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课时4 积、商、幂的对数
知识点一 正确理解对数的运算法则
1．对a>0，且a≠1(M>0，N>0)，下列说法正确的是( )
A．logaM·logaN＝loga(M＋N)
B.＝loga(M－N)
C．loga＝logamMn
D．logaM＝
答案 C
解析
2．下列式子中：①lg (3＋2)－lg (3－2)＝0；
②lg (10＋)·lg (10－)＝0；
③log－(＋)＝－1(n∈N*)；
④＝lg (a－b)．
其中正确的有________(填序号)．
答案 ③
解析 lg (3＋2)－lg (3－2)＝lg
＝lg (3＋2)2>0，故①错误．
∵lg (10＋)≠0，lg (10－)≠0.
∴lg (10＋)·lg (10－)≠0，故②错误．
∵log(－)(＋)
＝log(－)＝－1，∴③正确．
∵≠lg (a－b)，故④错误．
知识点二 对数式的计算、化简
3.计算下列各式的值：
(1)log2 ＋log212－log242；
(2)lg 500＋lg －lg 64＋50(lg 2＋lg 5)2.
解 (1)原式＝log2＝log2＝－.
4．计算：(1)lg 25＋lg 2×lg 50＋(lg 2)2；
(2).
解 (1)原式＝2lg 5＋lg 2×(1＋lg 5)＋(lg 2)2
＝2lg 5＋lg 2(1＋lg 5＋lg 2)
＝2lg 5＋2lg 2＝2.
(2)原式＝
＝＝－.
易错点 利用对数的运算法则化简求值时忽略对数有意义的条件
5.设lg x＋lg y＝2lg (x－2y)，则log4的值为________．
易错分析 本题容易出现将对数式lg x＋lg y＝2lg (x－2y)转化为代数式xy＝(x－2y)2时，忽略了对数有意义的条件，即隐含条件从而误认为＝4或＝1，得出log4＝1或0的错误答案．
答案 1
正解 由lg x＋lg y＝2lg (x－2y)，得
lg (xy)＝lg (x－2y)2，因此xy＝(x－2y)2，
即x2－5xy＋4y2＝0，得＝4或＝1，
∴log4＝1或log4＝0.
又∵x>0，y>0，x－2y>0，
∴≠1，即log4≠0，
∴log4＝1.
一、选择题
1．(lg 5)2＋lg 2·lg 5＋lg 20的值是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 (lg 5)2＋lg 2·lg 5＋lg 20＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 20＝lg 5·lg 10＋lg 20＝lg 5＋lg 20＝lg 100＝2.
2．设a＝log32，则log38－2log36用a表示的形式是( )
A．a－2 B．3a－(1＋a)2
C．5a－2 D．－a2＋3a－1
答案 A
解析 log38－2log36＝3log32－2(log32＋1)＝3a－2(a＋1)＝a－2.
3．若lg x＝lg a＋2lg b－3lg c，则x＝( )
A．a＋2b－3c B．a＋b2－c3
C. D.
答案 C
解析 ∵lg x＝lg a＋2lg b－3lg c＝lg，
∴x＝.故选C.
4．若lg x＝m，lg y＝n，则lg －lg 2的值等于( )
A.m－2n－2 B.m－2n－1
C.m－2n＋1 D.m－2n＋2
答案 D
解析 原式＝lg x－2(lg y－lg 10)＝m－2n＋2.
5．化简：log2＋log2＋log2＋…＋log2等于( )
A．5 B．4
C．－5 D．－4
答案 C
解析 原式＝log2＝log2＝－5.
二、填空题
答案
解析
7．如果方程(lg x)2＋(lg 7＋lg 5)lg x＋lg 7·lg 5＝0的两根是α，β，则αβ＝________.
答案
解析 方程(lg x)2＋(lg 7＋lg 5)lg x＋lg 7·lg 5＝0可以看成关于lg x的二次方程．
∵α，β是原方程的两根，
∴lg α，lg β可以看成关于lg x的二次方程的两根．
由根与系数的关系，得lg α＋lg β＝－(lg 7＋lg 5)＝－lg 35＝lg ，∴lg (αβ)＝lg α＋lg β＝lg ，即αβ＝.
8．已知log32＝a,3b＝5，则log3用a，b表示为________．
答案 (1＋a＋b)
解析 由a＝log32，b＝log35，得log3＝log330＝(log35＋1＋log32)＝(1＋a＋b)．
三、解答题
9．计算：.
解 原式＝＝
＝＝.
10．已知loga(x2＋4)＋loga(y2＋1)＝loga5＋loga(2xy－1)(a>0，且a≠1)，求log8的值．
解 原等式可化为loga[(x2＋4)·(y2＋1)]
＝loga[5(2xy－1)]，∴(x2＋4)(y2＋1)＝5(2xy－1)．
整理，得x2y2＋x2＋4y2－10xy＋9＝0，
配方，得(xy－3)2＋(x－2y)2＝0，
∴∴＝.
∴log8＝log8＝－.
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