1、课时跟踪检测（四十四） 简单的三角恒等变换
A级——学考水平达标练
1．已知2sin α＝1＋cos α，则tan＝( )
A． B．或不存在
C．2 D．2或不存在
解析：选B 2sin α＝1＋cos α，即4sincos＝2cos2，当cos＝0时，tan不存在，当cos≠0时，tan＝.
2．若cos 2α＝－，且α∈，则sin α＝( )
A． B．
C． D．－
解析：选A 因为α∈，所以sin α≥0，由半角公式可得sin α＝ ＝.
3．设a＝cos 6°－sin 6°，b＝2sin 13°cos 13°，c＝ ，则有( )
A
2、．c＜b＜a B．a＜b＜c
C．a＜c＜b D．b＜c＜a
解析：选C 由已知可得a＝sin 24°，b＝sin 26°，c＝sin 25°，所以a＜c＜b.
4．已知tan 2α＝－2，＜α＜，则＝( )
A．－3＋2 B．3－2
C．－ D．
解析：选A 因为tan 2α＝－2，＜α＜，
所以tan 2α＝＝－2，解得tan α＝，
所以＝＝＝＝－3＋2.
5．若sin θ＝，＜θ＜3π，则tan＋cos＝( )
A．3＋ B．3－
C．3＋ D．3－
解析：选B 因为＜θ＜3π，所以cos θ＝－＝－.因为＜＜，所以sin＜0，cos＜0
3、所以sin＝－ ＝－，cos＝－ ＝－，所以tan＝＝3.所以tan＋cos＝3－.
6．若3sin x－cos x＝2sin(x＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝________.
解析：因为3sin x－cos x
＝2
＝2sin，
又φ∈(－π，π)，所以φ＝－.
答案：－
7．若＝，则sin α＋cos α的值为________．
解析：∵＝tan＝，∴sin α＋cos α＝＋＝＝.
答案：
8．已知等腰三角形的顶角的正弦值为，则它的底角的余弦值为________．
解析：设等腰三角形的顶角为α，则底角为，由题意可知sin α＝，所以cos α＝± ＝±，所以
4、cos＝sin＝ ＝ ，所以cos＝或.
答案：或
9．化简：sin2x＋cos 2x.
解：原式＝sin2x＋cos 2x
＝sin2x·＋cos 2x
＝sin2x·＋cos 2x
＝sin 2x＋cos 2x＝sin.
10．已知tan＝，求sin的值．
解：∵tan＝，∴sin α＝2sincos＝＝＝＝，
cos α＝cos2－sin2＝＝＝＝.
∴sin＝sin αcos＋cos αsin＝×＋×＝.
B级——高考水平高分练
1．化简＝( )
A．1 B．－1
C．cos α D．－sin α
解析：选A 原式＝
＝＝＝＝
5、1.故选A.
2．如图，实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C，各段弧所在的圆经过同一点P(点P不在C上)且半径相等，设第i段弧所对的圆心角为αi(i＝1,2,3)，则coscos－sin·sin＝________.
解析：设三段圆弧交于A，B，D三点，连接PA，PB，PD，则∠APB＋∠APD＋∠BPD＝2π，从而α1＋α2＋α3＝4π，所以coscos－sinsin＝cos＝cos＝－.
答案：－
3．已知θ∈，sin 2θ＝，求sin θ.
解：因为θ∈，所以2θ∈，
所以cos 2θ≤0，所以cos 2θ＝－＝－ ＝－.
又cos 2θ＝1－2sin2θ，
所
6、以sin2θ＝＝＝，
因为θ∈，所以sin θ＞0，
所以sin θ＝.
4．已知函数f(x)＝sin x·(2cos x－sin x)＋cos2x.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若＜α＜，且f(α)＝－，求sin 2α的值．
解：(1)因为f(x)＝sin x·(2cos x－sin x)＋cos2x＝sin 2x－sin2x＋cos2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin，
所以函数f(x)的最小正周期是π.
(2)f(α)＝－，即sin＝－，
sin＝－.
因为＜α＜，所以＜2α＋＜，
所以cos＝－，
所以sin 2α＝sin
＝sin－cos
＝×－×＝.
5．已知点P在直径AB＝1的半圆上移动，过点P作切线PT，且PT＝1，∠PAB＝α，则当α为何值时，四边形ABTP的面积最大？
解：如图所示，∵AB为半圆的直径，∴∠APB＝，又AB＝1，∴PA＝cos α，PB＝sin α.
又PT切半圆于P点，∴∠TPB＝∠PAB＝α，
∴S四边形ABTP＝S△PAB＋S△TPB＝PA·PB＋PT·PB·sin α＝sin αcos α＋sin2α＝sin 2α＋(1－cos 2α)＝sin＋.
∵0＜α＜，∴－＜2α－＜，∴当2α－＝，即α＝时，S四边形ABTP取得最大值＋.
- 6 -
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
