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课时作业1 平面向量的概念
知识点一 平面向量的概念
1.下列说法正确的是( )
A．实数可以比较大小，向量也可以比较大小
B．方向不同的向量不能比较大小，但方向相同的向量可以比较大小
C．向量的模是正数
D．向量的模可以比较大小
答案 D
解析 对于A，数量可以比较大小，但向量是矢量，不能比较大小，A错误；对于B，向量是矢量，不能比较大小，B错误；对于C，零向量的模为0,0不是正数，C错误；对于D，向量的模长是数量，可以比较大小，故选D.
2．有下列说法：
①位移和速度都是向量；
②若向量，满足||>||，且与同向，则>；
③零向量没有方向；
④向量就是有向线段．
其中，正确说法的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 A
解析 对于①，位移和速度都是既有大小，又有方向的量，所以它们是向量，故①正确；对于②，因为向量不能比较大小，故②错误；对于③，零向量有方向，其方向是不确定的，故③错误；对于④，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，故④错误.
知识点二 向量的几何表示
3.在下图所示的坐标纸上(每个小方格的边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：
(1)，使||＝4，点A在点O北偏东45°方向上；
(2)，使||＝4，点B在点A正东方向上；
(3)，使||＝6，点C在点B北偏东30°方向上．
解 (1)由于点A在点O北偏东45°方向上，所以在坐标纸上，点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又||＝4，小方格的边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A的位置可以确定，画出向量，如图所示．
(2)由于点B在点A正东方向上，且||＝4，所以在坐标纸上，点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B的位置可以确定，画出向量，如图所示．
(3)由于点C在点B北偏东30°方向上，且||＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为3≈5.2，于是点C的位置可以确定，画出向量，如图所示．
4．某船从A点出发向西航行了150 km到达点B，然后改变方向向北偏西30°方向航行了200 km到达点C，最后又改变方向向东航行了150 km到达点D.作出向量，，.
解 作出向量，，，如图所示．
知识点三 相等向量与共线向量
5.给出下列命题：
①若|a|＝|b|，则向量a与b的长度相等且方向相同或相反；
②对于任意非零向量a，b，若|a|＝|b|且a与b的方向相同，则a＝b；
③非零向量a与非零向量b满足a∥b，则向量a与b方向相同或相反；
④向量与是共线向量，则A，B，C，D四点共线；
⑤若a∥b且b∥c，则a∥c.
其中正确的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 若|a|＝|b|，则向量a与b的长度相等而方向可以任意，故①不正确；根据相等向量的定义可知②正确；根据共线向量的定义可知③正确；向量与是共线向量，则A，B，C，D四点共线或AB∥CD，故④不正确；若b＝0，则a与c不一定共线，故⑤不正确．综上可知只有②③正确，故选C.
6．如图，以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中，
(1)写出与，相等的向量；
(2)写出与的模相等的向量．
解 (1)与相等的向量为，，与相等的向量为.
(2)与的模相等的向量为，，.
7. 如图，在△ABC中，三边长AB，BC，AC均不相等，E，F，D分别是边AC，AB，BC的中点．
(1)写出与共线的向量；
(2)写出与的模相等的向量；
(3)写出与相等的向量．
解 (1)∵E，F分别为边AC，AB的中点，
∴EF∥BC.
从而与共线的向量包括：，，，，，，.
(2)∵E，F，D分别是边AC，AB，BC的中点，
∴EF＝BC，BD＝DC＝BC.
又∵AB，BC，AC均不相等，从而与的模相等的向量有，，，，.
(3)与相等的向量有，.
8．如图，在四边形ABCD中，＝，N，M分别是边AD，BC上的点，且＝.
求证：＝.
证明 ∵＝，
∴||＝||且AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴||＝||，且DA∥CB.
又∵与的方向相同，∴＝.
同理可证，四边形CNAM是平行四边形，
∴＝.
∵||＝||，||＝||，
∴||＝||.
∵DN∥MB且与的方向相同，
∴＝.
