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课时素养评价
十七 均值不等式的应用
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分，共16分，多选题全部选对得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
1.(多选题)已知a>0，b>0，a+b=2，则对于+ ( )
A.取得最值时a=
B.最大值是5
C. 取得最值时b=
D.最小值是
【解析】选AD.因为a+b=2，所以+=+=+++2≥+2=，当且仅当=且a+b=2，即a=，b=时，等号成立.
2.某工厂第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则 ( )
A.x= B.x≤
C.x> D.x≥
【解析】选B.由条件知A(1+a)(1+b)=A(1+x)2，
所以(1+x)2=(1+a)(1+b)≤，
所以1+x≤1+，故x≤.
3.已知正数x，y满足x+2y-xy=0，则x+2y的最小值为 ( )
A.8 B.4 C.2 D.0
【解析】选A.由x+2y-xy=0，得+=1，
且x>0，y>0.所以x+2y=(x+2y)×=++4≥4+4=8，当且仅当x=2y时等号成立.
4.若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
【解析】选A.因为对任意x>0，≤a恒成立，所以对x∈(0，+∞)，
a≥，
又因为x∈(0，+∞)，所以=≤=，当且仅当x=1时等号成立，所以a≥.
二、填空题(每小题4分，共8分)
5.已知一次函数y=-x+1的图象分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值是________，取得最值时a的值为________.
【解析】因为A(2，0)，B(0，1)，所以0≤b≤1，由题意得a=2-2b，
ab=(2-2b)b=2(1-b)·b≤2·=.
当且仅当1-b=b，即b=时等号成立，此时a=1，
因此当b=，a=1时，ab的最大值为.
答案： 1
6.某公司一年需购买某种货物200吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为2万元，一年的总存储费用数值(单位：万元)恰好为每次的购买吨数数值，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物的吨数是________.
【解析】设每次购买该种货物x吨，则需要购买次，则一年的总运费为×2=，一年的总存储费用为x，所以一年的总运费与总存储费用为+x≥2=40，当且仅当=x，即x=20时等号成立，故要使一年的总运费与总存储费用之和最小，每次应购买该种货物20吨.
答案：20
三、解答题(共26分)
7.(12分) 已知a>0，b>0，a+b=1，求证：
(1)++≥8.
(2)≥9.
【证明】(1)因为a+b=1，a>0，b>0，
所以++=2.
所以+=+=2++≥2+2=4，
所以++≥8(当且仅当a=b=时等号成立).
(2)方法一：因为a>0，b>0，a+b=1，
所以1+=1+=2+，
同理1+=2+，
所以=
=5+2≥5+4=9.
所以≥9(当且仅当a=b=时等号成立).
方法二：=1+++，
由(1)知，++≥8，
故=1+++≥9.
当且仅当a=b=时取等号 .
8.(14分)如图某村计划建造一个室内面积为 800 平方米的矩形蔬菜温室，温室内沿左右两侧与后墙内侧各保留 1 米宽的通道，沿前侧内墙保留 3 米宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？
【解析】设矩形的一边长为 x米，
则另一边长为米，
因此种植蔬菜的区域宽为(x-4)米，
长为米.
由得4<x<400，
所以其面积S=(x-4)·
=808-≤808-2
=808-160=648(m2).
当且仅当2x=，即x=40∈(4，400)时等号成立.
因此当矩形温室的两边长分别为 40 米， 20 米时蔬菜的种植面积最大，最大种植面积是 648平方米.
(15分钟·30分)
1.(4分)某金店用一杆不准确的天平(两边臂不等长)称黄金，某顾客要购买10 g黄金，售货员先将5 g的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客，然后又将5 g的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金 ( )
A.大于10 g B.小于10 g
C.大于等于10 g D.小于等于10 g
【解析】选A.设两臂长分别为a，b，
两次放入的黄金数是x，y，
依题意有ax=5b，by=5a，
所以xy=25.
因为≥，
所以x+y≥10，
又a≠b，所以x≠y.所以x+y>10.即两次所得黄金数大于10 g.
2.(4分)已知正实数m，n满足m+n=1，且使+取得最小值.若y=，x=是方程y=xα的解，则α = ( )
A.-1 B. C.2 D.3
【解析】选C.+=(m+n)
=1+++16
=17++≥17+2=25.
当且仅当=又m+n=1，即m=，n=时，上式取等号，
即+取得最小值时， m=，n=，
所以y=25，x=5， 25=5α.
得α=2.
3.(4分)如图有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm2(图中阴影部分)，上下空白各宽2 dm，左右空白各宽1 dm，则四周空白部分面积的最小值是________dm2.
【解析】设阴影部分的高为x dm，则宽为 dm，四周空白部分的面积是y dm2.
由题意，得y=(x+4)-72
=8+2
≥8+2×2=56(dm2).
当且仅当x=，即x=12 dm时等号成立.
答案：56
4.(4分)设a+b=2，b>0，则+取最小值时a的值为________.
【解析】因为a+b=2，
所以+=+=+=++≥+2=+1，
当且仅当=时等号成立.
又a+b=2，b>0，
所以当b=-2a，a=-2时，
+取得最小值.
答案：-2
5.(14分)已知正数a，b，x，y满足a+b=10，+=1，x+y的最小值为18，求a，b的值.
【解析】x+y=(x+y)
=a+++b=10++.
因为x，y>0，a，b>0，
所以x+y≥10+2=18，
即=4.
又a+b=10，所以或
1.若a>0，b>0，且a+b=1，则的最小值是 ( )
A.9 B.8 C.7 D.6
【解析】选A.
=+1
=+1
=+1≥+1
=9.
所以当a=b=时，原式取最小值9.
2.某种商品原来每件售价为25元，年销售量为8万件.
(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量.公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元.公司拟投入(x2-600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价.
【解析】(1)设每件定价为x元，依题意得
x≥25×8，
整理得x2-65x+1 000≤0，
解得25≤x≤40.
所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元.
(2)依题意不等式ax≥25×8+50+(x2-600)+x有解，
等价于x>25时a≥+x+有解，
因为+x≥2=10(当且仅当x=30时，等号成立)，
所以a≥10.2.
所以当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元.
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