcosθ＝－<0
∴θ∈(，π)
由，得
∴cos＝＝
14．已知0＜α＜，＜β＜π且tan＝，sin(α＋β)＝.
(1)分别求cosα与cosβ的值；
(2)求tan的值．
答案　(1)cosα＝　cosβ＝－　(2)－
解析　(1)cosα＝cos2－sin2＝
＝＝
∵0＜α＜， ∴sinα＝
∵α＋β∈(，), sin(α＋β)＝
∴cos(α＋β)＝－，
∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα
＝(－)·＋·＝－
(2)∵2cos2－1＝cosβ＝－且∈(，)
∴cos＝　∴sin＝
∴tan＝
∴tan＝＝－
15．已知角A、B、C为△ABC的三个内角，＝(sinB＋cosB，cosC)，＝(sinC，sinB－cosB)，·＝－.
(1)求tan2A的值；
(2)求的值．
解　(1)∵·＝(sinB＋cosB)sinC＋cosC(sinB－cosB)＝sin(B＋C)－cos(B＋C)＝－，
∴sinA＋cosA＝－，①
两边平方并整理得：2sinAcosA＝－，
∵－<0，∴A∈(，π)，
∴sinA－cosA＝＝.②
联立①②得：sinA＝，cosA＝－，
∴tanA＝－，
∴tan2A＝＝＝－.
(2)∵tanA＝－，
∴＝＝
＝＝13.

1．在△ABC中，tanA＋tanB＋＝tanA·tanB，且sinA·cosA＝，则此三角形为________．
答案　等边三角形
解析　∵tanA＋tanB＋＝tanAtanB，
∴tan(A＋B)＝－，得A＋B＝120°，
又由sinAcosA＝，得sin2A＝，
∴A＝60°(A＝30°舍去)，所以△ABC为等边三角形．
2．(2010·上海春季高考)已知tanθ＝a(a>1)，求.tan2θ的值．
答案　原式＝·
＝(1＋tanθ)·＝
3．在△ABC中，三内角分别为A、B、C，若4sinAsinB＝3cosAcosB，a＝(cos，－cos)，求|a|.
解析　∵4sinAsinB＝3cosAcosB
∴7(cosAcosB－sinAsinB)＝cosAcosB＋sinAsinB
∴7cos(A＋B)＝cos(A－B)
又A＋B＋C＝π， ∴－7cosC＝cos(A－B)
∴|a|＝
＝＝2
4．(08·安徽)已知<α<π，tanα＋cotα＝－，
(1)求tanα的值；
(2)求的值．
解析　(1)∵tanα＋cotα＝－，
∴3tan2α＋10tanα＋3＝0，
解得tanα＝－3或tanα＝－，
∵<α<π，∴－1<tanα<0.
∴tanα＝－.
(2)∵tanα＝－，
∴
＝
＝＝
＝＝－