一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A.∥就是所在的直线与所在的直线平行或重合
B．长度相等的向量叫做相等向量
C．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段
D．共线向量是在一条直线上的向量
答案 C
解析 由定义知，向量有大小、方向两个要素，而有向线段有起点、方向、长度三个要素，故C正确．
2．汽车以120 km/h的速度向西走了2 h，摩托车以45 km/h 的速度向东北方向走了2 h，则下列命题中正确的是( )
A．汽车的速度大于摩托车的速度
B．汽车的位移大于摩托车的位移
C．汽车走的路程大于摩托车走的路程
D．以上都不对
答案 C
解析 由向量不能比较大小，可知选C.
3．下列说法正确的是( )
A．有向线段与表示同一向量
B．两个有公共终点的向量是平行向量
C．零向量与单位向量是平行向量
D．对任一向量a，是一个单位向量
答案 C
解析 向量与方向相反，不是同一向量；有公共终点的向量的方向不一定相同或相反；当a＝0时，无意义，故A，B，D错误．零向量与任何向量都是平行向量，C正确．
4．下列结论中，正确的是( )
A．2019 cm长的有向线段不可能表示单位向量
B．若O是直线l上的一点，单位长度已选定，则l上有且仅有两个点A，B，使得，是单位向量
C．方向为北偏西50°的向量与南偏东50°的向量不可能是平行向量
D．一个人从A点向东走500米到达B点，则向量不能表示这个人从A点到B点的位移
答案 B
解析 一个单位长度取作2019 cm时，2019 cm长的有向线段刚好表示单位向量，故A错误；B正确；C中两向量为平行向量；D中的表示从点A到点B的位移．
5．O是△ABC内一点，且||＝||＝||，则O是△ABC的( )
A．重心 B．内心
C．外心 D．垂心
答案 C
解析 ∵||＝||＝||，∴O到三角形三个顶点的距离相等，∴点O是△ABC的外心，故选C.
二、填空题
6．如果在一个边长为5的正△ABC中，一个向量所对应的有向线段为(其中D在边BC上运动)，则向量长度的最小值为________．
答案
解析 结合图形进行判断求解(图略)，根据题意，在正△ABC中，有向线段AD长度最小时，AD应与边BC垂直，有向线段AD长度的最小值为正△ABC的高，为.
7．如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是边AD与BC的中点，则在以A，B，C，D四点中的任意两点为始点和终点的所有向量中，与向量方向相反的向量为________．
答案 ，
解析 由题意得AB∥EF，CD∥EF，
∴在以A，B，C，D四点中的任意两点为始点和终点的所有向量中，与平行的向量为，，，，其中方向相反的向量为，.
8．如图，在△ABC中，∠ACB的角平分线CD交AB于点D，的模为2，的模为3，的模为1，那么的模为________．
答案
解析 由三角形内角平分线的性质，得||∶||＝||∶||，故||＝.
三、解答题
9．在如图所示的方格纸上(每个小方格边长均为1)，已知向量a.
(1)试以B为起点画一个向量b，使b＝a；
(2)画一个以C为起点的向量c，使|c|＝2，并说出c的终点的轨迹是什么．
解 (1)根据相等向量的定义，所作向量应与a平行，且长度相等，如图所示．
(2)满足条件的向量c可以是图中的.
所有这样的向量c的终点的轨迹是以C为圆心，2为半径的圆，如图．
10．已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2000 km到达乙地，再从乙地按南偏东30°的方向飞行2000 km到达丙地，再从丙地西南方向飞行1000 km到达丁地，问丁地在甲的什么方向？丁地距甲地多远？
解 如图，用A，B，C，D分别表示甲地、乙地、丙地、丁地，依题意知△ABC为正三角形．
∴AC＝2000.
又∵∠ACD＝45°，
CD＝1000.
∴△ACD为等腰直角三角形．
即AD＝1000，∠CAD＝45°.
答：丁地在甲地的东南方向，距甲地1000 km.
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